信号时域和频域相关原理

文章目录

• 前言
• 一、信号的相关原理
  • 1、互相关（Cross-Correlation）计算公式
  • 2、自相关（ Auto-Correlation）计算公式
  • 3、卷积（ Convolution）计算公式：
  • 4、举例
• 二、相关和卷积区别
• 三、相关的时域及频域实现
• • 1、时域实现方法
  • 2、频域实现方法
• 四、扩展
• • 1、Zadoff-Chu 序列频域自相关
  • • ①、MATLAB 代码
    • ②、运行结果
  • 2、正弦信号频域自相关
  • • ①、MATLAB 代码
    • ②、运行结果
  • 3、两者对比

前言

看到一篇有关于信号相关、卷积的文章，感觉写的很好，借鉴一下，记录一下信号相关性的知识。

一、信号的相关原理

互相关反映向量 x 和移位（滞后）向量 y 之间的相似性。

最直观的解释是：互相关的作用是为了找到信号在哪一时刻与另一信号最像（另一信号为本身时就是自相关）！

在这里插入图片描述

互相关和自相关在本质上是两个函数做内积运算。即向量内积的连续形式。其在线性空间角度上的意义是：一个向量在另一个向量上的投影，内积结果越大，投影越大，两个向量间夹角越小，方向越一致，相似度越高。

把互相关的两个输入序列变成一样的，就是求一个序列的自相关了。自相关能够找出重复模式（如被噪声掩盖的周期信号），或识别隐含在信号谐波频率中消失的基频。

1、互相关（Cross-Correlation）计算公式

• 连续形式：

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• 离散形式：

在这里插入图片描述

2、自相关（ Auto-Correlation）计算公式

（互相关计算式中，

即可）

• 连续形式

在这里插入图片描述

• 离散形式：

在这里插入图片描述

3、卷积（ Convolution）计算公式：

• 连续形式

在这里插入图片描述

• 离散形式：

在这里插入图片描述

4、举例

下面是一个简单的求序列自相关（滑动点积）的例子：

求序列 A = [1 2 3 4] 的自相关系数：

在这里插入图片描述

结果：[4 11 20 30 20 11 4]，长度为 N 的序列，其自相关函数结果长度为 2N-1，是偶函数，且关于 N 中心对称，这也是自相关函数的特性。

二、相关和卷积区别

计算互相关的过程和计算卷积很像，其本质都是两个序列滑动乘累加（滑动内积），但区别在于：

• 互相关的两个序列都不翻转，直接滑动相乘，求和；
• 卷积的其中一个序列需要先翻转，然后滑动相乘，求和。

在这里插入图片描述

三、相关的时域及频域实现

1、时域实现方法

在时域中计算相关，matlab 提供了 xcorr 函数，它实际上就是把一个序列固定 A，另一个序列 B 从最后一位对齐序列 A 的第一位到序列 B 的第一位对齐序列 A 的最后一位，每一次移动一位的同时再将对应的值相乘再累加。

如上图所示：

在这里插入图片描述

代码如下：

% 定义序列 A 和 B
A = [1 2 3 4];
B = [1 2 3 4];

% 计算互相关
[correlation, lags] = xcorr(A, B);

% 绘制互相关结果
figure;
stem(lags, correlation);
title('Cross-Correlation between A and B');
xlabel('Lags');
ylabel('Correlation');

结果如下：

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对于信号 A（长度为 M）和信号 B（长度为 N），不指定额外的参数时，xcrorr(A,B) 函数返回一个长度为 2*max(M,N)-1 的向量，其中包含了所有可能的滞后值的互相关。例如上面结果，如果 M=4 和 N=4，则滞后范围从 -3​ 到 +3。

2、频域实现方法

频域的相乘等于时域的卷积，时域的卷积和相关不同的是，它计算时需要把序列反转再去做相乘累加。

傅立叶变换在处理信号时具有一个重要的性质：对信号取共轭复数在时间域相当于时间反转（即

变为

)。那么只要我们做频域相乘的时候把其中一个取共轭，就可以得到时域的相关。

这里还涉及到一个循环卷积和线性卷积的问题：直接把两个信号做FFT，取共轭相乘，再做 IFFT 得出来的是循环卷积的结果。

刚刚我们在时域做相关的时候，第一个数是 B 的最右边和 A 的最左边相乘的结果，也就是这样

A：           1 2 3 4
B：     1 2 3 4     

但用 FFT 等效的循环卷积，它会把超出相乘范围的值移动到另一边去，当算到 B 的最右边和 A 的最左边相乘时，本来其他位置应该用 0 计算的，却成了序列中其他的元素去计算了：

A：           1 2 3 4
B：           4 1 2 3    

所以为了让我们的结果能正确，我们需要给两个序列补 0，使得每个序列长度为

，差多少补多少。这里 A 和 B 的长度都为 4，所以要把他们都补到 4+4-1=7；此时 A=[1 2 3 4 0 0 0],B=[1 2 3 4 0 0 0]，我们再来看这个时候的相乘累加值：

A：           1 2 3 4 0 0 0
B：           4 0 0 0 1 2 3    

代码如下：

A = [1, 2, 3, 4];  % 信号A
B = [1, 2, 3, 4];  % 信号B
N = length(A) + length(B)-1;  
lags = -3 : 1 : 3;

% 计算A和B的FFT
FA = fft(A, N);
FB = fft(B, N);
% 乘以B的共轭复数FFT并做IFFT得到互相关，fftshift完成频谱搬移
% r0 = ifft( FA .*conj(FB), N);
r0 = fftshift(ifft( FA .*conj(FB), N));
% 绘制互相关结果
figure;
stem(lags, r0);
title('Cross-Correlation between A and B');
xlabel('Lags');
ylabel('Correlation');

结果如下：

在这里插入图片描述

可以看到，我们通过补 0 来使得循环卷积获得线性卷积一样的结果。

四、扩展

下面我们分析一下正弦波信号和 Zadoff-Chu 序列的频域自相关结果

1、Zadoff-Chu 序列频域自相关

①、MATLAB 代码

% 参数设置
N = 128; % 序列长度
u = 5; % Zadoff-Chu序列的根序号，通常选择一个与N互质的正整数

% 步骤 1: 生成128点的Zadoff-Chu序列
zc_seq = exp(-1i*pi*u*(0:N-1).^2/N); % Zadoff-Chu序列公式

% 步骤 2: 绘制时域波形
figure;
subplot(2,1,1);
stem(0:N-1, real(zc_seq), 'b'); % 绘制实部
hold on;
stem(0:N-1, imag(zc_seq), 'r'); % 绘制虚部
title('Original Zadoff-Chu Sequence (Time Domain)');
xlabel('Sample Index');
ylabel('Amplitude');
legend('Real Part', 'Imaginary Part');

% 步骤 3: 进行FFT
zc_fft = fft(zc_seq);

% 步骤 4: 计算FFT结果和其复共轭的乘积
zc_fft_conj_product = zc_fft .* conj(zc_fft);

% 步骤 5: 进行IFFT
zc_ifft = ifft(zc_fft_conj_product);

% 步骤 6: 绘制IFFT的时域图
subplot(2,1,2);
plot(0:N-1, real(zc_ifft), 'b');
hold on;
plot(0:N-1, imag(zc_ifft), 'r');
title('IFFT of the Product of FFT and its Complex Conjugate');
xlabel('Sample Index');
ylabel('Amplitude');
legend('Real Part', 'Imaginary Part');

②、运行结果

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

• 原始 Zadoff-Chu 序列：如图所示，这是一个复数序列，其实部和虚部均匀分布。Zadoff-Chu 序列的一个重要特性是其具有良好的自相关性质和跨相关性质。
• FFT 后乘以复共轭：这一步产生的结果是频域中的功率谱。FFT的复共轭乘积实际上计算的是每个频率分量的幅度的平方，结果是一个全实数的序列。
• IFFT 结果：由于经过 FFT 和复共轭乘积的处理，结果仅包含信号的幅度信息，没有相位信息。当对这样一个只包含幅度信息的序列进行 IFFT 时，由于缺乏原始的相位信息，重构出的时域信号将与原始信号相差甚远。具体来说，IFFT 的结果看起来是一个直流偏置的信号，这是因为原信号的能量现在主要集中在直流分量上。

图中第二个子图显示的IFFT结果几乎全为直流偏置（实部），而虚部几乎为零，这反映了处理后信号的功率主要集中在 0 频率处。原信号的细节和动态结构在这一处理过程中已经丢失。

2、正弦信号频域自相关

①、MATLAB 代码

% 步骤 1: 生成128点的正弦信号
N = 128; % 信号长度
t = 0:N-1; % 时间向量
f = 1; % 频率
x = sin(2*pi*f*t/N); % 正弦信号

% 步骤 2: 绘制时域波形
figure;
subplot(2,1,1); % 分为两行一列，这是第一幅图
plot(t, x);
title('Original Sinusoidal Signal');
xlabel('Time');
ylabel('Amplitude');

% 步骤 3: 对信号进行FFT
X = fft(x);

% 步骤 4: 计算FFT的结果和其复共轭的乘积
Y = X .* conj(X);

% 步骤 5: 对结果进行IFFT
y = ifft(Y);

% 步骤 6: 绘制IFFT的时域图
subplot(2,1,2); % 分为两行一列，这是第二幅图
plot(t, y);
title('IFFT of the Product of FFT and its Complex Conjugate');
xlabel('Time');
ylabel('Amplitude');

②、运行结果

在这里插入图片描述

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正弦信号经过 FFT、与其复共轭乘积以及 IFFT 的过程后，结果看似与原始信号在幅度上一致，但相位有所不同。这种现象可以通过理解 FFT、复共轭和 IFFT 在处理信号时的作用来解释。

• FFT 和复共轭的乘积：对一个信号进行FFT，得到的是该信号在频域的表示。将这个频域表示与其复共轭相乘，基本上是在计算每个频率分量的能量（功率谱）。因为复共轭乘积消除了原始信号中的任何相位信息，只留下幅度信息。
• IFFT的作用：IFFT（逆傅立叶变换）的目的是将频域的数据转换回时域。当你对一个只包含幅度信息的频域信号（没有相位信息）进行IFFT时，理论上你应该得到一个能量集中在零点的脉冲信号。但由于初始信号是一个简单的正弦波，其频域表示集中在特定的频率点，IFFT的结果将试图重建一个时域信号，其形式为一个频率相同但相位可能不同的正弦波。

3、两者对比

正弦信号和 Zadoff-Chu 序列在经过 FFT、乘以其复共轭、进行 IFFT 的处理后显示不一致的结果，主要归因于这两种信号的本质差异及其在频域中的表现。

• 正弦信号
  • 频域表现：一个纯正弦信号的 FFT 结果在频域中通常表现为两个离散的峰值，位于正负对应的频率上。这是因为正弦波是一个纯粹的频率成分。
  • 复共轭乘积：由于 FFT 的结果只在两个点上有非零值，其余为零，所以复共轭乘积只增强了这两个频率点的幅度。因此，原信号的基本结构（频率和形状）在 IFFT 后得以保留，尽管可能存在相位偏移。
• Zadoff-Chu序列
  • 频域表现：Zadoff-Chu 序列是设计来具有均匀的频谱分布的，其 FFT 转换结果将在频域中较均匀地分布，不像正弦波那样集中在某一或两个频率点上。
  • 复共轭乘积：由于 Zadoff-Chu 序列在频域的广泛分布，复共轭乘积增强了所有频率分量的幅度。这导致在进行 IFFT时，能量主要集中在时域的零点（直流分量），而失去了原始时域信号的形状。
• 核心区别
  • 信号结构：正弦信号是单一频率的表达，而 Zadoff-Chu 序列设计为具有特殊的自相关性质和频域结构，使其在通信中表现出良好的时间和频率同步特性。
  • 处理结果影响：FFT 后的复共轭乘积对正弦信号而言，基本保留了频率信息，而对 Zadoff-Chu 序列则几乎成了一个平坦的频谱，这反映在 IFFT 后的结果中，Zadoff-Chu 序列几乎变成了直流分量，而正弦信号则保留了原有的波形，只是相位有所改变。

参考： https://zhuanlan.zhihu.com/p/613949451 https://blog.csdn.net/weixin_44253012/article/details/136293715