信号与系统漫谈-基础回顾

不停的回顾，不停的重复，不停的复习。这是一个学习的总结贴。内容是来自于教科书和厦门大学唐老师的知乎专栏。

以前看这个图是懵逼的，现在就清晰很多的，我看书的时候看到常系数微分方程就有点不得要领，为什么每本书都放在前面，然后求解也是很复杂。倒是有点高数课本的东西，但是看起来还是不一样。

线性常微分方程是微分方程中出现的未知函数和该函数各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程。

原因是我们想求的一个系统的单位脉冲响应，就是系统本身蕴含的信息。这里就是连续的和差分的。

单位脉冲响应(Unit impulse response)系统对单位脉冲输入的响应。

前者

也称作记忆函数。脉冲响应确定一个线性系统的特性，包含有与频率域中的传输函数相同的信息，而传输函数是脉冲响应的拉普拉斯变换。

然后其实就给出了一种系统的特性。这里一直说系统系统，是什么系统？

对了是时不变系统-LTI系统，其实现实中这么好性质的系统很少，但是为了研究方便就研究这个了。

那自然的就是说我知道一个系统的特性，那我现在有一个信号输入进去，我怎么知道它输出是什么？

线性系统的输出由系统的输入与它的脉冲响应的卷积给出。

图解积分和-手撕纸片版 文章起错了名字，我说怎么没人看。

卷积

一次能量进来以后，以衰减的形式影响到所有的输出。就好像是你在小时候读了一个故事，第一年你还记得很多，三年后可能你就记得大部分的故事，五年后还记得一些人物，10年后就记得一个标题，现在可能就知道以前还读过一个故事。这是一个故事的衰减，你总是记得住最近的东西，对离你时间久远的东西所遗忘，但就观察一个时间点，你总是由最近清晰的时间记忆和逐渐遗忘的记忆所构成。

卷积就是各个时刻的输入信号各自乘以相对应的衰减或增幅，然后叠加在一起作为输出信号输出，这里的衰减或增幅就对应与系统的单位冲激响应。——加权叠加。

OK，这也就回答了，为什么所有的书都出现了微分方程的问题，因为要表示一个系统蕴含的规律。

因为我们是用一个已知的能量输入进去，冲激信号。系统展示了回应，我们称单位脉冲响应。用h来表示。

接着我们想知道任意信号输入进系统的输出是什么，所以有了卷积运算。

我的草稿箱还有老师说的一段，也是上面的意思，我补在这里：

系统的特性决定输入输出关系，反过来，通过输入输出关系可以描述、定义、解释系统的特性。

落实到线性时不变系统，输入输出关系可以用卷积来表示，或者说输入输出关系受卷积的约束，而单位脉冲响应作为一种特殊的输入输出关系，可以用来完全表征LTI系统特性。

这样看来，现在要解决的问题是：对于给定的输入，如何求解LTI系统的响应呢？我们应该很容易想到的方法是：

1. 求出系统的单位脉冲响应
2. 利用卷积计算LTI系统的响应

在特定的时空中研究具体的系统，如果时空是静止的，这个世界将很难想象，所以，系统的状态通常都是时空的函数，即随着时间、空间而变化，而研究自变量和因变量变化关系的数学工具正是导数，各变量导数之间的关系受自然规律约束，即形成微分方程。

相应地，离散时间系统中各变量时移受自然规律约束而形成差分方程。这就是为什么广泛的物理系统都可以用微分方程或差分方程来描述的根本原因，也正因如此，确保了信号与系统理论中建立的系统分析方法具有广泛的适用性。

还有一段系统的，都是我写的断断续续的东西：

上面是离散的，下面是连续的

一个线性时不变系统的特性可以完全由它的单位脉冲响应决定，这句话有两层含义：

• 一般而言，此结论仅适用于线性时不变系统；
• 线性时不变系统的特性完全由单位脉冲响应决定。

卷积的交换律表明，在计算卷积时，我们可以选择其中一种（当然是哪种便于计算选哪种咯），但结果总是相同的。

互逆系统或操作具有重要的现实意义，如信息加密与破译互为逆操作；文件的压缩与解压互为逆操作；通信技术中的调制与解调互为逆过程。如果一个系统是可逆的，则意味着存在一个对应的逆系统，且原系统与逆系统级联的结果等效为一个恒等系统

这里的意思就是我说的两个变换域之间互相转换

后面这些都会说

数学基础（一点点）

老师在这个数学准备里面，说了最重要的是内积运算：毫不夸张的说，整个信号与系统就是建立在内积运算上面。因为我们要使用投影这个想法。

在物理上面认为正交情况对于力做功的例子是最没用（功为0）的，但对理解接下来要介绍的投影却至关重要。

内积越大，即意味着两者的方向越“相近（似）”

因为所有的信号书里面都会说正交这件事情，正交也就是内积为90°的时候。

然后我们做了推广，推广到函数上面，向量可以内积，函数也可以

当面积是有向面积时，那么上下总是可以抵消的

而且不仅仅是单个的SIN和COS有着上面的关系，这个频率称谐波关系的信号也是正交的，在后面我们还可以看到更多的这样的关系。

可以看下面的四个性质

OK，还有数学知识，我先不写。

信号与系统-能量定义，这里也是书上面说的一点东西，出现的很早，但是可能觉得不知道哪里用。

其实是讨论级数的收敛性的时候用，我们用能量的定义来看正反变换之间能不能一致，因为我们的想法是变换到一个更加容易理解和处理的空间，然后反变换回来。

接着是信号的运算：

数乘是对信号衰减与放大

加法是混合的意思，比如多路声音在一起

乘法是幅度调制

时移也是一种运算，翻转和尺度变换。信号时移的直观理解

因为我们对所有的信号来讲都是有延迟的，比如数字系统对信号的处理，看上去的实时的，但其实不是，就其实总是在处理历史的信息。

还有周期信号，卧槽，这个真别看其貌不扬，牛逼的不行啊。

一文看透信号与系统中奇奇怪怪的信号 在这篇文章我其实已经论述过，但是越往后学习，越知道，离散和连续之间本质的不同其实就是周期的锅。

最重要的东西在这里！

这里补充一点知识：

离散正弦信号增加了一个要素：就是采样周期或采样率。

采样信号的周期为Ts，Ts表示两个采用点的时间间隔。

正弦信号的周期为T=2πf。

N表示一个正弦周期内有多少个采样点, n=0,1,2,3,4.....N-1.

N = T/Ts

这样在做题的时候也好理解是为什么有理数

我们对于一个离散型的取值，其实你无法准确地说明它到底是经过多少个周期后的数据，因为老是可以加几圈和现在的位置重合.

真的建议看视频或者我的文章好好的理解，转圈的问题。我这里把一点以前的文章搬过来。

t是连续的

n是离散的取值

这里我们看这两个圈，第一个是t，连续的，看起来是逆时针，右边是顺时针转动。

那是不是就能说右面的角频率是：

？怎么解释

原因是我们不是所有时刻都可以看到这个信号

所以真正的旋转频率是数值频率，可以看到的是视在频率，就是可以看到的频率 。

这个是想说明，我们对于一个离散型的取值，其实你无法准确地说明它到底是经过多少个周期后的数据，因为老是可以加几圈和现在的位置重合.

这个应该是对比，上面是指数信号的实部展开，下面就是是离散指数信号的展开，可以看到零零碎碎的取了几个点.，自变量都是角频率

没啥说的

接着就是引入一些特殊的信号，注意引入这些东西就是为了我们研究和计算的便利，一定是变简单的，妈的，越搞越复杂就裂开了。

这里先进入的是指数信号：

首先联系现实来说，就是我们很多的现象就是满足这个指数衰减的，我昨天看短视频里面说假如爆发了核战争，在爆炸过后，辐射在两个小时以后降低到50%，接着就是这样按照衰减指数降低。两年后降到99%，emmmmm，好好活着。

细菌繁殖，感染人数都是这样的。

我们现在叫实指数信号，然后两个参数，第一个是决定增长还是衰竭的

然后就是数学上面，因为微分方程在课程里面是绕不开的话题，常系数微分方程里面的导数层层叠叠-微分方程中为什么e经常出现

这是微分方程的标准形式，左面是系统本来的结构，就是下面的齐次方程，也叫齐次解。右面是加入系统的各种激励项，就是注入的能量。

齐次

还有一种重要的信号，应该是非常重要的信号叫——虚指数信号。

就是这样

先来看个视频吧！看完就对虚数有点感觉了

数学直观就是一个点在疯狂的旋转，疯狂的他妈的转

这个是周期的论述，重要！

然后我们怎么确定参数呢？一般j，i是复数的标志，w是角速度，转多快，t是时间。角度=角速度x时间。

另外虚指数在空间是两路正交的基本信号，一路是余弦信号，另一路是正弦信号。也叫两路同频正交载波信号（太装逼了）

空间里面的样子

1. 虚指数函数在三维空间中螺旋函数，
2. 虚指数函数在x轴方向的投影是正弦函数，
3. 虚指数函数在y轴方向的投影是余弦函数。

上面就不推了，都是欧拉公式和泰勒级数-泰勒展的开，我有时候展不开

实指数是单调函数，虚指数是两路震荡函数：正弦+余弦，复指数是震荡递增或震荡递减函数

好吧，有图好理解一些

这就是强大的指数信号，改变它的小帽子就变成了这么多不同的信号，我还没有看见谁整理捏。

其实上面这些函数都我们还可以理解，但是一些奇怪的函数就不好说了。一文看透信号与系统中奇奇怪怪的信号

广义函数不再广义-在信号与系统中的应用 - 我们的书里面其实使用了广义函数，我受不了，然后自己写了一个小文章。

这里主要是这四个信号

单位脉冲

脉冲（pulse）通常是指电子技术中经常运用的一种像脉搏似的短暂起伏的电冲击（电压或电流）信号，其主要特性参数有波形、幅度、宽度和重复频率。 [1]脉冲是相对于连续信号在整个信号周期内短时间发生的信号，大部分信号周期内没有信号，就像人的脉搏一样。

不知道你们有没有幻想自己是一个机器人，什么脉冲轨道炮，脉冲什么什么炮。

脉冲的意思就是短暂，快速，emmmm，我突然踢了你一脚，脉冲脚？也不对。。

就是这样的

这个怎么说？单位阶跃，和上面的脉冲差不多是吧，注意看定义域

单位脉冲的符号更酷一点，然后他们的函数这么像，肯定有关系：

对的，可以通过时移来完成

就这样水灵灵的写出来了（3）

这个就是变量代换

那么就可以看作是一个变上限积分，也叫累加器

累加过程就这样

上面是说是单位脉冲到阶跃信号，能不能反过来呢？

后向一阶差分

能不能复杂点，小学的工具全都招呼上来！而且仅需时移、数乘和求和运算。

示意图

给一个任意序列，单独的一个点，x[-8]就是n=0.从左数第8个点，就是冲激信号左移8，然后乘x[8]的幅值。

害，我是个笨b，我看了很多遍书才搞明白这些东西。

这本更离谱

这里说啦

里面没有值就说明是整个序列。

我做不到老师和线性代数混在一起高屋建瓴：

不过他说，这个信号也是正交的

这个好理解，就像台阶

定义

对偶的看，连续时间的单位脉冲信号就应该是上面的求导：

按照定义走一遭看看

严格来说是求不了的导的

那就把这个搞得斜一点，其实这个叫斜坡信号

也就是分段可导

结果

也好理解，你的阶跃信号，在变化率来看，就是一下子升起来，变成了冲激信号。

冲激就是只在极短的时间内不为零而 其他时... 哎，看来知识就没有白学的，都可以用上了，补全了我千疮百孔的理论大厦。

现在问，我们如何使用冲激信号来表示阶跃信号呢？

这里的德尔塔，其是冲激信号的前身，因为直观

表示成这样

后面小三角趋于0，就变成了积分

替换变量，变成变上限积分

就是下面在增长，上面在累加

是不是乱了？就是互相表示的问题，上面是冲激信号来表示序列，也就是或是离散的。

那我们接下来就是要问：冲激信号是不是也能表示连续的时间信号呢？

注意不是直接转换的，是需要过渡的。

秘密在这里，我们知道积分是通过划小区间来完成任务的

冲激信号的前身刚好可以。

上面是一个前身的信号，中间是时域的取值，下面是要模拟的函数

就是流水线工程，懂了吧？

这个是红色短线

这是时域函数上面的一段

对小短棒求和

微积分的世界

就出现了这个，是不是很巧妙

单位脉冲序列可以用于一个信号n=0的时候取值，也可以时移取别的地方的值。

右面第一个是幅值，后面是位置

连续脉冲也是可以的，一模一样的

筛选性质。

阶跃信号来分割起始点

总结一下：单位离散脉冲信号，就是孤独的一个信号，在一点处有值，通过对离散单位脉冲信号的移动生产出了单位阶跃信号序列。反过来序列做一次差分又可以获得脉冲信号。

然后我们对偶的讨论连续的世界，单位阶跃信号，台阶信号一个。然后我们的脉冲信号先推断是阶跃信号求导得到的。

我们观察了图像以后确认了，然后把阶跃信号变成了斜变信号，使用导数的定义式求导，并且引入了一个脉冲信号的前身的概念。

接着就是互相表示了，脉冲表示阶跃，也是一段一段的，然后求极限。然后就研究冲激信号是不是也能表示连续的时间信号呢？对，也是可以表示的。

冲激信号有着筛选功能，阶跃有着分割的功能。

我们就研究这两个系统

然后我们对偶的来使用微分方程和差分方程来表示两个不同的系统

系统之间的关系有三种：

1. 串联（series interconnection）或级联（cascade interconnection）
2. 并联（parrallel interconnection）
3. 反馈互联（feedback interconnection）

无记忆系统的正式定义为：如果对于自变量的每一个值（要特别注意用词），系统的输出仅仅取决于该时刻的输入，该系统称为无记忆(memoryless)系统。

记忆的是过往，有记忆功能

考虑系统输入－输出的“先后”关系。

若一个系统在任意时刻的输出仅取决于当前和/或之前时刻的输入，这样的系统称为因果系统（causal system）。

换种说法就是：因果系统在任意时间的输出不能与之后的输入有关，否则就是非因果系统（noncausal system）

非实时的信号处理或信号不是以时间为自变量的应用中，对系统的因果性通常没有限定。

稳定性就不说了。

如果系统的特性不因时间改变而改变，就称该系统是时不变的。

如果在输入信号上有一个时移，而在输出信号中产生同样的时移，那么这个系统就是时不变的。

最后的线性就是齐次和叠加

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI2ODUwNTczMw==&mid=2247547609&idx=1&sn=f8e1c8cfb0050d9261d6b6cb28525e52&chksm=eaecfd33dd9b742512b5a2247138fa5c91ddbcc805764c5e0be23606a23e14d9fdcfba8a6b3a&token=665313207&lang=zh_CN#rd

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