ASI 8年计划 paper1：what is a thing？特定物理的自由能原理 part1

翻译：志愿者 春暖花开 中文仅供概率

特定物理的自由能原理（第一部分）

摘要

本专著尝试提出一种可以在统计意义上与其他“事物”区分的每个“事物”的理论。随之而来的统计独立性，通过马尔科夫毯介导，涉及到在越来越高的时空尺度上递归组合的整体（事物）。这种分解提供了对小事物的描述，例如，通过薛定谔方程的量子力学，通过统计力学和相关波动定理的小事物的整体，再到通过经典力学的大事物的描述。这些描述与自主或主动的事物的贝叶斯力学相辅相成。尽管这项工作提供了对每个“事物”的制定，但其主要贡献是研究马尔科夫毯对自组织到非平衡稳态的影响。简而言之，我们恢复了一个信息几何学和相应的自由能原理，使人们能够将某物的内部状态解释为代表或对其外部状态进行推断。随之而来的贝叶斯力学与量子力学、统计力学和经典力学兼容，可能提供对类似生命的粒子的正式描述。

关键词：自组织；非平衡稳态；主动推断；主动粒子；自由能；熵；随机动力吸引子；自我生成；马尔科夫毯；贝叶斯；变分

文章风格：

第一小节为数学基础，第二小节偏意义分析

引言

本专著以一种半开玩笑的方式尝试建立一种“一切事物”的理论，从这样一个前提出发：一个“事物”可以从其他事物以及非事物中区分出来。其雄心壮志在于通过诉诸物理学的构建（例如，量子力学、统计力学和经典力学），验证动力系统的制定，并利用随后的制定来推导出在相同框架内的自组织的描述1。（1 本文是作者进行自学练习的产物，以确保作者的直觉在统计物理学的互补制定中得到体现。其结果是一篇冗长而全面的论文，试图采纳来自不同领域的惯例（作者并非专业人士），同时强调共同的主题。）

我们的出发点是对事物的定义，即以具有不变测度的系统为基础的定义；具体而言，是那些具有吸引集的弱混合系统。对这些系统的描述通常始于使用随机动力系统的形式主义，例如，基于随机微分方程的系统状态的流动或动力学（例如，朗之万方程）。这就是当前处理的起点 - 但也是终点。它通过提出一些显而易见的问题停下来；例如，状态是什么，随机波动从何而来？这些问题导致了更简单的问题；换句话说，如果我们处理的是某物的状态，那么是什么东西拥有这些状态 - 以及如何区分一切事物？对这些问题的回答导致了对“一切事物”的实质性理论。

为了解决事物的性质，我们首先要问的是如何区分某物与其他一切。在追求自组织的制定时，我们将借助条件独立的概念作为这种区分的基础。更具体地说，我们假设为了使某物存在，它必须具有（内部或内在的）状态，这些状态在统计上可以与（不构成该物的外部或外在的）状态分开。这种分离意味着存在一个马尔科夫毯；即，一组状态，使得内部和外部状态在条件下是独立的。事物的存在（即内部状态及其毯）进一步意味着将马尔科夫毯分成主动和感知状态 - 分别不受内部和外部状态的影响。这可能听起来有点武断；然而，这是关于事物（拥有状态的事物）谈论的最小条件独立性的集合 - 以及状态的隐式分区 - 它构成了自组织中的“自我”。随后的章节解决了下一个显而易见的问题：什么是事物？在这一点上，我们将随机动力系统的朗之万制定用作一种反复自我验证的方法，当考虑到马尔科夫毯时。简而言之，所提供的制定表示事物（即粒子）的状态由毯状态的混合物组成，其中马尔科夫毯在较小尺度上围绕着事物。实际上，这回避了“事物是什么？”的问题，通过将事物从较小事物的马尔科夫毯中组成。通过归纳，我们一直拥有马尔科夫毯，这意味着我们永远不必具体说明事物的性质。

更具体地说，我们将看到动力学的 Langevin 形式 - 在任何给定的时空尺度上 - 可以分解为一组马尔可夫毯。这些毯子状态在更高尺度上具有与原始尺度动力学完全相同的（Langevin）形式的动力学。在将动力学从一个尺度提升到下一个尺度时，内部状态被有效消除，只留下毯子状态的缓慢、宏观的动力学。这些成为下一级的事物的状态，它们有自己的马尔可夫毯，依此类推。这种形式主义的终点是逐渐提高空间和时间尺度的一切的描述。随后的部分将隐含的时间尺度分离用于研究逐渐变大的事物的动力学、物理学或力学类型。

这篇专著包含 12 节，分为三个部分。第一部分建立了一些基本结果，第二部分将这些结果应用于动力系统的极限情况，以恢复量子、统计和经典力学。第三部分考虑了主动或自主系统的特殊情况，即具有内部状态对其行为“重要”的粒子的贝叶斯力学。

第一部分：第一节是一个基础性的处理，介绍了对具有可测特性的马尔可夫毯动力学的一些约束。可测性的约束 - 或者在足够长的时间内具有不变测度 - 允许将状态的流表示为其非平衡稳态（NESS）密度的函数。注释（NESS 也可以是 Nearly Ergodic Steady-State 在弱混合系统中的首字母缩略词。正如我的年轻同事布伦南·克莱恩观察到的那样，非平衡稳态将“ness”加入了“thingness”中（来自中古英语 -nes，-nesse：附加到形容词以形成名词，意味着“存在的状态”）。我们将在后面论证，任何“存在的状态”都取决于非平衡稳态。）

流与NESS密度之间的关系直接从密度动力学的 Fokker-Planck 表述中获得，特别是其特征解。这里的有趣结果是系统运动方程中隐含的依赖关系，这些依赖关系来自于非平衡稳态的马尔可夫毯。随后，关于边缘流和条件独立性的相对简单的引理和推论形成了随后部分中新兴行为的基础。第二节探讨了用对称破缺和自组织来表征密度动力学的各种方式。本节使用信息理论和几何学来表征与非平衡稳态的不同类型的自组织。第三节通过对一个特定系统（基于 Lorenz 系统的合成原始汤的集合）的数值分析，提供了自组织的例证。在整个专著中，这个系统被用来说明如何从不同的角度看待相同的动力学。第四节考虑了这个（Langevin）形式的马尔可夫毯在嵌套尺度上的行为。简而言之，我们假设随着向更高的尺度上升，随机和内在的波动将逐渐被抑制，导致从耗散动力学 - 受随机波动主导的动力学 - 到其保守动力学由无散流主导的大系统的过渡。

Part Two: 第5节从量子力学的角度考虑了微小的问题。本节利用第一节中建立的粒子流与非平衡稳态密度之间的关系推导出薛定谔波动方程。关键在于以（复数）根的形式表达或因式分解非平衡稳态密度，这些根起到波函数的作用。第6节然后从集合动力学和随机热力学的角度考虑了微小事物的集体行为。我们的重点是将集合的耗散动力学与统计力学中的已知结果联系起来，即热力学定律和Jarzynski等式等相关的波动定理。然后，我们转向了在小幅度随机波动的极限情况下的大物体的物理学。这个极限情况使我们能够根据经典的拉格朗日或哈密顿形式写出运动方程，导致了经典力学、牛顿运动定律和麦克斯韦方程。

Part Three: 在将量子力学、统计力学和经典力学视为惰性粒子密度动力学的极限情况后，我们转向那些不能忽略内部状态的大物体的本体论，这些物体表现出自主行为（例如，像我们自己这样的大型主动粒子）。第8节探讨了为什么要将代表性或推理能力归因于生物自组织。换句话说，如何以有感知力的物理学为基础来实现类似于良好调节器定理（Conant和Ashby，1970）和贝叶斯大脑假设（Helmholtz，1878（1971）；Knill和Pouget，2004）的概念。这里的论点相当直接：即系统的内部状态对外部状态产生概率性信念，这些外部状态导致Markov毯上的感觉印象，并由主动状态对外部状态的影响引起。本节为信息几何和相关自由能原则提供了一个正式的基础，描述了自主的事物（例如，细胞或大脑）如何推断主动采样的感觉的原因。在这里，我们通过展示变分贝叶斯（Beal，2003）如何是某些粒子的新兴属性，从而引出了一种形式的贝叶斯力学。第9节通过对第一部分的合成汤（以及类似病毒的居民）进行数值分析，说明了一种特定的推断。第10节然后根据积分波动定理和期望自由能考虑了主动状态和代理的相关自由能原则的推论。倒数第二节考虑了在之前（热力学）处理的情况下产生的主动推理。我们最后简要讨论了量子力学、随机力学、经典力学和贝叶斯力学之间的关系。

Part One: 设置

Something or nothing 有或无

“Siphonaptera”是一首童谣，有时被称为《跳蚤》：

大跳蚤有小跳蚤，

在它们的背上咬它们，

而小跳蚤有更小的跳蚤，

如此循环往复。

这很好地阐释了通过诉诸无限回归的问题“什么是事物？”的一种方法。这种贬值的观点表明，注释（ 这种观点可能也会消解亚里士多德提出的首动者（拉丁文：primum movens）的观点，亚里士多德将其视为宇宙中所有运动的主要原因。在他的《形而上学》第12卷（希腊文“Λ”）中，亚里士多德将首动者描述为完美美丽、不可分割，只 contemplation 的完美形式：即它本身在思考。）事物的状态由它们的Markov毯构成，而Markov毯包括具有毯的较小事物的状态，依此类推。这种“一直往下”的引用提供了一种在可分离的空间和时间尺度上递归定义一切的方式，这在第4节中使用了重整化组的概念来解开。从上到下（和从下到上）的毯子的概念表明不存在特权尺度，除非是与所讨论的事物相关的尺度。在最后几节中，我们将看到“关键”意味着在某些尺度上存在信息几何，这提供了自治和漫游动力学，但足够大以抑制随机波动。

为了预示更详细的描述，基本的情节可以通过一个常识性的例子来说明。

想象一个太阳系，其物理学（即动力学或流动）由天体的位置、速度和辐射充分描述。这些数量构成了每个天体表面的集合平均值（即Markov毯），而其中有内部状态在其下波动。

现在，让我们下降一个尺度，关注一个特定的行星（例如地球）。在这个尺度上，行星表面的气象流动和地理现象现在构成了一个适当的描述层次，其下有许多（内部）微观状态。现在假设我们已经放大到一个城市，可以访问这些微观状态，这些状态实际上是大都市在日常周期内的通勤者的涨落。现在我们再下降一个层次，意识到先前为通勤者的平均行为做出贡献的每个元素都是一个具有自己Markov毯的个体或实体；即，一个具有体现大脑的Markov毯。在这个描述层次上，大脑内部运作的微妙和有序的波动被Markov毯隐藏起来，然而，如果我们进一步放大，现在这些波动就成为协调通勤者行为的神经元元素和过程的Markov毯。在这里，Markov毯对应于一个细胞表面，它本身包围着内在的或细胞内的过程；

换句话说，可以想象在胞内细胞器之间的交换，它们具有自己的Markov毯。我们可以一步步深入，直至到达原子和亚原子水平。在每个阶段，我们都发现根据形成的集合状态有一个足够的描述水平，这些状态呈现出与所讨论水平的事物的Markov毯进行接触和耦合的可能性。至关重要的是，在每个Markov毯的下方（或被隔离在其后）都有内在或内部状态，这些状态本身由（Markov毯的）集合状态的混合物构成。在接下来的内容中，我们将重新叙述这个故事（从底层开始），试图展示为什么这些分层描述水平是任何具有Markov毯的（弱混合）随机动力系统的必然结果。然而，首先，我们需要考虑一些先决条件和背景材料，以便连接后续部分中采用的不同观点。

Some preliminaries

一些初步说明

这一部分可以被视为物理学的基础（入门）介绍。它并不严格，但足以传达基本思想。为了解开一些主张和引理，每一节都附有数值示例和图例的详细描述。（4这些数值分析有两个目的。首先，它们展示了如何从互补的角度表征同一系统。例如，可以将系统视为一个小粒子（例如，电子），从量子力学的角度进行处理；或者可以将其视为粒子的集合（例如，气体），以研究其统计力学；或者可以将其视为一团质量（例如，球体）在某种活动介质中，并用经典力学来描述其响应。在第三部分中，我们将进一步探讨自主行为；即系统的一部分如何主动地推断或“测量”另一部分。第二个目的更具教育性（面向生物学读者）；换句话说，这些模拟消除了围绕高端物理学的神秘感。简而言之，本专著中考虑的所有力学都适用于简单直观的数值分析，允许一种力学与其他力学相互理解。）

数值分析通过基于单个Lorenz系统（Lorenz, 1963）的随机混沌，或者带有毯子状态的Lorenz系统集合，来模拟活动物质，阐述了各种现象。这些示例试图强调，尽管数学可能看起来很复杂，但它描述的是合理的、 emergent 的现象。

在这里，随机波动通常服从协方差为2Γ的正态分布，假设它们相对于状态本身波动得足够快，我们可以忽略时间相关性。这种表述支持随后的所有内容。在第4节中，我们将更仔细地探讨 Langevin 公式的来源，以及为什么随机波动是高斯分布且不相关的。

这个表述用轨迹关联的作用来表达路径的概率。它表示路径（即动作）的惊异度（即负对数概率）是沿其轨迹累积的惊异度，这取决于路径的运动与状态空间中每一点预期流动的差异。在对随机波动进行高斯假设的情况下，每一点（即拉格朗日）的惊异度具有简单的二次形式，其中包含一个额外的散度项，这个散度项来自于隐含的对斯特拉托诺维奇积分的使用（Seifert, 2012）。关于这个术语的解释，请参阅附录 A。在这里，我们用后来会出现在量子力学中的 Schrödinger 势能来表示拉格朗日量。这个势能依赖于流动，且仅依赖于流动。对于非量子处理，普朗克常数通常被设为=1。

引入拉格朗日量的勒让德变换，即哈密顿量，在事物行为的描述中会很有用：

在这里，最后一个等式定义了广义动量。请注意，当随机波动取最可能的值零时，最可能的路径就会出现，得到：

Nonequilibrium steady states

注释

这是本专著大部分内容的关键结果。它表示，在非平衡稳态下，任何随机动力系统的流都包含正交分量：一个耗散流，沿着非平衡稳态密度的对数梯度上升，以及一个保守的（无散）、螺旋流，沿着相应的等值线循环。启发式地说，耗散（旋度为零）流抵消了由随机波动引起的密度的扩散。这意味着唯一剩下的概率流是螺旋的。我们将在后面看到，当我们考虑条件独立的各种状态子集的流动时，这个简单的结果有一些显著的含义。这个特定的结构基于Markov毯的概念，这是接下来所有内容的第二个基石。

接下来的步骤是将Fokker-Planck方程的NESS解代入路径积分公式，以用惊异的概念表达任何轨迹的概率。根据（1.2）和（1.8），这给出了：‍

这意味着任何路径的作用都可以用一个依赖于运动的（动能）项、一个（与惊异变化有关的）项和一个（依赖于路径的）项来表示，该项与随机波动的幅度成比例。附录C对期望的Lagrangian和相关的Hamiltonian进行了简要讨论。

这意味着最可能的路径使作用量最小，使其相对于路径的变化为零。至关重要的是，在非平衡稳态下，作用量的路径相关和无关贡献可以用惊奇和其梯度的形式来表示。我们将在几个不同的情境中利用非平衡稳态动力学的这个结论。在协同学和图形形成的研究中，这个最小作用原理有时被表述为能量梯度的破坏（Tschacher和Haken，2007）。

Fluctuations and information length

这一部分的内容主要涉及到关于“事物”的测度，包括概率测度和来源于微分几何的度量。这一节简要介绍了长度和信息几何的概念，后者是将微分几何应用于概率论时产生的。主要观点是所有这些测度在深层次上都依赖于时间。

在这个前言的一部分，考虑随机波动的性质是有用的。我们将在后面看到，这些波动是状态的混合，相对于充当慢变量角色的状态而言，它们波动得非常快。在这个意义上，随机波动只是快速状态的混合，它们（根据定义）与慢状态不相关。快速状态和慢速状态的隐式统计独立性使我们能够谈论“随机”波动。

Langevin动力学方程（1.1中的公式）的形式反映了时间尺度的分离。例如，单位为

（每秒）的表示它起到了速率常数的作用。实际上，从一种观点来看，波动的振幅对应于由于波动而导致的状态方差或离散度随时间累积的速率（Cox和Miller，1965）。此外，在稳态下，振幅实际上是一个速率常数，将（慢速）状态的流与surprisal（1.7）的梯度耦合起来。换句话说，对于给定的NESS密度，流量与波动的振幅成比例增加。可以通过引入长度的概念来正式化这一点。

我们在这里使用了（爱因斯坦）求和约定，隐含了对重复的上标和下标的求和。方程（1.12）用度量张量

提供的黎曼度量来表示沿路径的长度。局部最小距离的路径被称为测地线，是欧几里德空间中直线的类比。从（1.10）可以解释路径的动作在低振幅波动的经典极限中是路径长度的上界（通过柯西-施瓦茨不等式）：

简单起见，我们忽略了螺旋流。这表明，如果以随机波动的精度（即逆协方差）来衡量长度，那么最可能的（经典）路径将是最短的。等效地，精度提供了一个黎曼度量，为状态空间提供了一种几何，其中当波动振幅较大时，点之间彼此靠近。随机波动的振幅与度量张量之间的等价性是我们简化的假设的基础，即随机波动的振幅是球形的（即从所有方向看起来相同）。这相当于在对称状态空间中工作，其黎曼度量对坐标的选择是不变的。

可以进一步进行度量处理，为概率密度的充分统计量（即参数）的空间提供信息几何。简而言之，信息几何建立在黎曼度量之上，可用于测量统计流形上的距离（Amari, 1998; Ay, 2015）。统计流形是一个度量空间，其中每个点表示一个概率密度；即，一个参数空间，其点对应于概率密度的充分统计量，因此统计流形上的附近点对应于相似的概率密度。例如，由高斯密度的统计矩（即均值和精度）张成的二维空间构成一个普遍存在的统计流形。统计流形的特殊之处在于它们总是配备有一个度量张量，以费舍尔信息度量的形式提供。

注释：5我们将在整个过程中使用Z来表示分配函数或规范常数。

在稍后我们将讨论贝叶斯力学的一个方面。目前，它用于预示信息、几何和统计力学之间的密切关系（Crooks，2007；Kleeman，2014）。

换句话说，时间的度量起到了一个（平方的）速率常数的作用，单位是每秒（的平方）。从启发式的角度来看，随着时间的推移，信息长度取决于随机波动的振幅和（散度）通过（1.17中的）福克-普朗克算子的流动。这意味着度量时间可以从状态空间的某一部分缓慢进行，而从其他地方可以迅速进行。方程（1.18）还表明，信息长度可以看作是在无穷小的时间步长上积累的（平方的）散度。请注意，这种积累使得可以从（预度量的）散度中组装度量。这应该与初始密度和以后某个时间点的密度之间的散度进行对比。我们将在下一节看到一个例子。

方程（1.18）中的信息长度提供了对收敛到平衡态或非平衡稳态（Kim，2018）的有用描述。随着时间的推移，从任意初始状态得到的未来密度收敛到NESS密度，信息长度收敛到一个渐近极限。该极限表示从初始密度到NESS密度的距离。在收敛时，方程（1.18）中的散度消失，信息长度不再增加。

实际上，从信息长度的角度来看，未来时间会变得减缓。直观地想象一下一个小时后你会做什么，以及它与你目前所做的有何不同。现在，再次进行这个练习，但设想自己在十年后以及十年零一小时后。从很难区分在远未来发展的自己之间的差异的角度来看，时间实际上已经停滞了。

总之，以时间为参数的时间依赖性密度的信息长度提供了一个度量，它补充了初始和最终密度之间的散度的使用，后者不依赖于密度从其初始状态的路径或演变。两者在表征收敛到非平衡稳态中起着重要作用。后来，我们将看到方程（1.19）中的散度在随机力学和贝叶斯力学中以自由能的形式出现。我们还将看到信息长度与热力学表述中的随机熵产生密切相关。到目前为止，我们预览的所有内容都适用于任何随机动力系统。在下一节中，当系统具有马尔可夫毯时，我们将重新审视这些表征。

Random dynamical systems and Markov blankets

随机动力系统与马尔可夫毯

马尔可夫毯是在统计意义上分隔两个状态集的一组状态。这个术语最初是在贝叶斯网络或图（Pearl, 1988）的背景中引入的，指的是一个集合的子节点（受影响的状态集），其父节点（影响它的状态集）以及子节点的父节点。马尔可夫毯的存在导致状态分为内部和外部状态，其中外部状态（隐蔽的）被马尔可夫毯与内部状态（孤立的）隔离。换句话说，内部状态只能通过毯状态间接地看到外部状态。此外，马尔可夫毯本身也可以是

分为两个集合，它们分别是外部状态的子节点和非子节点。我们将分别称之为感觉状态和主动状态：

]简而言之，马尔可夫毯的存在意味着将状态分为外部状态、感觉状态、主动状态和内部状态：

外部状态引起感觉状态，影响但不受内部状态影响；而内部状态引起主动状态，影响但不受外部状态影响。至关重要的是，马尔可夫毯引起的依赖关系产生一种类似于动作-感知循环的循环因果关系，参见图1和（Fuster，2004）。这里的循环因果关系意味着外部状态通过感觉状态引起内部状态的变化，而内部状态则通过主动状态再次耦合到外部状态，使得内部和外部状态以一种间接和相互的方式相互影响。

Markov blankets and marginal flows

马尔可夫毯与边际流

在下一节中，我们将详细探讨马尔可夫毯对自组织在信息理论方面的影响。这一处理建立在状态分割中的条件独立性基础之上，该分割是由于排除了外部状态对主动和内部状态的影响，以及内部状态对感觉和外部状态的影响而产生的。这种动态结构以边缘流引理及其以下的推论形式进行总结。简而言之，这些结果表达了在马尔可夫毯暗示的条件独立性下的非平衡稳态下的流动，反之亦然。换句话说，它们将由 Langevin 流传递的稀疏影响与状态子集之间的条件独立性连接起来。实质上，这将(1.8)中流动的标准形式推广到包含马尔可夫毯的状态分割中。附录B包含了相应的证明，并考虑了有关稀疏影响支持条件独立性及其反之的互补观点。

推论（条件独立性）：如果一个状态子集的流动不依赖于另一个状态子集，那么它就变成了在第二个子集下预期的流动。例如，在马尔可夫毯的情况下：

简而言之，由马尔可夫毯引起的条件独立性意味着外部状态的流动对于每个内部状态都是相同的，即它仅仅是内部状态上的平均值（对其他分割情况类似）。

推论（期望流动）：任何子集 \(\eta \subset X\) 在所有其他状态上平均后的边际流动，只取决于其边际密度的梯度，前提是与其补集没有涡旋耦合：

这是边际流引理的一个特殊情况，当

这意味着任何状态或状态子集在所有其他状态上平均后的期望流动，将与考虑所有状态时的行为完全相同。换句话说，它将沿着其（边际）密度的梯度上升。

边际流引理使我们能够用（1.21）中的流动来表达图1中结构或概率图模型中隐含的条件独立性。换句话说，如果一个系统在非平衡稳态下保持了一个马尔可夫毯，那么它必须具有仅依赖于特定状态的流动。这种结构化动态为随后的一切提供了基础。

Summary

这一部分介绍了我们稍后将在不同场景中用来表征动力学的技术基础。它的重点是自组织到非平衡稳态，这可以被表征为密度动力学的Fokker-Planck公式的解。至关重要的是，这使得我们能够用非平衡稳态密度、惊讶度或势能来表达状态的流动。我们简要地讨论了密度动力学的几何性质，以及与信息长度相关的内容。最后，通过马尔可夫毯暗示的条件独立性已经表达为某些状态的（边际）流动如何依赖于其他状态。由马尔可夫毯引起的边际流动将在稍后变得重要，当我们解释梯度流与信息几何的关系时——在第三部分。

"马尔可夫毯"是一种概率图模型，图示了状态的分割，将其划分为内部状态（蓝色）和隐藏或外部状态（青色），它们由一个马尔可夫毯分隔开来。该毯包括感觉状态（洋红色）和主动状态（红色）。上图展示了将此分割应用于大脑中的动作和感知。在这种情况下，内部状态的自组织对应于感知，而主动状态将大脑状态耦合回外部状态。下图展示了相同的依赖关系，但重新排列了内部状态，使其与梭菌的胞内状态相关联，其中感觉状态变成了表面状态或细胞膜，覆盖在主动状态之上（例如，细胞骨架的肌动蛋白丝）。请注意，唯一缺失的影响是内部和外部状态之间的影响，以及从外部（或内部）到主动（或感觉）状态的有向影响。生存的有向影响用虚线连接器突出显示。自治状态是不受外部状态影响的状态，而特定状态构成一个粒子；即自治和感觉状态，或毯和内部状态。上图中的运动方程遵循边际流引理。

Symmetry breaking and self-organisation

“生物体空间边界内发生的时空事件如何由物理学和化学来解释？”（Schrödinger，1944）

引入马尔可夫毯以及粒子的外部和内部状态的区别，在集合密度的层面上有了一些变化。在没有分割的情况下，我们只能讨论密度的熵以及随时间的变化。然而，在分割的环境中，我们可以考虑特定状态相对于隐藏状态的熵（或反之）。这种相对熵被称为互信息。那么，我们是对具有高互信息还是低互信息的系统感兴趣呢？结果表明，答案是两者都感兴趣，意味着我们对在状态空间中探索的粒子感兴趣，但它们具有定义良好的吸引流形，其测度较小（即，熵较低）。

这涉及到相互对立的约束之间的辩证法。简而言之，如果特定状态的非平衡稳态（NESS）熵较小，那么在给定外部状态的情况下关于特定状态的平均不确定性也必须较小。换句话说，了解外部状态可以解决关于特定状态的歧义。然而，与此同时，外部和特定状态之间的互信息或耦合也必须较小；否则，将有无法消除外部和特定状态之间歧义的风险，即粒子将耗散或溶解。

启发式地说，这允许我们认识到我们可以确定马尔可夫毯与其外部环境是不同的（例如，区分鱼和它游泳的水），同时观察特定动态和外部状态之间错综复杂且自组织的耦合（例如，一条在水中游泳的特定的鱼）。更简单地说，一条鱼仍然是一条鱼，尽管有着许多精致且依赖于上下文的行为来保持其完整性（Clarke等人，2015）。在接下来的内容中，我们将考虑这种辩证法如何从使用信息理论的简单统计处理中浮现。

在建立了系统状态的分割后，我们现在有能力定义我们想要描述的自组织系统的类型。简而言之，这些是具有填充空间的随机动力吸引子且测度较小的系统。换句话说，它们的概率质量集中在允许轨迹在状态空间中漫游的小体积中，从吸引子的一个流形到另一个流形：比如，在确定性系统中由相变产生的渗流（Vespignani and Zapperi, 1998）。

隐含的对称性破缺（即，附近轨迹到相空间的不同区域的发散）是非平衡动力学的一个特征（Evans and Searles, 2002），与动力系统中的自组织临界性等现象密切相关（Bak et al., 1988; Vespignani and Zapperi, 1998）。事实上，复杂性科学的大部分内容都解决了如何形式化多尺度、漫游和混沌动力学的问题。这是一个庞大的领域，包括重整化群理论、尺度不变性、临界性和普适性（Kwapien and Drozdz, 2012; Nicolis and Prigogine, 1977; Schwabl, 2002）。在这篇专著中，我们将避开许多细节（如分叉、挫折和相变等现象），假设自组织系统的有趣行为可以通过具有适当形状的非平衡稳态密度来捕捉。

因此，什么是正确形状的？我们从考虑特定状态上的边际（NESS）密度开始。给定对外部和特定状态的划分，可以用熵产生的简单形式来描述自组织。这是因为自治状态与感知状态之间存在分离

，是直观的。至关重要的是，根据定义，自治状态的流动不依赖于外部状态 这意味着自治状态将似乎抑制特定状态

及其长期平均值（即它们的熵）的自信息或惊异。根据边际流动引理（1.21），我们有（忽略主动状态和感知状态之间的螺旋耦合）：

我们将特定状态的熵称为特定或自熵。公式（2.2）中的流将使自治状态平均而言似乎试图最小化特定状态的熵。根据基本信息理论，自治状态似乎也在试图最小化外部状态和特定状态之间的互信息，同时在给定外部状态的情况下最小化特定状态的熵。这是因为互信息是关于特定状态的不确定性，减去在给定外部状态的情况下的不确定性（即当通过知道外部状态而不减少不确定性时，互信息为零）。

（自）熵分解为互信息和条件熵的过程，也可以从统计角度表达为将惊奇感分解为不准确性和复杂性：

在这里，复杂性是以统计意义上的概念使用的，它评估了外部（隐藏）状态的后验分布与先验分布之间的差异，而准确性是在后验下特定状态的期望对数概率。从这个角度看，条件熵是期望的不准确性（即，模糊性），而互信息变成了期望的复杂性成本（即，风险）。最后一个等式表明了伴随互信息的辩证法：一方面，最小化熵要求最小化互信息，在其中它扮演风险的角色，而最小化模糊性要求最大化互信息，在其中它扮演信息增益的角色。通过注意到模糊性和风险（或不准确性和复杂性）实际上只是同一硬币的两面，即自熵，这些互补的角色可以很容易地协调。

复杂性是最优控制理论和贝叶斯统计中普遍存在的成本函数。在最优控制中，它评估了在给定感知和主动（控制）状态以及一些期望状态的情况下，预测的外部状态之间的差异（Kappen, 2005; Kappen et al., 2012）。在经济学中，这被称为风险敏感控制（Fleming and Sheu, 2002; van den Broek et al., 2010）。在贝叶斯统计中，复杂性评分表示后验密度在隐藏状态上的发散程度，换句话说，编码有关隐藏状态的后验信念所需的自由度（Spiegelhalter et al., 2002）。降低复杂性成本支持奥卡姆的原则，即最佳解释提供了一个准确的说明，对比先验信念相对较小的后验信念的变化（Penny et al., 2004）。从形式上讲，这与在非平衡系统中对自适应行为建模中的因果熵力的概念密切相关（Wissner-Gross and Freer, 2013）。最后，这种因果熵力本身与Jaynes的最大熵原理相关（Jaynes, 1957）。

模糊性术语具有认知、减少不确定性的解释；在这种解释中，自治状态的边际流将似乎最小化在给定外部状态的情况下减少感知状态的不确定性。换句话说，自组织将似乎寻找相位空间的区域，其中外部状态导致明确的感知状态 - 就像在路灯下寻找丢失的钥匙一样（Demirdjian et al., 2005）。这种动态是自组织的，因为（平均而言）自治状态将似乎降低特定状态的熵。这种特定熵是毯子状态和外部状态之间的互信息以及在外部状态条件下的条件不确定性。换句话说，自治状态将似乎最小化与外部状态的统计耦合（即互信息）的同时，抵抗在给定的隐藏状态下它们的耗散。

我们可以用熵产生的术语来表达这种对耗散的主动抵抗（有关熵产生的详细处理可以在下面的热力学部分找到）。由于自治状态的流动而产生的熵产生可以表达为：

因此，自治熵产生始终为零或更小（因为随机波动的协方差是正定的 - 且螺旋流抵消）。换句话说，在非平衡稳态下，自治流抵制了由于随机波动和外部状态的影响而导致特定状态的分散。我们可以通过考虑在感觉状态下预期的自治状态的边际流来深入研究这种熵减行为。根据边际流引理（1.22），我们有：

根据（1.11），当随机波动占主导地位时，自治状态的最可能（边际）路径使它们的作用最小化：

那么，这意味着什么？为了对自治动态建立直观感觉，我们可以使用与（2.3）中相同的膨胀装置，将自治状态的惊奇表达为复杂性成本和在感官状态条件下获得的信息：

这里，

是自治状态的补集。这个分解意味着自治状态的边际流最小化其惊奇，这可以分解成反映试图与外部状态耦合但又抵抗其分散效应的方面的术语。在这个分解中，模糊减少是通过信息增益来表达的：

这个等式被引入以便与以下关于用高阶互信息表征自组织的内容建立联系。信息增益有时被称为人工智能和机器人技术中的认知价值或内在动机（Friston等人，2015b；Oudeyer和Kaplan，2007；Schmidhuber，2010）。它对应于由感觉状态引起的对外部状态的概率密度的变化，即在自治状态的条件下，带有和不带有感觉状态的后验密度之间的Kullback-Leibler（KL）散度。这也是由自治活动提供的感觉和隐藏状态之间的互信息。在生命科学领域（例如，认知神经科学），这个度量通常被称为贝叶斯惊奇或显著性（Itti和Baldi，2009；Mirza等人，2016；Sun等人，2011）。我们将在第三部分回到这些解释。在（2.8）中，期望信息增益的表达式显示它包括外部和感觉状态之间的互信息减去第三阶互信息（在外部、感觉和自治状态之间）。

总的来说，自组织可以被看作是对自熵（或惊奇）的自主抑制。反过来，自熵可以分解为风险（或复杂性）和模糊性（或不准确性）的解决组成部分，看起来它们是通过自治状态的流传播的。显然，在某种意义上，所有具有随机动力学吸引子的有趣系统都会表现出某种程度的自组织。用自熵、风险和模糊性来表达自组织只是意味着可以用有感知的、认识行为的术语来讨论和量化自组织。

Self-organization and self-evidencing自组织和不证自明

在统计学中，特定状态的惊奇被称为边际似然或证据的负对数。这意味着自组织可以被解释为自证明，即最可能的自治状态流降低了惊奇，因此增加了证据。这种解释在第三部分中将在理解行为方面发挥重要作用，这与计算和认知神经科学中考虑的行为相关。在这里采取的立场并不是要问自组织是如何出现的，而是自组织系统表现出什么样的属性？这可能看起来好像我们回避了一个难题；然而，几乎现实世界中遇到的每个系统都以不同程度自组织 - 这意味着自组织本身并不引人注目。换句话说，如果系统不进行自组织，它们在我们有机会观察它们之前就会耗散。这意味着有趣的问题是自组织是什么样子，以及它涉及哪种机制？

接下来，我们将探讨自组织如何表现出来，并在第三部分转向从贝叶斯力学中产生的明显目的论。从物理学家的角度来看，这意味着我们从这样一个假设开始，即任何具有随机动力吸引子的有趣系统在沉降到其吸引集时将减少其熵。这与通常依赖于封闭系统熵增的统计热力学形成了鲜明的对比。然而，系统的封闭性 - 以其由马尔可夫毯隔离于外部状态的方式 - 可能是更有趣的问题。换句话说，隔热层或容器是如何出现的，是什么解释了它的持久性？这并不是说经典（和平衡）统计力学消失了：我们将在后续部分看到，在考虑包含在毯子内的毯子的集合时，它们是如何作为特殊情况出现的。

Self-organisation, frustration and supersymmetry

自组织、挫败感和超对称性

自组织的前述特征是启发式引入的，然而，与各种复杂性的表征存在一些建构有效性。其中最直接的或许是高阶互信息与与（几何）困扰动力系统中的漂泊动态之间的关系（Kaluza和Meyer-Ortmanns，2010）。特别是，具有负第三阶互信息的集合之间的相关性可以被视为受挫，因为“两体偏好同时不满足”（Matsuda，2000年）p3099。这些相关性在受挫的统计系统中尤为重要，例如自旋玻璃。在这些系统中，由于竞争相互作用或几何约束引起的受挫可以诱导复杂的相变、局部失序和非指数松弛（Fierro等，1999年；Matsuda，2000年）。有趣的是，高阶互信息也支持Tononi等人引入的神经复杂性度量：参见（Ay，2015年）。

目前的表述（以随机动力系统为基础）最好是考虑与随机系统的超对称理论（Parisi和Sourlas，1982）有关。所有关于连续时间动力系统的随机微分方程（我们在这里处理的类型）都具有拓扑超对称性（Ovchinnikov，2016年）。拓扑超对称性（TS）是指相空间连续性的保持；换句话说，即使在噪声存在的情况下，无限接近的点在连续时间演变过程中仍然保持接近。这种自发的TS破缺支持着普遍存在的动力学现象，如混沌、湍流和自组织临界性（Ovchinnikov，2016年）。这种对称性破缺导致了长程动力学行为的出现，根据Goldstone定理表现为1/f噪声和符合Zipf定律的突然（瞬时）过程的无标度统计；例如，地震、神经层流、太阳耀斑等（Beggs和Plenz，2003年；Kauffman和Johnsen，1991年；Newman，2005年；Plenz和Thiagarajan，2007年；Shew等，2011年）。

为了解释这种动力学行为，有人提出一些随机动力系统趋向于临界点。这构成了自组织临界性（SOC）的现象学方法（Bak等，1987年；Bak等，1988年）。自发的TS破缺提供了一种替代视角，回避了临界现象，将SOC视为噪声诱导的对称性破缺。在启发式方面，可以将其视为在不同吸引流形之间诱发的噪声隧道效应。图2有助于建立有关对称性破缺的直观认识，因为其呈现随着自熵的减小而出现的情况。图3提供了一个互补的插图，显示了随着自熵的降低而出现的动力学不稳定性（即临界性）。

自证明、自组织和无标度动力学。该图说明了随着自熵减小和外部与掩码状态之间的互信息减小而出现的流动、无标度动力学。这个简单的例子从一个固定形式的似然（左上面板）开始，将外部或隐藏状态映射到粒子的状态。为简单起见，在这个模拟中没有内部状态，因此粒子由掩码状态构成。在这里，一个隐藏状态通过一个非线性（二次）函数映射到一个掩码状态，其具有状态相关的离散度（用隐藏状态的二次函数建模）。自熵是相对于隐藏状态的边际密度最小化的（使用梯度下降）。随着梯度下降的迭代，随后的联合分布显示在中间行，而互信息在梯度下降的迭代中减小。黑线和红线分别对应于隐藏和掩码状态的边际密度。这里的关键观察是，联合分布逐渐将概率质量集中在减少互信息的区域，同时避免在感官状态上具有高条件不确定性的区域。这反映在右上面板中显示的互信息度量中。在这个例子中，自熵的减小意味着互信息的减小（即期望的复杂性或风险减小），同时条件不确定性略微增加（即模糊度增加）。给定联合分布，可以导出流动并解出特定的轨迹（在这里，超过220个时间步）。左下面板显示了流动的箭头图和轨迹的一部分（超过210个时间步，假设随机波动的振幅为1，四分之一的涡流）。选择这个片段是为了说明噪声诱导的隧道效应；即轨迹连接吸引集的两个区域。在技术上，这被称为瞬子（Ginzburg, 1987）。相关的动态显示出漫游，因为轨迹在吸引集内漫游。

随后的无标度行为在右下面板中以幂律的形式进行了说明。在这里，已经绘制了对数频率的对数谱密度图；显示出大致线性的关系，具有幂律指数-1.42。从技术上讲，这对应于拓扑超对称性的噪声诱导（N-相）破缺，或者更通俗地说，从吸引集的一个区域噪声诱导的隧道效应到另一个区域。尽管这种无标度动力学类似于与非广泛（或非高斯）动力学相关的异常扩散；例如（Pavlos等，2012），但它是从广泛（高斯）动力学中产生的，在这种动力学中，联合密度被优化为诱导自组织流。青色和洋红色的点对应于较早迭代时的等效模拟，以说明幂律尺度的出现。这些模拟使用了每个状态的128个箱的离散状态空间。轨迹是使用简单的欧拉方案进行积分的。

对称性破缺和分叉。这个图示说明了特定（即自我）熵与轨迹的指数发散之间的关系，这是随机洛伦兹系统中对称性破缺的基础（Agarwal和Wettlaufer，2016; Lorenz，1963）。这个例子说明了熵如何随着分叉及其相关的（随机）吸引集的变化而变化。在这里，我们对一个洛伦兹系统进行积分（用于1/64单位时间的2^18个时间步长），其Rayleigh（控制）参数的值逐渐增加，这在确定性系统中会引起一个分岔分叉（在ρ = 1处）和随后的（次临界）Hopf分叉（在ρ = 24.74处）。由于我们向流中添加了小的（标准偏差为1/128）随机波动，噪声诱导的拓扑对称性破缺在ρ = 14左右出现（通常在混沌瞬态的区域）。轨迹的指数发散是用最大Lyapunov指数来测量的（在轨道上平均）。Lyapunov指数的变化（右图）导致吸引集成为填充空间（见下面的插图），伴随自熵和相互信息的变化（左图）。在这里，我们利用了洛伦兹系统流有一个缺失链接（从第三个到第一个状态）。这意味着我们可以将第一个状态与主动状态相关联，将第二个状态与感官状态相关联，将最后一个状态与外部或隐藏状态相关联（请注意，在这里没有内部状态，特定状态减少到毯子状态）。在这个模拟中，显著的结果是自组织的最高程度 - 如在（主动和感觉）毯子状态的熵中所反映的，在随机混沌爆发之前显示出明显的下降 - 在与确定性系统中的关键减速相关的区域。插图以插图轨迹（右图）和相关的集合密度（左图）的形式说明了分叉和吸引集，这些图像被任意缩放到轨迹的最小值和最大值。纵向线表示主要的分叉，而横向线表示主要Lyapunov指数首次在（随机）混沌开始时穿过零。相互信息度量（第一个和其余状态之间）是使用32个bin在三个维度中对状态空间进行离散化来评估的。这个例子被提供作为一个数值研究，以说明自我组织的简单定义 - 即毯子（即特定）状态的熵 - 在与随机混沌中的自组织临界性的关系方面具有一些结构效度：这可能或可能不是泛化的验证。请注意，这里显示的动力学不是确定性的，因为每个状态都配备了随机波动。我们将在后面看到，这意味着洛伦兹吸引子的每个状态都被建模为在更低尺度上继承其内部状态的快速波动的毯子状态的混合。

Self-organisation and information length自组织和信息长度

到目前为止，我们已经从特定熵的角度考虑了自组织，其中低熵似乎与对称性破缺和自组织临界性的现象学相辅相成。这引发了一个问题：如何量化这种漫游？一种方法借用了信息长度的概念；即系统在到达非平衡稳态的过程中经过的可辨认的概率配置的数量。换句话说，可以将漫游的对称性破缺（在生物系统中看到的那种）与从特定状态到非平衡稳态的长信息长度相关联。使用信息长度避免了关于高自熵与低自熵意义的棘手问题，后者只在一个加法常数的范围内定义（Jones，1979）。相反，信息长度是一个可以应用于任何密度动力学的度量，用于评估我们试图量化的流动漫游动力学。

为了对信息长度建立直观感受，图4显示了三个示例，说明了流动和随机波动在生成漫游但结构化动态中的作用。在这个插图中，我们使用图3中的Lorentz系统，展示了一个给定特定状态的初始密度如何收敛到非平衡稳态密度的不同方式。上图显示了由Lorentz吸引子引起的熟悉的自组织，使用低振幅的随机波动。在这个区域，系统经历了一个Hopf分叉，通过使用28的Rayleigh参数来保证。初始密度的演变是通过以下方式评估的：(i) 到NESS密度的KL散度

）密度随时间的信息长度差异与最终（稳态）密度

上述不等式称为 Pinsker 不等式，其中

称为总变异距离 (Rényi, 2007)，上限为

，我们将其称为散度长度。回想一下（1.18），统计距离的表征

相关，但在 KL 散度的使用方面有所不同。路径长度是随着时间的推移小增量的偏差的累积——以确保信息长度是距离的（黎曼）度量。相反，初始密度和最终密度之间的发散长度不是。(2.9) 中的最终表达式表明，经过足够长的时间后，密度“忘记”了它开始时的特定状态；渲染散度增量和信息长度为零。反过来，“记住”其初始状态的粒子具有长信息长度和流动密度动力学。

长信息长度实际上意味着初始密度与最终密度相差很远，因此收敛需要更长时间 (由中的蓝色小箭头表示 Figure 4).在这个例子中，收敛到稳定状态大约需要 8 秒钟。这可以与下图形成对比，下图显示了快速收敛的例子；这意味着初始密度具有短的信息长度。

从(1.1)式中可以直观地看出，有两种方法可以减少信息长度。首先，可以在保持流量不变的情况下增加随机波动的幅度。这使得轨迹能够快速探索状态空间，并从任何初始密度中找到它们的吸引集。图 B通过增加随机波动的幅度来说明这一点——通过将它们的对数精度从 8 降低到 0。这显著地减少了信息长度，因此收敛到非平衡稳态不到一秒钟。或者，可以改变流量，而不改变随机波动的幅度。当瑞利参数从 28 减少到 1 时，图 C 中的例子具有相同的信息长度减少-以及伴随的 KL 发散。在这种流动状态下，洛伦兹吸引子变成点吸引子，并且由于随机混沌导致的流动消失(参见 Figure 3).

一般来说，信息长度保持系统动态的线性。例如，对于线性流，我们有一个熟悉的奥恩斯坦 -乌伦贝克过程，其中信息长度随着随机波动的幅度而减少。以下(金，2018):

相比之下，非线性流动改变几何结构的线性标度，产生幂律标度 1，具有对称性破缺、巡回性和自组织临界性 7 （注释：行程和自组织临界性7）的特征。(Kim，2018)中混沌系统的数值分析的一个有趣方面是信息长度对初始状态的依赖性，其中不稳定点或临界点具有最短的信息长度。根据中的数值分析 Figure 3,有人可能会把从不稳定点开始的噪声诱导隧道效应想象成通向非平衡稳态的“捷径”。线性情况表明，当随机涨落达到大的振幅时，所有的初始条件都接近于稳态，并且暗示着，自组织到非平衡稳态 (几乎)是瞬时的(参见，图B)Figure 4).稍后，我们将把这种行为与小(量子)粒子联系起来。

在第三部分中，我们将更仔细地研究具有长信息长度的系统中的自组织，并将这些粒子与短信息长度的系统进行对比，如量子和其他小粒子(如病毒)。根据这种观点，信息长度区分了小(量子)粒子的简单、快速、“热”自组织和大(经典)粒子的巡回、缓慢、“冷”行为。

收敛到非平衡稳态。答:这是一个简单的(几乎)确定性收敛到非平衡稳态的演示，使用的是洛伦兹系统 Figure 3.获得了 8192 个初始状态的确定性解(瑞利参数为 28 ),积分超过 8 秒(时间步长为 1/64 秒，低振幅对数精度为八的随机波动)。每种溶液的初始特定状态是相同的，然而它们的最终密度随着时间的推移收敛到非平衡稳态。这表现为样本密度和最终(NESS)密度之间的差异崩溃——在每个时间点使用总体密度的高斯近似进行评估。上面的插图显示了四个时间点的传播样本密度。随着时间的推移，这个密度会呈现出我们熟悉的洛伦兹吸引子的蝴蝶形状。然而，这些解不是通过状态空间的轨迹，它们是从一组起始位置开始的路径的端点(如右图所示)。为了比较，收敛也以相对信息长度来表示。可以看出，当散度为零时，信息长度实际上停止增加。下图显示了相同的模拟，但使用了对数精度为零(即方差为 1)的随机波动(图 B)和瑞利参数为 1 的随机波动(图 c)。在这些图中，我们将洛伦兹系统的第一个状态视为活动状态，第二个状态构成了感觉状态，第三个状态扮演了外部或隐藏状态的角色。这一名称是基于第一个国家不受第三个国家影响的事实。这个数值例子显示了关于外部状态的不确定性是如何随着时间传播，从而导致关于粒子状态的不确定性；即使初始(特定)状态是已知的。

Summary摘要

这一节的论述表明，自组织系统通过耦合到外部状态(或其他马尔科夫毯)和随机波动，将它们的自熵降低到允许的程度。使用信息论，有可能根据统计规则来解释这种行为；即避免复杂性成本(即风险)和不准确性(即模糊性)。简单自组织的涅槃是特定熵或自熵的完全分解:这里一个平凡的解决方案是当特定密度坍缩为点质量时(即 δ 函数)。虽然我们对这些简单的解决方案不感兴趣，但有趣的是反映出小粒子可能试图回到宇宙是如何开始的。一个更有趣的巡回自组织的例子在 Figure 4. 在第三部分，我们将回到自组织和对称性破缺的出现。简而言之，我们将看到，具有这些特征的系统总是可以被解释为通过最小化变分自由能来从事所谓的主动推理(也称为自证)。

Table 1 提供了本节中介绍的信息度量的摘要，我们将在后面引用。然而，在处理自组织的感知基础之前，我们将花一些时间从马尔可夫毯(在第一部分的剩余部分)及其与量子、统计和经典力学(在第二部分)的关系的角度来解开 NESS 引理(附录 B)，以便为主动推理(在第三部分)的后续处理提供背景。

Synthetic soups and active matter合成汤和活性物质

在这一节中，我们将描述一个范例系统，它将在后面的章节中用来说明横切主题。在这里，它被用来模拟一种原始汤——以马尔科夫毯和内部状态来说明自组织的出现。这种汤或活性物质(Ramaswamy，2010年)包括通过短程相互作用耦合的粒子集合。每个粒子对应于洛伦兹系统前一部分已经用毯态“装扮”以创建内部状态——并使粒子之间能够相互作用。由此产生的模拟类似于那些用于描述耗散系统中模式形成特征的模拟；例如，图灵不稳定性(图灵，1952 年)和非平衡系统中的其他耗散结构，如流体动力学中的湍流和惯例(如 Bénard 细胞)或反应扩散系统中的逾渗，如别洛乌索夫-扎博廷斯基反应(别洛乌索夫，1959 年)。在我们的情况下，我们可以把我们的系统看作是大分子的集合体；然而，模拟的细节并不重要，任何耦合的随机动力系统都会得到类似的结果。以下描述总结了(Friston，2013)中的材料，感兴趣的读者可以在其中找到更多详细信息。

An active soup有活力的汤（‍‍‍‍‍‍活性汤）

这里，电化学状态的变化通过其它状态的局部平均

来耦合距离在一个单位以内的大分子。这意味着 可以被看作是一个邻接矩阵，它编码了系综的电化学状态之间的依赖关系。重要的是，这意味着电化学耦合取决于大分子之间的空间关系。相应的速率参数

其中

选自均匀分布，以确保拓扑对称破缺。类似地，每个大分子的(牛顿)运动取决于其相邻分子的电化学状态。

Similarly, the (Newtonian) motion of each macromolecule depends upon the electrochemical state of its neighbours，这种运动依赖于由其他大分子施加的力 F(i ),这些力包括强排斥力(平方反比定律)和取决于电化学状态的较弱吸引力。选择这种力，使得具有相干电化学状态的大分子相互吸引，否则相互排斥。第二个等式中的其余两项代表粘度，粘度取决于速度和将所有大分子吸引到原点的外力——就好像它们在一个简单的(二次)势能井中运动一样。这确保了合成汤落到井底。我们现在仔细看看在这些运动方程下出现的自组织。

合成汤和活性物质。此图描述了用于模拟耦合(随机)动力系统(即粒子)的运动方程，以说明自组织。这些方程描述了动力学(已经被分成电化学和牛顿分量)。这些示意图说明了粒子之间的条件依赖关系，其中每个粒子都包括其马尔科夫毯和内部状态。橙色轮廓的状态是电化学状态剩下的一对构成牛顿态。注意活动状态(红圈)起到位置的作用，而感觉状态(洋红色圈)变成了依赖于活动状态的速度。当我们考虑经典力学时，活动状态和感觉状态的这些作用将在以后体现出来。

A random dynamical attractor and its Markov blankets

一个随机动力吸引子及其马尔可夫毯

在下面的模拟中，128 个粒子(即，大分子)的集合使用欧拉(正向)方法积分，步长为 1/512 秒，初始条件从正态分布采样。通过调整运动方程(3.1)和(3.2)中的参数，可以产生一系列似是而非且有趣的行为(这些模拟的代码和本专题论文中的图可作为 SPM 学术软件的一部分获得——见软件注释)。这些行为从类似气体的行为(粒子偶尔会靠得足够近而相互作用)到活跃的大锅，当粒子在势阱底部被迫聚集在一起。在这种状态下，大分子足够接近，平方反比定律可以把它们分开。在其他的机制中，一个更加水晶化的结构出现，相互作用减弱。

然而，对于大多数参数值，随着系综接近其随机全局吸引子(通常在大约 1000 秒之后)，弱混合行为出现。一般来说，大分子最初互相排斥，然后退回到中心，当它们结合时会找到彼此。然后，局部交互作用介导了一种自组织，在这种自组织中，粒子四处传递(有时传递到外围),直到邻居舒适地挤在一起。简而言之，运动和电化学动力学看起来就像一个活跃的，不平静的汤– 但是它包含马尔可夫毯吗？

The Markov blanket 马尔科夫毯

系综动力学和自组织。上面的图显示了 2048 秒后，组成整体的(128)个大分子的位置。左上图显示了以其位置(较大的点)为中心的每个粒子的动态状态(每个大分子三个蓝点)。大分子整体被分为外部或隐藏(青色)、感觉(品红色)、活性(红色)和内部(蓝色)粒子。右上图是枯草芽孢杆菌孢子内染色的图像。此图说明了模拟可能运行的时空尺度。下面的图显示了每个粒子的电化学(中间的图)和空间(下面的图)状态随时间的变化。内部(蓝色)和外部(青色)状态的(电化学)动力学显示了 512 秒。下方的面板显示了整个模拟周期内内部(蓝色)和外部(青色)状态的位置。这些模拟是正文中随机微分方程的解——使用 1/512 秒时间步长的前向欧拉方法和标准偏差为八分之一的随机高斯波动。

The emergence of order 秩序的出现

给定内部粒子和它们的马尔可夫链，我们现在可以跟踪组成大分子的装配，并可视化它们的轨迹。的上部面板 Figure 6 显示了组成系综的(128)大分子的位置。左上图显示了模拟结束时每个大分子的电化学状态(每个大分子三个蓝点),以其位置(较大的点)为中心。这系综被分成外部或隐藏(青色)、感觉(品红色)、活性(红色)和内部(蓝色)粒子。可以看出，得到的马尔科夫毯包围内部粒子的棒状结构(即芽孢杆菌)。有趣的是，活性大分子支持暴露于外部粒子的感觉大分子。这使人想起具有活性分子(例如肌动蛋白丝)的细胞骨架的生物细胞，其被感觉分子(例如细胞表面)包围。右上图是枯草芽孢杆菌孢子内染色的图像。这张图展示了我们可以想象模拟操作的时空尺度。下图显示了电化学(中图)和牛顿(下图)特定状态随时间的变化。人们可以看到最初的(混乱的)瞬变过程很快就解决了，当它们接近它们的吸引集时会有流动的行为。下方的面板显示了整个模拟期间内部(蓝色)和外部(青色)粒子的位置。

请注意，这里发生了一些非常微妙的事情。我们从一组粒子(如大分子)开始，其中每个粒子都以特定(即感觉、活性和内部)状态为特征。然后，我们最终得到了单个颗粒(例如，芽孢杆菌或病毒)，其特征在于特定的(即，外部的、感觉的、活性的和内部的)颗粒。简而言之，我们已经从微观尺度发展到宏观尺度，两者都是毯态。下一节将更仔细地研究这一步。在这里，我们简单地注意到一个宏观的马尔可夫毯已经从简单的自组织中出现。那么，是什么允许我们把微观动力学描述为自组织呢？

Figure 7 根据系综粒子的特定熵证明微观自组织– 以及在互信息(即复杂性成本或风险)和条件熵(即模糊性)方面的伴随变化。这里，这些(相对)熵测量值的总体平均值取自所有(128)个大分子；其中每个粒子的马尔科夫毯包括除了第三(电化学)隐藏状态之外的所有状态。正如预期的那样，这种信息论特征揭示了当系综接近其随机动态吸引子时，特定熵(和复杂性成本)的单调减少。

摘要

总之，这一节描述了一个多少有些随意的动力学系统，它包括一个粒子系综，每个粒子都有几个动力学状态(三个电化学状态，两个描述位置和速度)。至关重要的是，流动或运动方程的构建使得模拟大分子之间的电化学耦合取决于位置，并使它们的速度取决于电化学状态。这使得系综具有动态和稀疏的耦合，这使得马尔可夫毯的出现变得容易；将内部粒子和外部粒子(以及它们的组成状态)分开。在这个例子中，内部粒子(和马尔科夫毯)可以被认为是模拟一个小的病毒状粒子或棒状细菌。我们现在手头有一个电子生物。稍后，我们将检查这个合成生物，看看内部粒子的状态(例如，细胞内的电化学状态)是否真的推断或代表了外部粒子的状态(例如，细胞外的运动)；就像真正的有机体一样。然而，首先，我们需要理解马尔科夫毯是如何从由马尔科夫毯(和它们的内部状态)构成的粒子的耦合中出现的。

自我组织的汤。本演示使用一组具有内在(洛伦兹吸引子)动力学和(牛顿)短程耦合的粒子来说明特定(即自我)熵方面的自组织以及相互信息(即复杂性成本或风险)方面的伴随变化。这里，这些(相对)熵测量的总体平均值是对所有(128)个粒子进行的；其中每个粒子的马尔科夫毯包括除了第三(电化学)隐藏状态之外的所有状态。下面的面板显示了当系统接近其随机动态吸引子时，毯熵(和复杂性成本)的减少，分别显示为粗实线和细实线。最低的虚线对应于条件熵(即模糊度)。在上面的三个面板中提供了在(随机)混沌瞬态期间的三个点处的粒子的说明性轨迹。这些相对熵的变化可以与 Figure 2 对于单个粒子来说。

States, particles and fluctuations 状态、粒子和波动

让我们回到起点；即朗之万方程(1.1)，并提出一个简单的问题:状态和波动之间的区别是什么？本节给出的答案是，波动只是快速状态，变化如此之快，以至于我们可以忽略它们的时间相关性，并采用通常的维纳假设。这种区别突出了一个关键的原则是什么；也就是说，时间尺度的分离允许一个绝热假设，允许一个人从快速波动中分离出缓慢变化的状态。现在，让我们问一个更基本的问题 :什么是state？这个问题可以通过诉诸于如下的无限回归来解决:

• What is a state? A state is an eigenstate of a particle’s Markov blanket.

• What is a particle? A particle is a set of particular states comprising blanket and internal states.

• What is a state? A state is … and so on

本征态在这里指的是覆盖态的本征模的表达；即雅可比矩阵的主要特征向量(即流量相对于状态的变化率)。这些混合物在形式上等同于协同学中反映慢的、不稳定的本征模振幅的序参量(Haken，1983)。根据中心流形理论，它们对应于慢(不稳定或中心)流形上的解(Carr，1981；戴维斯，2006)。

An eigenstate here refers to the expression of an eigenmode of blanket states; namely, the principal eigenvectors of their Jacobian (i.e., rate of change of flow with respect to state). These mixtures are formally identical to order parameters in synergetics that reflect the amplitude of slow, unstable eigenmodes (Haken, 1983). In terms of centre manifold theory, they correspond to solutions on the slow (unstable or centre) manifold (Carr, 1981; Davis, 2006).

简而言之，一个粒子的马尔可夫链由一组矢量态组成，这些矢量态的本征态对着上面尺度的链或内部态。注意，本征态在较低尺度下总是毯式态的混合物，而本征态在较高尺度下可以是毯式态或内部态。这是因为只有那些影响其他(总括)states的states才是“重要的”。换句话说，唯一相关的耦合是在包层状态之间 8。（注释：8 重整化群理论意义上的相关:施沃布尔，2002 年。相变，标度不变性，重整化群理论，渗流，统计力学。施普林格柏林海德堡，柏林，海德堡，第 327-404 页。）实际上，我们在这里所做的就是将奴隶原理或中心流形定理(Haken，1983)递归地应用于马尔可夫链的马尔可夫链。重整化群方法(Cardy，2015；施沃布尔，2002)，其中以下内容可以被视为试图建立states(和波动)的普遍性，在构成普遍性类的意义上。第一部分的最后一节通过分析(和数值模拟)解开了这个结构。

Starting at the end 从结尾开始

在描述的给定尺度或水平(i)上，我们可以考虑如下的 ansatz:随机动力系统可以被表征为状态的耦合子集，其中第 n 个子集 在

构成的向量状态粒子或非线性振荡器:

第n个粒子的状态的运动方程包括一些基线流（在相空间中的当前点）以及由所讨论的粒子的状态和其他状态确定的内在和外在分量分别是粒子。在这种形式中，耦合矩阵的对角元素，我

，确定对外部扰动和随机波动的振荡响应的频率和衰减。在接下来的内容中，我们将看到（4.1）式在更高（宏观）尺度上导致粒子状态的同构表达式。这种递归归纳的概要见图8。

毯子的毯子。这个示意图说明了递回过程，通过这个过程，更大的(和更慢的)规模的动力学从从属的层次上相继出现。在图的底部(下面板)，我们从一组矢量状态(这里是九个)开始。这些矢量状态(即本征态)之间的条件依赖性定义了粒子的特定划分(上图)。至关重要的是，这种划分将每个粒子分为包层和内部状态，其中包层状态包括活动(红色)和感觉状态(洋红色)。现在，每个粒子的行为都可以用(慢)本征模或其包层态的混合物来概括——以产生下一个水平或尺度的本征态。这些构成了矢量状态的集合，过程再次开始。在形式上，人们可以通过两个算符从系统动力学的粗粒化的角度来理解这一点。第一种使用特定的划分对状态子集进行分组(G ),而第二种使用产生的毯式状态的本征模来降低维数(R)。上图显示了单个粒子(左图)和粒子群的二分情况；即特定分区本身(右图)。上面的插图形象地说明了从一个尺度到下一个尺度的特定依赖关系的内在自相似性。请参见正文，了解该图中使用的变量的定义。

The Markovian partition马尔可夫分割

在这里，活动状态只依赖于它们参与的马尔可夫毯和它们包围的内部状态。同样，内部状态只取决于它们自己和它们的马尔可夫链。相反，感觉状态的流动依赖于所有其他状态(除了隐藏在马尔可夫链后面的内部状态)。最后一个等式中隐含的分划强调了一点，即(特定的)马尔可夫分划是对粒子的分划，其中每个粒子本身是对覆盖态和内部态的分划。

现在考虑第j个马尔可夫毯流的泰勒展开，其中内在动力学被吸收到随机波动中。为简单起见，我们假设当前状态构成广义坐标的原点:

所以我们可以用局部偏差来表示一切:

在这种扩展中，马尔科夫毯对其自身流动的影响是直接调节的——通过活动和感觉状态之间的相互作用——并通过内部状态间接调节。换句话说，对于马尔可夫链的每一个状态，都有一个期望的内部状态

对马尔可夫链的流动做出贡献，具体来说，活动状态:参见(4.6)。这意味着内部状态的贡献取决于它们期望值的波动。这些内在波动

(i)只影响马尔可夫毯，因为他们有条件地独立于外部状态(即，在其他马尔科夫毯下的内在波动)。这种有条件的独立性意味着内在波动对每个包层都是独特的。

通过将内在波动与随机波动联系起来，我们要求它们在不同的毯子之间是独立的，并且快速波动。后一个要求得到了保证，以毯态为条件的预期内部状态提供了一个不稳定的或中心的流形，该流形以比流形上的流动快得多的速率吸引内部状态轨迹9（注释9：9隐式中心流形的更精细的构造可以借助Takens（延迟嵌入）定理，使期望的内部状态以毯态的广义运动为条件；然而，为了简单起见，我们将只处理广义状态本身。关于广义运动坐标的讨论，参见附录E和Friston，k .，Stephan，k .，Li，b .，Daunizeau，j .，2010年。广义滤波。工程中的数学问题，2010年第621670卷，科尔，W.C .，格雷厄姆，A.J .，2000年。朗之万方程和相关的福克-普朗克方程的广义相空间形式。欧洲物理杂志B 15，305-311。）

调解上述动态的雅可比矩阵(即，流相对于状态的变化率)尊重马尔可夫毯所暗示的条件独立性；也就是说，活动状态不能直接受到外部状态(即其他马尔可夫链)的影响，而感觉状态不能直接受到内部状态的影响。(froom 1.21)：

最后，以其自身覆盖层为条件的预期内部状态不受其他覆盖层的影响(即，有条件地独立于其他覆盖层)。

Figure 9 描述一个特定的分区(分成粒子)如何进行。应该注意的是，中的过程 Figure 9 是形成特定分区的许多方法之一——对于任何给定的系统，显然都有大量的特定分区。这反映在术语“特定划分”中，该术语表示对粒子的划分，但在它是许多可能的划分之一的意义上也是特定的。该过程基于图拉普拉斯算子有效地识别了一小组内部状态及其马尔可夫链。剩余的(外部状态)被递归地分配给粒子，直到所有的状态都被考虑。我们稍后将把这个过程应用到我们的合成汤。然而，首先，我们需要解决给定特定分区的一揽子状态的动力学问题。

特定的分区。该示意图说明了将矢量状态(小彩球)划分为粒子(包括九个矢量)，其中每个粒子具有六个毯式状态(红色和品红色分别表示活动和感觉状态)和三个内部状态(青色)。上面的面板总结了用于创建特定分区的操作符。我们从建立一个描述不同向量状态之间耦合的邻接矩阵。这是基于雅可比矩阵和隐含的矢量状态流。得到的邻接矩阵定义了马尔可夫毯形成矩阵(B ),该矩阵标识了孩子、父母和孩子的父母。使用相同的邻接矩阵来形成用于定义相邻(即耦合)内部状态的图拉普拉斯算子(G)。首先使用拉普拉斯图识别一组内部状态。这里，基于与具有最大图拉普拉斯算子的向量状态的密集耦合，选择第 I 级的第 j 个内部状态子集。然后从拉普拉斯图中超过某个阈值的列中选择耦合的内部状态。实际上，后面使用的例子指定了层次分解的每一级所需的内部状态的数量。已经识别了一组新的内部状态(其不是迄今为止已经被识别的任何粒子的成员),使用马尔科夫毯形成矩阵来恢复其马尔科夫毯。然后，内部和覆盖状态构成一个新的粒子，它被添加到已识别的粒子列表中。重复该过程，直到所有矢量状态都被考虑。通常，在这个过程的末尾，候选内部状态被耗尽，因为所有剩余的未分配的向量状态属于先前识别的粒子的马尔可夫链。在这种情况下，下一个粒子可以是活动状态或感觉状态，这取决于是否存在不受另一个粒子影响的(活动状态的)子集。在这里的例子中，我们已经识别了四个粒子，并且该过程将第五个(顶部)粒子添加到粒子列表中；从而解释了剩余矢量状态中的九个。

The adiabatic reduction 绝热还原

在有效地消除内部状态以形成马尔可夫链的自治运动方程之后，我们现在应用绝热近似来分离快动力学和慢动力学。这种分离取决于每个马尔可夫链的雅可比矩阵的特征向量，其中我们可以用小(慢)和大(快)负特征值来分离特征向量(使用–来表示左特征向量或右特征向量的广义逆):

这个【本征】分解用分块矩阵表示，其中主要对角块包括特征值的主要对角矩阵。实际上，特征向量表示状态的混合，跟随外部、内部或随机波动的扰动。这里，

是一些小的负数这就给快速本征模的消散速度设定了一个下限。将上面的方程组投影到特征向量上，给出了分别用于慢速和快速动态的两组方程:

上面的方程描述了具有(第 j 个马尔科夫毯的)慢动态的流动，该流动由其他马尔科夫毯中的慢外部动态驱动。在这个公式中，内在的和随机的涨落被其他马尔可夫包层中的快涨落对所讨论的包层的慢模的影响所补充。这种绝热膨胀中隐含的时间尺度的分离意味着，人们可以假定，相对于慢模式的动力学，内在(和外在)涨落是快的。这种假设允许我们以与最初的 ansatz (4.1)相同的形式来表达慢模态的动态特性：

这是我们分析的终点；其中在一个层次上的动态形式的ansatz作为在下一个层次上的条件独立性的结果而出现。这意味着流动可以以递归方式分解，以描述逐步提高的空间和时间尺度上的动态(参见乔莱斯基分解中隐含的递归高斯消去法)。注意，(4.9)中的最后一个等式通过中心极限定理确保了波动是高斯的，因为它们是较低水平的波动的混合。

注释：10 混合物是非线性的，因为特征向量是当前状态的函数。这是因为雅可比矩阵依赖于状态。

绝热还原。该图说明了构成层次分解第二部分的绝热降维；即内部状态的消除和慢速覆盖模式的保留。该示意图分为三栏。前两列代表状态的划分(左边一行)和相关的随机波动(中间一行)。右边一行使用与上图相同的示意图格式。这里，我们从第一层的状态划分开始。在分解成粒子的毯态和内部状态(见上图)之后，绝热还原将每个粒子的毯态分解成快速和慢速模式。慢模现在构成了下一级的矢量态(即本征态)。相反，快速波动模式被添加到内在波动中，以产生下一级的随机波动。这个过程完成后，我们又回到了起点；也就是说，将状态划分成向量(即，在下一层的粒子的覆盖状态的慢模式)和随机波动。这在右边通过特定的分割和(绝热)约化，将第一层的大量矢量态转化为下一层的少量矢量态来说明。之所以称之为绝热减少，是因为本征值——用于将模式或混合的毯态分配给下一级的矢量态——对应于潜在雅各比派的李亚普诺夫指数。这些特征值的实部反映了模式随时间衰减的速率。请参考正文以了解此图中使用的变量的描述。

Elimination and renormalisation 消去和重正化

概括地说，等级尺度之间的递归联系依赖于两个步骤。首先，一个特定的划分能够通过在马尔可夫毯上进行调节，通过在下一级将内在波动吸收为随机波动(由中的变换 G 表示)来消除内部状态 Figure 8).第二，剩余(马尔科夫毯)状态的特征向量使得绝热分解成为慢和快动力学。反过来，这使得能够通过将快速动态吸收到下一级的随机波动中(由中的变换 R 表示)来消除快速动态 Figure 8).这可以总结如下:

从这个角度来看，一个粒子的(宏观)状态对应于它在较低水平上的(微观)包层状态的混合物。连续的分解消除了内部态和混合的覆盖态，它们的波动快得足以被视为随机。

我们将这称为系综假设，它需要快模式和慢模式之间的弱耦合。(4.11)中隐含的递归替换说明了随机波动如何从内在波动继承它们的动态；即通过内在波动的连续积累和混合 11（注释：11 为简单起见，我们忽略了由内在波动之间的相关性引起的较高级别的随机波动之间的相关性。原则上，这些通过快速特征向量的仿射变换来处理）

换句话说，总体波动是来自次级尺度的内在波动的混合。接下来的图片与区分快速微观状态和慢速宏 观状 态的 公式 一致 : 例 如， 协同 学中 慢速 ( 不 稳定 ) 序 参量 和快 速 ( 稳定 ) 模 式之 间的 区别(Frank，2004；哈肯，1983)；统计力学中规范系综的微观状态和宏观状态之间的区别(Seifert，2012)以及分叉和中心流形定理中不稳定和稳定流形之间的区别(Carr，1981)。这种处理的关键方面是，当用包围和隔离它们的马尔可夫毯来描述动力学时，快速、稳定、耗散的微观动力学通过消除内部状态而出现。然后，这些波动从随后出现在更高层次的慢模式中分离出来

重正化的概念提供了这种绝热减少的另一种观点。在理论物理中，重整化群(RG)指的是在不同尺度下测量时表征系统的变换(Cardy，2015；施沃布尔，2002 年)。重整化的工作定义涉及三个要素(Lin 等人，2017 年):随机变量的向量、粗粒化操作和操作不改变拉格朗日函数形式(或动力学的等效描述)的要求。在我们的例子中，随机变量是状态；粗粒化操作对应于分组(G)到一个特定的分区和绝热减少(R)——这使得动力学的函数形式(和相关的拉格朗日)保持不变。例如，从(1.2)和(4.9)中，我们可以用重整化群的形式写出任意尺度下粒子的拉格朗日量:

在这里，粒子在一个尺度上的拉格朗日函数已经在一个较低尺度的状态中表达出来，经过粒化或阻塞变换R G，构成了特定的配分和绝热约化。这种变换必然会通过消除较低能级的内部状态并保留毯态的相关本征模来减少状态的数量，其中（在系综假设下）:

这里，拉格朗日量的参数被取为流、耦合参数和波动幅度，它们的变化由 β 函数实现，该函数据说在参数空间上诱导重正化群流(或 RG 流)。这种流动的关键方面在于绝热减少，这使得在连续的宏观尺度上动力学逐渐变慢，因为——通过构造——只有慢模式被粗粒化保留；例如，

相应的 RG 流在振幅上的波动

，这是一个进步的举动从具有高振幅、快速波动的动力学(例如，量子力学)到由慢动力学支配的确定性系统(例如，经典力学)。在确定性系统中，

扮演了李亚普诺夫指数(c.f .，临界指数)的角色，它量化了无限小的接近轨迹的分离率(李亚普诺夫和富勒，1992；皮拉加斯，1997 年)。这表明，当我们从一个尺度进入下一个尺度时，随机波动的幅度会随之减小，并趋向于动态流动(Cessac 等人，2001；Pavlos等人，2012 年)。

在这个(RG)设置中，相关变量被认为描述了系统的宏观行为，而无关变量则不是。从我们的观点来看，相关变量对应于(4.13)式中保留的慢模态，而无关变量可以与快模态和内在波动相关联(见 Figure10).Figure 11 和图 12 提供了一个工作实例，将绝热简化应用于前一部分的合成汤的一系列分级 (特定)分区。

Markov blankets as dissipative structures

作为耗散结构的马尔可夫毯

我们做了一些通货紧缩的假设，需要加以评论。首先，非平衡稳态已经被铸造为随机(动态)吸引集的自组织(阿诺德，2003；克劳尔等人，1997 年；克劳尔和弗兰多利，1994 年)。这引发了两个问题。首先，这是描述远离平衡系统的耗散结构的恰当的数学图像吗？第二，非平衡态和平衡态的区别是什么？第二个问题有一个简单的答案:平衡系统有一个吸引集，围绕着一个动态稳定的不动点。换句话说，梯度流局部地指向单个相空间中的点，从而排除了巡游——以及表征非平衡稳态的空间填充吸引子。

第 一 个 问 题 更 微 妙 ‘12’（注释：12 我感谢 Klaus Harisch 就此问题的来信。）。耗 散 结 构 — — 在 Prigogine 的 意 义 上 (Nicolis 和 Prigogine ， 1977 ；Prigogine，1978)——是以拓扑[超]对称破缺和巡游的自发出现为特征的动态结构；例如湍流、气旋和生命系统(英格兰，2015 年)。特别是，耗散结构有一个可再生的(稳态)机制。从我们的角度来看,“系统”只存在于它的马尔可夫链中。因此，随机动力系统的覆盖态构成了耗散结构。将马尔科夫毯与耗散结构联系起来是很吸引人的，因为毯态是由动力流诱导的条件独立性定义的。简而言之，马尔可夫链是一种耗散结构，产生于结构化流动。

话虽如此，随机动力吸引子的假设排除了耗散结构的公式（这类）就游荡集而言（伯克霍夫，1927）。换句话说，它不容易适应这样一个事实随着时间的推移，构成马尔科夫毯的粒子可能会走散或者交换更新了。这里的典型例子是蜡烛火焰的覆盖态，它的组成粒子（即气体分子）处于恒定的流量中。这说明了推广治疗的有趣挑战处理漫游装置‘13’（注释：13 例如，通过使用(周期性)边界条件和流动算子，将总括状态从状态空间边界上的一个位置传输到另一个位置，具有相同的 NESS 势和作用(即流动)。然而，我们将进行简化假设，即在一段合适的时间内规模、覆盖状态被很好地定义为吸引状态的子集。

摘要

总之，我们已经看到了结构化动力学如何从一个层次(例如，生物物理状态)分层导出，以产生中间物(例如，大分子)，这些中间物组装成更高阶的耗散结构(例如，细胞)，这些耗散结构形成可识别的群落(例如，细胞器)。在(自我)组织的每一个层次上，组成粒子的完整性都是通过保持马尔科夫毯来保证的，马尔科夫毯使我们能够谈论“事物”(Ramstead 等人，2017 年)，或者，事实上，事物如何影响事物(Constant 等人，2018 年)。在这本专著的第二部分，我们将着眼于人们可能期望在自组织的不同尺度上看到的物理种类。

活性物质的分级重整化。该图说明了分级重整化（即递归特定划分和绝热缩减）对图5的合成soup的应用。该图说明了两个连续的重整化过程，以构建连续较慢和较大尺度的动力学。下面一行图像显示了三个水平的【本征】态的雅可比矩阵（即流量相对于状态的变化率）。雅各宾派是成对出现的:左边雅可比矩阵按状态所属的粒子排序，而右边的雅可比矩阵按状态类型排序–活动（红色）感官（洋红色）和内部（蓝色）。该名称由每个雅可比矩阵下边缘的点的颜色编码。从最低层（左边）开始，我们有896个矢量或本征态，遵循特定的划分可以被分配给128个粒子。粒子之间的相关性或耦合可以用于创建光谱或嵌入空间，对应于图9中拉普拉斯图的本征模式。启发式地，这提供了一个坐标系，其中每个粒子都可以被定位。由此产生的缩放空间意味着相邻粒子之间的耦合与他们的接近。该光谱嵌入图示了两次，首先根据粒子进行颜色编码（每张照片的左图对）并根据它是主动（红色）感官（品红色）还是内部（蓝色）本征态（每对的右图像）。可以看出，雅可比矩阵隐含的依赖结构在标度空间中引入了复杂的几何结构。在移动中到下一个层次，内部状态（蓝色）被消除，剩余的毯式态的本征态构成矢量态下一关。在这个例子中，我们从将896个微观状态划分为128个矢量或本征态开始粒子。这些对应于构成我们汤的大分子。经过特殊分解后，这汤分解成18个粒子，其中5个有内部状态。这可以被视为18个单元的集合。过了一会儿进一步分解，我们得到两个粒子，其中只有一个（绿色粒子）具有内部状态。这种程度的组织可以被视为细胞（如细胞器）的集合或细菌群落或群落。中的图像上面一行通过在嵌入或缩放空间中绘制本征态的位置来说明内部状态的分类较低层次的粒子——但根据它们在下一层次所属的粒子对它们进行颜色编码。光谱嵌入显示了一个简单得多的拓扑结构，让人想起图6中大分子的空间位置。这是因为模拟中的欧几里得位置决定了颗粒或大分子。雅可比曲线显示了一些重要的特征，这些特征将在下一张图中进一步详述。在本例中，雅可比矩阵基于512次迭代后64个时间步长的平均流量变化率图5所示的微分方程。下图对这些雅可比矩阵进行了更详细的分析。在这里，我们为每个粒子指定了一个、四个和一个内部状态，用于所示的三个级别中的每一个。

动态和依赖性。该图再现了上图的自组织中间水平的结果，我们将其与大分子中细胞样（耗散）结构的出现相关联。如上图所示，马尔可夫毯的频谱嵌入和空间依赖性取决于其组成状态的流动。这是由下排的雅可比行列式编码的。左下面板显示根据粒子隶属关系对状态进行排序时的雅可比行列式；这里用 18 种颜色进行颜色编码（如图像顶部所示）。右下面板显示了完全相同的依赖关系，但根据 18 个粒子中每个粒子的活跃（红色）感觉（洋红色）状态还是内部（蓝色）状态对状态顺序进行了排序。这种重新排序揭示了马尔可夫毯子的存在所暗示的依赖关系的特殊稀疏性（见左侧）；具体来说，内部状态对感觉状态没有任何影响（以浅绿色表示）。其余的条件独立性表现为块对角形式（表示为浅色阴影矩形）。当考虑内部状态和活动状态时，这种块对角形式确保非对角块（即粒子间耦合）为零。换句话说，自主（即主动和内部）状态的共同特征是它们不能直接受到其他粒子的影响——它们只能受到属于相关粒子的状态的影响。在这个组织层次上，有 18 个粒子代表 128 个本征态（例如，大分子态）的分区，其中每个向量或本征态包含 2 到 6 个状态。这些总结了较低水平上每个粒子的二维速度、位置和电动力学；即每个大分子。