【经验分享】数据结构——折半查找的概念，折半查找的平均查找长度、查找成功、查找不成功，例题：100个元素折半查找，查找成功的最多比较次数

折半查找的概念与性能分析

折半查找（Binary Search）是一种高效的查找算法，适用于在已排序的数组中快速定位特定元素。它通过将搜索区间对半分，逐步缩小查找范围，从而实现高效查找。其时间复杂度为

，使其在处理大规模数据时表现优异。

折半查找的基本概念

折半查找的工作原理如下：

1. 初始化：设定两个指针 low 和 high，分别指向数组的起始和结束位置。
2. 计算中点：计算当前区间的中点 mid，即

。

1. 比较：
   • 如果目标元素等于中点元素，则查找成功。
   • 如果目标元素小于中点元素，则在左半部分继续查找，将 high 设置为 mid - 1。
   • 如果目标元素大于中点元素，则在右半部分继续查找，将 low 设置为 mid + 1。
2. 重复：继续执行上述步骤，直到找到目标元素或区间 low 超过 high（表示查找失败）。

平均查找长度（ASL）的计算

折半查找的 平均查找长度（ASL） 衡量了查找操作的效率。在折半查找中，ASL 的计算公式如下：

1. 查找成功的 ASL 查找成功的平均查找长度（ASL）计算公式为：

其中

是第

个元素的查找深度，

是元素总数。这个公式计算了每个成功查找的平均比较次数。

1. 查找不成功的 ASL 查找不成功的平均查找长度（ASL）计算公式为：

其中

是第

个节点的深度，

是节点总数，包括额外的虚拟节点（表示查找不成功的情况）。这个公式计算了在查找失败时，所需的平均比较次数。

进一步地，对于大规模数据，查找不成功的 ASL 近似为

，因为树的深度与数据的对数成正比。

示例：100个元素的折半查找

假设我们在一个包含 100 个元素的已排序数组中进行折半查找：

1. 查找成功的 ASL 计算成功查找的 ASL 需要对每个元素进行深度计算，然后求其平均值。由于公式涉及到每个元素的具体深度，具体计算可能较复杂，但可以使用以下公式的简化形式进行近似：

对于

：

平均比较次数大约为 5.741 次。

1. 查找不成功的 ASL 对于不成功的查找，ASL 为：

平均比较次数大约为 7.644 次。

总结一

折半查找是一种高效的查找算法，适用于已排序的数组。其平均查找长度（ASL）可以通过公式

计算。在包含 100 个元素的数组中，折半查找的成功查找的平均比较次数约为 5.741 次，而不成功查找的平均比较次数约为 7.644 次。这些性能指标有助于评估折半查找在实际应用中的效率，并为优化查找操作提供依据。

示例：100个元素折半查找，查找成功的最多比较次数

对于折半查找（Binary Search），成功查找时的最多比较次数是与查找树的高度相关的。在最坏的情况下，即查找成功但需要经过树的所有层时，这个次数等于树的最大深度。

折半查找的树结构

在折半查找中，数据被组织成一棵平衡的二叉搜索树。树的高度与元素数量

之间的关系可以用对数函数来描述：

其中：

是以 2 为底的对数，表示树的高度。

表示向上取整。

示例：100个元素折半查找

对于一个包含 100 个元素的已排序数组：

1. 计算树的高度 计算树的最大深度（即最多比较次数）：

计算 (\log_2 101)：

向上取整：

因此，最多需要 7 次比较 来成功查找一个元素。

总结二

对于一个包含 100 个元素的折半查找，成功查找的最多比较次数为 7 次。这是因为在最坏的情况下，查找成功需要遍历整个树的深度，而树的深度为 (\lceil \log_2 (100 + 1) \rceil)。这种效率使得折半查找在处理大量数据时非常高效。