【数据结构】树和二叉树详解

1. 前言

在前面我们一起了解的数据结构有顺序表、链表、栈和队列，这次要介绍的是树 与它们相同的是，树也是常见的数据结构。而与它们又不同的是，树是非线性结构。之前我们了解的都是线性的。 这次一起来看一个非线性的结构–树。

2. 树概念及结构

2.1. 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

1. 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。
2. 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
3. 树是递归定义的。

2.2. 与树有关的一些概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6。 简单说它有几个分支就有几个度，也就是它有几个孩子度就是几。

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点。 也就是没有孩子的节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点。

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点。

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

像图中，G是N的父，N是G的子 注意：一个节点可能既是父也是子。有的书上会将父节点叫双亲节点。

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点。 通俗来说就是亲兄弟。

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4。

一般情况下树的高度是从1开始，但是有的书上可能会有0开始。 这里以1开始。方便表示空树，此时高度为0。

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

2.3. 树与非树

任何一棵树都可以拆解为根和子树

没有子树就是叶子。子树为0就结束。

如果出现子树相加的情况，那就说明这个不在表示树，而是图。以后会有介绍。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2.4. 树的表示

这里需要考虑的是有几个孩子。 第一种用指针数组表示，假设有6个节点。

但必须知道这个树的度

#define N 6
struct TreeNode
{
	int val;
	struct TreeNode* childArr[N];
};

第二种用顺序表表示： 有几个孩子就插入几个，不够就扩容

struct TreeNode
{
	int val;
	Seqlist* childSL;
};

第三种左孩子右兄弟表示

A左边指向第一个孩子B，B右边就是B的兄弟C，C的右边指向D。 同理B的左边指向第一个孩子E，E右边就是E的兄弟F

struct TreeNode
{
	int val;
	struct TreeNode* leftChild;
	struct TreeNode* rightBrother;
};

3. 二叉树概念及结构

3.1. 二叉树概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

3.2. 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。 每一层都是满的
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。 前面h-1层一定是满的，最后一层不满，但必须是从左到右连续的。

3.3. 二叉树的性质

求满二叉树的高度？ 假设高度为h

而对于完全二叉树： 前面h-1层一定是满的，第h层最少为1，最多为2^ (h-1)

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^ (i-1)个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h -1 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有n0 ＝ n2＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= .log(n+1) (是log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有： （1）若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双 亲节点 （2） 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子 （3）若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

3.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

3.4.1 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

3.4.2 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面会介绍。

3.5 堆

如果有一个关键码的集合K = { k0，k1 ，k2 ，…， kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：ki <=k2i+1 且 ki<= k2i+2( ki>= k2i+1且 ki>=k2i+2 ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质： 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值； 堆总是一棵完全二叉树。

堆可以实现堆排序，还有top k问题。

下一次用C语言来实现堆，请多多关注。 有问题请指出，大家一起进步！