力学概念 | 二阶分析

fem178

发布于 2024-04-10 10:20:34

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发布于 2024-04-10 10:20:34

文章被收录于专栏：数值分析与有限元编程数值分析与有限元编程

▲图1

如图1所示，仅考虑弹簧变形时的平衡方程为

Pu = F_f l \quad \cdots (1)

弹簧内力为

F_f=ku \quad \cdots (2)

由(1),(2)可得

(P-kl)u = 0 \quad \cdots (3)

方程(3)有零解

u=0

以及非零解

P=kl

这是系统的临界载荷。

▲图2

如图2所示，当考虑结构二阶变形时，系统的势能为

\Pi = -P(1-cos\phi) + \frac 12 k(l sin\phi)^2

三角函数用泰勒公式展开

sin\phi = \phi - \frac 16 \phi^3 + \cdots

cos\phi = 1-\frac 12 \phi^2 + \cdots

则有

\Pi = -Pl(\frac 12 \phi^2) + \frac 12 k (l\phi)^2

由泛函极值条件得

-Pl\phi + kl^2\phi =0

(-P+kl)l\phi =0

非零解

P=kl

是系统的临界载荷。

一阶弹性分析：不考虑结构自身应变影响，根据未变形的结构建立平衡条件，按弹性阶段分析结构内力及位移。
二阶弹性分析：考虑结构二阶变形对内力产生的影响，根据位移后的结构建立平衡条件，按弹性阶段分析结构内力及位移。

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原始发表：2024-03-25，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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