数学史上最璀璨的天才：三度被拒，21岁决斗身亡，遗留手稿开创数学史新篇章

提到数学史上的贡献，可能只有笛卡儿的成就可与伽罗瓦媲美了。

伽罗瓦的一生充满传奇色彩，他如流星般划过人间，似乎只是为了代数学的开天辟地而来。

1829年，年仅26岁的阿贝尔去世时，他并不知道还有另一个不到18岁的法国天才，孤僻怪异、桀骜不驯的伽罗瓦，也在尝试攻克五次方程在什么条件下可解的问题。

那一年伽罗瓦刚将论文《关于方程可根式求解的条件》的第一版递交给法国科学院，柯西被指定审查这篇论文。柯西对该论文给出了很高的评价，但建议年轻人再做修改。

几周后，伽罗瓦的父亲被一位恶毒牧师诽谤后自杀，这深深打击了伽罗瓦。

几天后他在参加巴黎综合理工大学的入学考试时对面试官口出狂言，贬低面试官出的考题，认为结论明显到不需要回答。

结果当然是落榜，伽罗瓦从而与任教于这所名校的拉格朗日、拉普拉斯、傅里叶和柯西等数学名家失之交臂。

考场失意的伽罗瓦最后只能去了一所师范学校——巴黎高等师范学院，习得了他短暂一生中为数不多的谋生技能——做家教。

1830年2月，伽罗瓦将润色后的论文第二版寄给法国科学院的秘书傅里叶，可惜的是傅里叶在同年5月16日去世。

伽罗瓦的论文第二次被尘封。而此时一度赏识伽罗瓦的柯西也因为政治原因而自我流放，离开了法国。

年轻的伽罗瓦在学术界处处碰壁，开始变得更加愤世嫉俗。他成为一个反对君主的共和主义者，并经常发表一些激进的观点，以至于最终被巴黎高等师范学院开除。离开学院后的伽罗瓦整日和共和主义的激进分子在大街上游荡，平日里就以做家教谋生。在这期间，他于1831年1月17日向法国科学院提交了论文的第三版，但似乎指定审稿人泊松并没有读懂伽罗瓦的论文，在评审报告中泊松是这样写的：

“我已尽了一切努力去理解伽罗瓦的证明。他的推理不够清晰、不够充分，我们无法判断其正确性；本报告也不能就此提出任何想法。

作者宣称，该文研究的特殊对象是具有众多应用的更普遍理论的一个组成部分。

也许，整个理论的各个不同的部分能相互澄清，因而比孤立的部分更容易掌握。

我们不妨建议作者发表其完整的结果，以便得出明确的意见。但就目前他送交科学院的部分结果而言，我们不能表态说应给予承认。”

在泊松拒绝伽罗瓦的论文时，伽罗瓦因激进的政治观点和行为第二次被捕入狱。

第一次是因为他在聚会上发表了威胁国王性命的言论，第二次则是因为穿着被禁止的炮兵服并携带枪支和刀具招摇过市。

我们可以感受一下，在那个混乱年代伽罗瓦所处的环境。当他于1831年10月在监狱中收到泊松的拒稿信时，想必心情不会很愉悦。自己的前途一片黯淡，牢房外面的世界充满了战乱、斗争和霍乱，牢房里面的日子似乎反倒悠闲清净一点。自暴自弃的伽罗瓦开始在监狱中酗酒。

次年由于霍乱，他被转移到一所疗养院，在这里他爱上了住院医生的女儿，一个名叫斯蒂芬妮·迪莫泰的女子。但这注定是一段无果的单相思，最终甚至成为要了伽罗瓦命的毒药。

在1832年4月29日，伽罗瓦被释放出狱。

5月14日，他收到斯蒂芬妮的拒绝信，正式失恋了。

5月25日，伽罗瓦写下那封著名的给他的朋友奥古斯特·舍瓦利耶的绝笔信，信中留下了他对论文的注解，这是他留给世界最后的礼物。

他同时提到“我死在了一个无耻的、卖弄风情的女子手里……”，这多少为几天后的事件提供了一点线索。

5月30日，伽罗瓦与熟悉的老朋友决斗，胃部中弹，24小时后去世，享年21岁。

01

求解代数方程的最终答案

伽罗瓦1829年提出论文想法，1832年去世，在这短短的不到3年的时间中，他构建出一个全新的理论，超越了那个时代，也因此不能被世人理解。

直到伽罗瓦去世11年后，数学家刘维尔重新发现了埋藏在伽罗瓦论文里的宝藏。1843年7月4日，刘维尔在法国科学院演讲的开场白中提到：

“我希望我的宣告能引起科学院的兴趣；在埃瓦里斯特·伽罗瓦的那些文章中，我已发现如下具有美感的问题的一个既精确又深刻的解答：……是否根式可解？……”

刘维尔就是发现超越数的那个数学家，超越数的存在意味着有些方程是列不出来的。在代数数的范围内，阿贝尔-鲁菲尼定理意味着有些方程没有公式解，即精确解，伽罗瓦的理论则进一步告诉我们哪些方程可以精确求解，哪些不能。

因此对于计算来说，我们就清楚地知道什么时候该追求精确解，什么时候不要浪费时间，而是应该尽快得到一个高效的近似解。探求代数方程的可解性问题，实际上也是在探索和明确计算的边界。我们总是不难得出一个数值解或近似解，但我们在面对复杂的高次方程时，很难得出一个精确解或根式解。

伽罗瓦放弃了传统的代数方程求解的路线，构建了一个全新的理论，极其深刻地认识到方程求解的本质问题，并真正开辟了群论。这个理论今天被称为“伽罗瓦理论”，实际上他发现的是有限置换群。

伽罗瓦思路清奇，他首先认识到方程求解的关键在于系数域和根域之间的关系，一个方程的系数属于某个域，但该方程在这个域中可能没有根，因此需要扩张出一个更大的域来包含方程的根，这个更大的域就是根域。

比如，通过扩张有理数域，将无理数

纳入进来，记作 （）

，根域包括方程

的一个根。伽罗瓦发现这种关系可以用群论的语言（置换）来表达，他最早提出“群”这个词。因此，可以说伽罗瓦理论连接了群论和域论。

伽罗瓦注意到，为了求解方程，需要考虑根域中的置换。在根域的所有置换中，存在一些子集，其中的置换保持系数域不变。因此，每个方程对应一个系数域，每个系数域通过扩张成根域，又对应一个置换群，我们称之为伽罗瓦群。方程根式解的关键在于，系数域是否可以通过有限次根号运算扩张成根域。这样就把方程可解性问题转化成了方程的伽罗瓦群的结构问题。伽罗瓦群体现了根的对称性。

伽罗瓦在研究了方程根域对应置换群的结构后，提出正规子群的概念。它需要满足一些（自共轭的）条件。如果一个群的最大正规子群合成列的因子是素数，则伽罗瓦群是可解群，此时方程有根式解。群可能有子群，子群可能还有子群，这样就形成了一个子群序列。方程可解首先要求方程置换群的子群序列包含的都是正规子群。比如，方程的置换群 包含正规子群 ， 包含正规子群 ，直至不可分。这样就得到了一个正规子群序列：

，最后的 是只有一个单位元的单元素群，这意味着

已经不可再分。

方程可解其次要求这个序列的商群总是素数阶的循环群。我们可以对群做类似算术的除法，得到商群的概念。那么就得到上面的正规子群序列对应的商群系列：

。若商群都是素数阶的，那么必为循环群，此时方程是可解的。素数阶循环群的代表就是由单位根的乘法组成的群。反过来看，这个条件对方程的意义就在于可以一路乘方下去。伽罗瓦最后抽象出素数阶的循环群这个关键条件，明确了单位根是什么反而不那么重要，单位根背后代表的对称结构才是重要的。

我认为伽罗瓦可能是倒过来思考了拉格朗日的思路：拉格朗日利用单位根和方程的有理系数的矢量做内积，得出了预解式；伽罗瓦创造出一套理论，并用自己的语言描述出正规子群的合成列，其因子为素数。

素数阶群只有一个，且是循环群，典型代表就是由单位根的乘法（实际上是乘方）组成的群，而单位根实际上就代表了根号

的含义。

将方程的伽罗瓦群的最大正规子群一路分解到不可分，序列中都是正规子群，商群都是素数阶循环群，也就在单位根和待解方程之间开辟了一条通路。对应于方程的意义就是“降次”，如果方程的置换群能包含阶数更低的正规子群，且商群为素数阶循环群，那么就可以将方程降次为次数更低的解式。这样就用群论的语言重新解读了欧拉、拉格朗日、阿贝尔等人的结论。

如果方程的伽罗瓦群具有这样的结构，那么方程就存在根式解，如果不具备这样的结构，则不存在根式解。对于方程

当 小于5时，方程对应的伽罗瓦群总是具备这样的结构；当 大于或等于5时，可能具备，也可能不具备这样的结构，这取决于方程的系数 、 等。也因此，伽罗瓦用全新的语言和理论，最终给出“多项式方程在什么条件下有根式解”的明确答案。他终结了几个世纪以来方程求解的坎坷历程，同时开启了抽象代数领域。

02

计算的法则

从伽罗瓦的理论出现开始，代数学就进入了抽象领域。群论难以理解的地方就在于它是抽象的。

任何对群的表达都只是群的一个实例，而群的本质是抽象出来的那个具有共同特征的东西。

那么什么是群呢？

现代数学语言对群的定义是这样描述的：一个群就是一些对象按照一定合成法则组成的集合。

群满足以下公理：

• 封闭性：两个元素合成的结果必须是群中的另一个元素，必须“待在群中”。
• 结合律：如果 、 、 是群中的任意元素，×是合成法则，那么总有

。

• 单位元：群里有一个特殊的元素，任何其他元素与它合成时都保持不变，比如

。

• 逆元：对群里的任意元素

，总是存在另一个元素

满足

，则称

为

的逆元，记作

。

这4条公理就是群的定义。群已经跳出“数”的概念，不再拘泥于传统意义上的数字，而具有更加一般的意义。比如，一个正方形进行旋转也可以组成一个群。假设平面上有一个正方形，我们将它的4个角分别标记为A、B、C、D，那么最多通过几种变换，能保持这个正方形的轮廓和原来一样？答案是8种，如下图所示。

其中，在二面体群的8个元素中，将恒等变换标记为 ，将顺时针旋转90°标记为 ，将旋转两次标记为 ，将左右翻转标记为 。

我们将群中元素的个数称为群的阶，事实上，这个二面体群

的阶就是8。

我们再看另一个群：有一种舞步由两对男女共同完成，在跳舞时舞伴在两两之间会互换位置，那么这种换位舞步的不同组合也构成了一个下图中的群。

这个由行列舞步组成的群和上面正方体变换的二面体群

是等价的，二者具有完全相同的结构，又称为同构，因此具有完全相同的性质。这两个群都已经脱离经典意义上“数”的含义，都是同一个抽象群

的不同实例。虽然不是数，但我们依然可以“计算”它们。我们可以画出它们的结构，用符号代表不同的状态，定义出不同的操作，然后从一个符号状态变换到另一个符号状态。

化学家们用群来研究晶体的分子结构，同时可以快速确定是不是发现了一种新的物质。群论可以用于研究物质的分类，晶体的三维结构、蛋白质的三维结构，都可以用群论来进行计算和性质研究。具有相同结构的晶体或者蛋白质，具有相同的性质。

一旦进入抽象领域，就可以研究一些最本质的规律。事实上，对每个抽象群来说，要满足4条公理也并非易事。每一个抽象群，就代表着一种模式，对应着成千上万个实例。对于 阶抽象群来说，群的个数也有下表中的特定规律。

这里列出阶数从1到15的抽象群的个数，其中素数阶的抽象群的个数都只有一个。

事实上，对任意素数 ，其 阶抽象群都是 次单位根在乘法下构成的循环群。而伽罗瓦把方程的可解性等价为伽罗瓦群的可解性。

伽罗瓦理论的核心是研究伽罗瓦群是否可分解。群可以做类似算术的除法，所以群里可能包含子群，群除以子群后得到商群。

拉格朗日定理在群中可描述为子群的阶整除群的阶。研究商群的性质可以判断它是否是素数阶循环群，其实例就是由单位根的乘法组成的群。

所以，方程求解最后落在单位根的对称性上，群的可解性最后落在素数阶群上。这让我们不得不联想到算术基本定理，任意大于1的自然数可以分解为素数的乘积，素数是组成自然数的基本元素；素数的神奇在群论中再一次体现，素数阶群也是抽象群的一种基本元素。

一个群如果没有正规子群就是单群。素数阶群没有真子群，因此是单群。单群是群的基石。因为群意味着一种抽象的模式，因此并不是那么好找的。对于有限单群的分类，吸引了20世纪数学家们的极大兴趣。1980年，美国俄亥俄州立大学的数学家罗纳尔多·所罗门最终提出有限单群的分类定理。有限单群的分类是20世纪最重大的数学成就之一，它有着长达15 000多页的证明，几乎难以验证其中的谬误。数学家们最终找出了素数阶群、 的交替群

、Lie型单群之外的26个散落的单群。其中如下的单群是数学家罗伯特·格里斯发现的，其阶是一个54位数：

808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000

格里斯将它命名为大魔群。

虽然这个群看起来很可怕，但格里斯当时却完全是手算的，这说明它有着良好的结构，是一个温柔的大魔。

群是由4条公理定义的，域是由10条公理定义的。群是一个非常宽泛的定义，而域则要窄得多。介于两者之间的，则是另一个抽象的数学对象：环。环的定义只需要6条公理，比群要窄，比域要灵活。用不严谨的语言来说，环支持加法、减法和乘法，但不能在环中随意进行除法操作。

我们常见的整数就是一个环，它的除法不满足封闭性，因为两个不可约的整数相除，结果可能是一个有理数，就跳出了整数的范畴。对群论、环论、域论等抽象代数的进一步阐述超出了本书的范畴，感兴趣的读者可以自行阅读相关著作。

我们谈及这些抽象的数学对象，群、环、域，包括之前提到的四元数，是为了表达清楚“计算”这一概念并不依赖于“数”的概念存在。群、环、域等抽象的数学对象首先脱离了传统意义的数这一概念，其中的关键在于计算法则不同。数系的定义是基于公理的，公理中的加法、乘法、交换律、结合律、分配律则是计算法则。满足的计算法则不同，数学对象也不同。比如，群不要求满足交换律，满足交换律的群叫阿贝尔群，为这类群单独命名是为了纪念挪威数学家阿贝尔。

类似地，矩阵、四元数也不要求满足交换律，八元数不要求满足结合律。一个整数如果满足加法、减法和乘法计算法则，那么它是一个整环，但同样的整数如果只考虑满足加法，那么也可以将其看成一个关于加法的群。

计算法则代表了抽象的模式，是真正本质的规律。

在笛卡儿和韦达发明了代数学的符号之后，经过几百年的努力，数学家们最终发现运算可以叠加到数之外的对象上，符号可以代表任何事物：数、置换、集合、旋转、变换、命题等。基于认知的进步，抽象代数诞生了，计算也得以升华。

伽罗瓦对方程根式可解性的研究，实际上也是对计算边界的研究。当今所有计算机程序都是一种代数计算。一元五次以上方程无通用根式解，已经表明通过针对“根号”的域扩张是不足以表达所有一般的多项式方程的，根号本身隐含着单位根，意味着对称，而对称结构无法涵盖世界的全部，不和谐之处是广泛存在的。

从计算的角度来看，刘维尔证明了超越数的存在，这意味着有些数可以被定义，但是列不出方程，也列不出算法（有限步骤的求解方法）；伽罗瓦的结论则意味着，有些数即便可以被定义，可以列出方程，但也列不出算法，永远计算不出精确值，甚至通过四则运算加开方运算都无法表示出来。对于这两种情况，都只能退而求其次，寻求近似的数值解。这些结论，实际上已经暗示了“不可计算问题”的存在。

计算之玄妙在于，看似简单的自然数，通过对不同关系的取舍，如对除法、开方、交换律、结合律的不同选择，能蕴含着复杂的无理数、超越数。这恰如20世纪对计算理论的研究，最终从初等数论中发现了不可计算函数、不可判定问题。我们所处的世界，在表象上是简单和清晰的，在内涵里却是复杂和模糊的，所以至今仍是难以理解的。

以上摘自吴翰清新作《计算》！