利用香农展开定理进行设计优化

香农展开（Shannon's expansion）或称香农分解（Shannon decomposition）是对布尔函数的一种变换方式。它可以将任意布尔函数表达为其中任何一个变量乘以一个子函数，加上这个变量的反变量乘以另一个子函数，如下两个公式所示案例。

对逻辑函数使用香农展开定理，就可以使用抽取的变量作为一个选择信号，然后用数据选择器来实现该函数。例如：

从而可形成如下电路：

在这个电路中出现了其中某个输入端口恒为1或恒为0的情形，工具在逻辑综合时会对此做进一步的优化，如下图所示。

实际上，对上述电路可重复使用香农展开定理，形成如下图所示电路。

香农展开定理对逻辑环路的改善尤为明显，如下图所示，由于环路的存在，图中红色标记的路径一旦插入流水寄存器，功能就不正确。

流水寄存器只能添加在环路之外，这就要用到香农展开定理。提取出反馈因子，分别将其设定为0和1，从而打开环路形成两条独立路径，而在路径末端添加二选一数据选择器，其控制端由输出反馈提供，最终形成如下图所示电路。

我们看一个案例：如下图所示代码片段，注意其中的第17行，形成了反馈环路，而恰恰是反馈环路成为了时序性能的瓶颈。这条路径上既有查找表又有DSP（实现乘法操作）且均没有额外的流水寄存器。

我们依据香农展开定理，将代码优化为如下形式，注意代码的第13行和第14行，新增了两个变量，分别对应internal_total大于target和小于target的情形，从而将环路打开。

对比上述两种电路，目标芯片均为xcvp1502，时钟频率为400MHz，采用Vivado2023.2，最终性能如下图所示。可以看到采用香农展开定理之后，WNS由原来的-0.719提升至-0.210。但仍然没有达到目标的400MHz。此时我们还可以进一步优化。

由于此时环路已经打开，那么我们就可以插入适当的流水寄存器，如下图所示。图中红色方框代表流水寄存器。从而可进一步改善WNS，最终WNS为0.841，意味着这部分路径至少可以运行至500MHz。

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