【数值计算方法（黄明游）】数值积分（一）：复化（梯形公式、中点公式）【理论到程序】

Qomolangma

发布于 2024-07-30 10:48:04

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一、梯形公式、中点公式

1. 梯形公式（Trapezoidal Rule）：

梯形公式是最简单的数值积分方法之一，它基于使用梯形逼近曲线下的面积，其数学表达式为：

\int_a^b f(x) \,dx \approx \frac{b-a}{2} [f(a) + f(b)]

通过连接函数图像上的两个端点，形成一个梯形，然后计算梯形的面积来估计定积分值。

2. 复化梯形公式（Composite Trapezoidal Rule）：

复化梯形公式是对梯形公式的改进，通过将积分区间分割成多个小区间，然后在每个小区间上应用梯形公式，最后将结果相加，其数学表达式为：

\int_a^b f(x) \,dx \approx \frac{h}{2} [f(a) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(b)]

其中，

h=(b-a)/n

是每个小区间的宽度。

3. 中点公式（Midpoint Rule）：

中点公式使用区间中点的函数值来逼近曲线下的面积，数学表达式为：

\int_a^b f(x) \,dx \approx f\left(\frac{a+b}{2} \right)(b-a)

4. 复化中点公式（Composite Midpoint Rule）：

复化中点公式是对中点公式的改进，通过将积分区间分割成多个小区间，然后在每个小区间上应用中点公式，最后将结果相加，数学表达式为：

\int_a^b f(x) \,dx \approx h \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a + \frac{h}{2} + ih\right)

其中，

是每个小区间的宽度，

是分割的小区间数量。

二、例题

有一组（x, y）值： (

y=e^x

) KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ & (1.1, 3.0042…

使用中点公式：

\int_a^b f(x) \,dx \approx (b - a) \cdot f\left(\frac{a + b}{2}\right)

使用复化梯形公式：

\int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]

三、程序

1. 中点公式

def midpoint_rule(data):
    result = 0
    for i in range(len(data) - 1):
        a, fa = data[i]
        b, fb = data[i + 1]
        result += (b - a) * fb
    return result

2. 梯形公式

def trapezoidal_rule(data):
    result = 0
    for i in range(len(data) - 1):
        a, fa = data[i]
        b, fb = data[i + 1]
        result += (b - a) * (fa + fb) / 2
    return result

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原始发表：2024-01-18，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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