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卷积1

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发布于 2024-04-26 06:58:42
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1 来源

卷积其实就是为冲击函数诞生的。“冲击函数”是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。古人曰:“说一堆大道理不如举一个好例子”,冲量这一物理现象很能说明“冲击函数”。在t时间内对一物体作用F的力,倘若作用时间t很小,作用力F很大,但让Ft的乘积不变,即冲量不变。于是在用t做横坐标、F做纵坐标的坐标系中,就如同一个面积不变的长方形,底边被挤的窄窄的,高度被挤的高高的,在数学中它可以被挤到无限高,但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变(它没有被挤没!),为了证实它的存在,可以对它进行积分,积分就是求面积嘛!于是“卷积”这个数学怪物就这样诞生了。

卷积是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。

2 意义

信号处理是将一个信号空间映射到另外一个信号空间,通常就是时域到频域,(还有z域,s域),信号的能量就是函数的范数(信号与函数等同的概念),大家都知道有个Paserval定理就是说映射前后范数不变,在数学中就叫保范映射,实际上信号处理中的变换基本都是保范映射,只要Paserval定理成立就是保范映射(就是能量不变的映射)。

信号处理中如何出现卷积的。假设B是一个系统,其t时刻的输入为x(t),输出为y(t),系统的响应函数为h(t),按理说,输出与输入的关系应该为

Y(t)=h(t)x(t),

然而,实际的情况是,系统的输出不仅与系统在t时刻的响应有关,还与它在t时刻之前的响应有关,不过系统有个衰减过程,所以t1(<t)时刻的输入对输出的影响通常可以表示为x(t)h(t-t1),这个过程可能是离散的,也可能是连续的,所以t时刻的输出应该为t时刻之前系统响应函数在各个时刻响应的叠加,这就是卷积,用数学公式表示就是y(s)=∫x(t)h(s-t)dt,离散情况下就是级数了。

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原始发表:2024-04-25,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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