广义函数不再广义-在信号与系统中的应用

虽然不用研究的这么深，但是学不懂我就浑身难受。上网一搜索广义函数，讲的的都是一眼不如不如不看的类型。

先说一下，形式上面是反常积分，因为积分限是无穷处。内部看作一个测试函数（我觉得是被测试更好）和一个处理函数（我起的名字），具体来讲就是这样，把这个处理函数作用在测试函数上面。

在阶跃函数上面：进行了“截断积分”。阶跃函数的作用就是将测试函数截断，只保留t≥0的部分进行积分。

在冲激函数上面：冲击函数δ(t)作用于任何测试函数φ(t)时，其结果就是φ(t)在t=0处的取值。

这个很重要！一般不想看下面的现在就可以了！！！

单位阶跃函数的定义：

u(t) = {
    0,  t < 0
    1,  t ≥ 0
}

阶跃函数就像是一个突然打开的水龙头。

在水龙头打开之前（t<0），水流为0；在打开的一瞬间（t=0），水流立刻变成一个恒定的值（比如1），并且一直保持这个值（t>0）。

这个“突然变化”的过程，就是一个阶跃函数。

将一个函数（称为测试函数）映射到一个数值。这个数值可以看作是对原始函数的一种“加权积分”。

对于阶跃函数u(t)，当它作用于一个测试函数φ(t)时，这个“加权积分”的本质是将测试函数φ(t)在t≥0的部分进行积分。

对于任意的测试函数φ(t)，阶跃函数u(t)与φ(t)的内积定义为：

<u, φ> = ∫₀⁺∞ φ(t) dt

这个式子表示将φ(t)在t≥0的部分进行积分。

<u, φ>称为“加权积分”，但与传统的积分相比，它更像是一种“截断积分”。阶跃函数的作用就是将测试函数截断，只保留t≥0的部分进行积分。

测试函数φ(t)是一个曲线。阶跃函数u(t)的作用就像是在t=0处竖起了一道墙。当我们计算<u, φ>时，我们实际上是在计算这道墙右侧曲线下的面积。

只对测试函数在t≥0的部分进行积分。这个过程可以看作是将测试函数投影到一个特定的函数空间上。

假设我们的测试函数是φ(t) = e^(-t)。那么，阶跃函数u(t)作用于φ(t)的结果就是：

<u, φ> = ∫₀⁺∞ e^(-t) dt = 1

这说明，当我们将阶跃函数作用于指数衰减函数时，得到的结果是1。

什么是测试函数：

广义函数理论中，测试函数通常指定义在一个开集上的无限可微函数，且满足一定的光滑性和衰减性条件。

这些函数被用作“探针”来探测其他函数（如分布或广义函数）的性质。

• 作用：通过计算测试函数与待研究函数的内积（本质上是一种加权积分），我们可以提取出待研究函数在不同点或不同区域的信息。
• 性质：测试函数通常要求在无穷远处迅速衰减到零，以保证内积的收敛。

上文出现一个内积空间：

在数学中，内积是一种特殊的运算，它将向量空间中的两个向量映射到一个标量。这个标量可以用来衡量这两个向量之间的相似性或相关性。在函数空间中，函数也可以看作是无限维的向量，因此我们也可以定义函数之间的内积。

<u, φ> = ∫₀⁺∞ φ(t) dt

定义了阶跃函数u(t)和测试函数φ(t)之间的内积。

• u(t): 阶跃函数，在t≥0时取值为1，在t<0时取值为0。
• φ(t): 测试函数，一般要求是光滑且快速衰减的函数。
• ∫₀⁺∞ φ(t) dt: 表示对测试函数φ(t)从0到正无穷进行积分，得到一个数值。

1. 加权平均: 可以将这个内积看作是对测试函数φ(t)在t≥0部分进行的一种加权平均。阶跃函数u(t)的作用就像是一个“开关”，只保留t≥0部分的函数值，然后对这些值进行积分。（也就是上面说的内容）
2. 投影: 还可以将这个内积看作是将测试函数φ(t)投影到一个由阶跃函数生成的子空间上。这个投影的长度就是的值。
3. 相关性: 在某种程度上，这个内积也反映了阶跃函数和测试函数之间的相关性。如果φ(t)在t≥0部分的取值很大，那么内积的值也会很大。

上面都是说的阶跃函数，下面补一个冲激函数的定义：

这个函数主要是它的筛选性，对任意一个测试函数

<δ, φ> = φ(0)

• <δ, φ>: 表示冲击函数δ(t)与测试函数φ(t)的内积。
• φ(0): 表示测试函数φ(t)在t=0处的函数值。

这个定义表明，冲击函数δ(t)作用于任何测试函数φ(t)时，其结果就是φ(t)在t=0处的取值。换句话说，冲击函数δ(t)可以看作是一个在t=0处无限尖锐、无限高的脉冲，其总面积为1。

还有三个性质：

1. 筛选性: 冲击函数具有筛选性，即它可以从一个函数中筛选出在t=0处的取值。
2. 单位面积: 冲击函数的总面积为1。
3. 导数: 冲击函数的导数是符号函数。

还有求导一事也要说说

普通的函数求导需要函数在某一点的左右极限存在且相等。而对于像冲击函数这样的广义函数，其在t=0处的左右极限并不存在，因此传统的求导方法无法直接应用。为了解决这个问题，我们引入了广义函数的求导概念。

广义函数的求导是通过其作用于测试函数来定义的。设f(t)是一个广义函数，它的导数f'(t)定义为：

对于任意的测试函数φ(t)，有：

<f', φ> = - <f, φ'>

其中，φ'(t)是测试函数φ(t)的导数。

1. 负号的引入: 这个负号的引入是为了保证广义函数的求导与普通函数的求导在形式上保持一致。
2. 测试函数的导数: 通过将广义函数作用于测试函数的导数，我们实际上将求导的操作转移到了测试函数上。
3. 物理意义: 从物理意义上讲，广义函数的求导可以看作是寻找一个新的广义函数，使得它作用于测试函数时，相当于对原广义函数作用于测试函数的导数

求一个冲击函数δ(t)的导数：

<δ', φ> = - <δ, φ'> = -φ'(0)

冲击函数的导数是一个新的广义函数，它作用于测试函数φ(t)时，得到的结果是-φ'(0)，即测试函数在t=0处的导数的相反数。

求导的性质：

• 线性性: 广义函数的求导是线性的。
• 高阶导数: 广义函数的高阶导数可以递归地定义。
• 与普通函数求导的关系: 当广义函数对应一个普通函数时，广义函数的求导与普通函数的求导是一致的。