中值定理-当头一棒（咚！）

刻画了函数在某个区间上的平均变化率与某点的瞬时变化率之间的关系。这就为我们提供了一种将函数的整体性质与局部性质联系起来的方法。

反映了函数的连续性和可导性对函数行为的影响。中值定理通常要求函数在某个区间上连续且可导，这使得我们可以利用函数的这些性质来推导其他结论。

基本上把中值定理都总结完了，然后细节还是要看书，我自己补了拉格朗日的辅助函数的证明。

如果用不着，就别看了，怪折磨人的

大小的值，都是

最值是区间I上的全局概念，而极值是邻域上的局部概念

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

证明不了，我这个档次看不得。

0点定理

零点定理：寻找函数的“根”

零点定理，简单来说，就是如果一个连续函数在一个区间上的两个端点取值异号，那么在这个区间内，函数一定存在至少一个零点。也就是说，函数的图像一定与x轴相交。

假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b) < 0，那么存在一点c∈(a, b)，使得f(c) = 0。

介值定理

介值定理，也称为中间值定理，是一个描述连续函数在闭区间上取值的性质的定理。

简单来说，如果一个函数在一个闭区间上是连续的，那么在这个区间上，函数可以取到任意介于函数在区间端点处的值之间的值。

还有相关的推论：

1. 闭区间上连续函数的值域是一个闭区间：
   • 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么f(x)在[a, b]上的值域也是一个闭区间[m, M]，其中m和M分别是f(x)在[a, b]上的最小值和最大值。
   • 直观解释： 连续函数的图像在闭区间上是一条没有间断的曲线，所以函数值一定能取到最小值和最大值，且能取到这两个值之间的所有值。
   • 我觉得这个用的最多，把它摆在第一个，就是区间的值都在两个最值之间。

   

2. 连续函数的零点存在性定理（即零点定理）：
   • 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b) < 0，那么存在一点c∈(a, b)，使得f(c) = 0。
   • 直观解释： 如果函数在区间两端的值异号，那么函数的图像一定穿过x轴，即存在零点。
3. 连续函数的单调性与值域的关系：
   • 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且单调递增，那么f(x)在[a, b]上的值域为[f(a), f(b)]。
   • 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且单调递减，那么f(x)在[a, b]上的值域为[f(b), f(a)]。
   • 直观解释： 单调函数的图像是一条不断上升或下降的曲线，其值域就是函数在端点处的取值所构成的区间。

这个平均值定理书上好像没有

证明的时候是用推论第一个

一致连续在这里也有一点点讨论

一直是什么意思？直观上面是都的意思，OK就这么多。

还记得函数极限是怎么定义的吗？其实是先说明了X的邻域，然后通过这个X的范围来让f的值在给定的误差区间（连续函数的每一点极限都存在）

在换了一个位置以后，可以看到，把矩形给穿了

对同一个连续函数，我们可以通过选择不同的误差区间来说明连续

ϵ是值是非常小的，但是又大于0，在极限定义里面肯定是选择相对小的，就第二个。

可以沿着整个曲线都是不刺破的

这个就是定义

连续是说明不了一直连续的，反过来可以

就算放大这个范围都没有用

无论给定多么小的ϵ，只要自变量取值的距离小于δ，那么函数值之间的差小于ϵ 一致连续保证了函数的整体平滑性，使得函数值在定义域上不会出现剧烈变化。δ的取值用来保证平滑性。

这里可能还用到极限的保号性（局部）：

先看一段板书

极限的性质

几何表示，这个是大于0

这个是小于0

还有一个推论

给出了更加具体的值

这个定理我感觉是说明了一个小局部的整体性

看图说话

也就是说，是单向的

用了定理会多了计算的公式，局部保号性说的是只要足够小就一定可以保号。

是通过极限保的函数的符号。

别急下面才开始：

极值的时候

费马引理：如果一个可导函数在某一点取得极值（最大值或最小值），那么在这一点上，函数的导数一定为零。

数学表达式：假设函数f(x)在点x=c处取得极值，且f(x)在点c处可导，那么f'(c)=0。

驻点（Stationary Point）指的是一个函数的一阶导数为零的点。也就是说，在驻点处，函数的图像的切线是水平的，就像函数在该点“停顿”了一下。

如果函数f(x)在点x=c处可导，且f'(c)=0，那么点c就是函数f(x)的一个驻点。

驻点的几何意义

• 水平切线： 在驻点处，函数图像的切线与x轴平行。
• 函数值不再增加或减少： 在驻点附近，函数值可能从增加转变为减少，或者从减少转变为增加。

罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特例。拉格朗日中值定理将罗尔定理中的“区间端点函数值相等”的条件放宽了。

一个函数f(x)满足以下条件：

1. 在闭区间[a, b]上连续；
2. 在开区间(a, b)内可导；
3. 在区间端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)；

那么，在开区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。

至少之外的事情，很多

旁边就是拉格朗日

这段看不清是吗？没事

终于开始写了！！！！

我们证明是用着已经有的结论证明的，我们现在就是有罗尔中值定理。

这个是先通过图像给出来的公式

上面的公式的意思就是这个AB直线的斜率

因为这个f(a)≠f(b),所以罗尔定理就用不了。所以这里就想设计一个和f函数密切联系的函数（辅助函数），辅助函数g（a）=g（b）,最后转到f上面。

你觉得这个g（a）=g（b）在哪里取到?我们可以看图，是不是这个划线的地方，就挤在一起的这里是相等的，其实就是两个端点值一样了。

再细致点说，x=a，x=b就在这个定义域走来走去，我们要他们的值相等的一点。对于两个函数来看，把他们联系在一起的枢纽就是同样的x值，也就是说很自然的用x和M点和N点之间的差值，因为往右，就是图中相交的时候：

懂了吗？其实相等的时候不是我们上面的图在左右清爽的分开，其实相交在一起了。

现在就简单了，MN之间的值如何表示：

AB的方程

然后也就是M-N的方程，这个就是我们熟悉的方程

证明的时候是倒着写，先设计一个辅助函数：

这个函数是原函数和端点值构成斜率之间的差值，x的值a=b，带进去成立，几何上面是在交点处获得。

就是这里

证明题就要注意两个端点值，可导，变换到要求的形式上面

这个辅助函数g(x)实际上是在原函数f(x)的基础上减去了一条直线，这条直线的斜率正好是f(x)在区间[a, b]上的平均变化率。

通过构造这个辅助函数，使得g(x)在区间[a, b]上满足罗尔定理的三个条件：连续、可导、两端点函数值相等。

根据罗尔定理，存在一点c，使得g'(c) = 0。

将g'(x)展开，就可以得到f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)，这正是拉格朗日中值定理要证明的结论。

就是最后一句话

书上面写了这个，你看很多人都说什么中值定理证明好用，但是我以前觉得，这个东西平平无奇，而且重要的是我感觉限制很多，就是在一段函数里面只有一点满足，为什么会有用。

存在性足够：在许多应用中，我们只需要知道某个点存在，并不需要精确地求出这个点。

还有什么呢，就是我很难说那种感觉，就是这个点可以划过区间的每一点，就在整个区间说了可以实现。（注意这里是错的，但是还是写了）

驻点不一定是极值点

极值点也不一定是驻点，因为极值点可以是不可导点

4个？不对，是三个

高中的时候也学什么穿根法

第一个中值定理

余项Rₙ(x)的意义：

1. 余项表示了用泰勒多项式近似原函数时产生的误差。
2. o((x-x₀)ⁿ)表示当x趋近于x₀时，余项Rₙ(x)比(x-x₀)ⁿ的趋于零的速度更快。也就是说，随着n的增大，泰勒多项式对原函数的近似程度会越来越高。
3. 误差越来越小： 随着n的增大，余项Rₙ(x)趋于零的速度越来越快，也就是说，用泰勒多项式去近似原函数的误差越来越小。
4. 高阶无穷小： 余项Rₙ(x)是(x-x₀)ⁿ的高阶无穷小，这意味着当x趋近于x₀时，余项Rₙ(x)比(x-x₀)ⁿ更快地趋于零。

这个东西也叫皮亚诺，只是说这个误差应该是什么样的，但是没有具体说，下面的第二定理才是说明了这个问题。

拉格朗日中值定理告诉我们，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在开区间内至少存在一点ξ，使得：

f(b) - f(a) = f'(ξ)(b-a)

经过证明，一坨

最后的结果，这个叫拉格朗日余项,n=0的时候就是泰勒中值定理

这就是我们极限计算的大头

带拉格朗日余项的麦克劳林公式

这样的

误差估计

啊，不想学了

将拉格朗日中值定理应用到泰勒公式的余项中？

考虑泰勒公式的余项R_n(x)，可以将其看作一个新的函数。然后，对这个新的函数在区间[a, x]上应用拉格朗日中值定理。这样，就可以得到拉格朗日型余项的表达式：

R_n(x) = (1/(n+1)!)f^(n+1)(ξ)(x-a)^(n+1)

其中，ξ是介于a和x之间的某个值。

这个表达式： 泰勒公式的余项可以用函数的高阶导数在某个中间点ξ处的取值来表示。当x趋近于a时，(x-a)^(n+1)这一项会趋于0，因此余项也会趋于0，这就说明了泰勒多项式对原函数的近似程度。

最后一个积分中值定理

这个是反物质的探测器