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完美世界，最大规模裁员

宫水三叶的刷题日记

发布于 2024-06-26 01:32:19

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题目描述

平台：LeetCode

题号：768

这个问题和“最多能完成排序的块”相似，但给定数组中的元素可以重复，输入数组最大长度为 2000，其中的元素最大为 10^8。

arr 是一个可能包含重复元素的整数数组，我们将这个数组分割成几个“块”，并将这些块分别进行排序。

之后再连接起来，使得连接的结果和按升序排序后的原数组相同。

我们最多能将数组分成多少块？

示例 1:

输入: arr = [5,4,3,2,1]

输出: 1

解释:
将数组分成2块或者更多块，都无法得到所需的结果。
例如，分成 [5, 4], [3, 2, 1] 的结果是 [4, 5, 1, 2, 3]，这不是有序的数组。

示例 2:

输入: arr = [2,1,3,4,4]

输出: 4

解释:
我们可以把它分成两块，例如 [2, 1], [3, 4, 4]。
然而，分成 [2, 1], [3], [4], [4] 可以得到最多的块数。

注意:

arr 的长度在

[1, 2000]

$[1, 2000]$

之间。

arr[i] 的大小在

[0, 10^{8}]

$[0, 10^8]$

之间。

贪心 + 构造

一种容易想到的构造方法，是与目标序列（已排升序的数组 clone）做区间比较。

由于题目要求尽可能划分出多的区间，我们可以从前往后处理 arr 和 clone 时统计区间内数的情况，若有 arr[i...j] 和 clone[i...j] 词频完全相同，可知 arr[i...j] 可通过内部排序调整为 clone[i...j]，此时我们将范围

[i . . . j]

$[i...j]$

划分为一个区间，然后继续往后处理直到整个数组处理完。

容易证明该做法的正确性：可从边界开始进行归纳分析，起始两者均从下标为 0 的位置进行扫描。假设最优解和贪心解的第一个区间的结束位置相同，问题就会归结到子问题上（即双方均从相同的子数组起始位置开始构造），因此无须额外证明；而当起始位置相同，结束位置不同时，假设分别为

c l o n e [i . . . j_{1}]

$clone[i...j_1]$

和

a r r [i . . . j_{2}]

$arr[i...j_2]$

，则必然有

j_{1} > j_{2}

$j_1 > j_2$

（因为如果有

j_{1} < j_{2}

$j_1 < j_2$

，那么在

a r r

$arr$

扫描到前者时已经满足划分区间的条件，已经会停下来，即与贪心决策逻辑冲突），而当

j_{1} > j_{2}

$j_1 > j_2$

时，我们可以将最优解中的区间

c l o n e [i . . . j_{1}]

$clone[i...j_1]$

进一步划分为

c l o n e [i . . . j_{2}]

$clone[i...j_2]$

和

c l o n e [j_{2} + 1 . . . j_{1}]

$clone[j_2+1 ... j_1]$

两段，同时不影响后续的构造过程，使得最终划分的区间数增大，即与最优解本身无法划分冲突。

根据数值之间满足严格全序，可知当

j_{1} > j_{2}

$j_1 > j_2$

和

j_{1} < j_{2}

$j_1 < j_2$

均不满足时，必然有

j_{1} = j_{2}

$j_1 = j_2$

为真。

综上，我们证明了对于相同起点，贪心解与最优解结束位置必然相同，从而证明贪心解区间数与最优解相等。

于是原问题转换为如何快速对两数组（原数组 arr 和目标数组 clone）进行词频比较，由于数值的范围为 10^8，如果使用最裸的词频对比方案的话，需要先进行离散化，最终算法的复杂度为

O (n log n + n^{2})

$O(n\log{n} + n^2)$

。

更好的解决方案是使用哈希表进行计数，同时维护当前计数不为 0 的数值数量 tot。

具体的，当我们处理

a r r [i]

$arr[i]$

时，我们在哈希表中对

a r r [i]

$arr[i]$

进行计数加一，而在处理

c l o n e [i]

$clone[i]$

时，对

c l o n e [i]

$clone[i]$

进行计数减一。从而将词频比较的复杂度从

O (n^{2})

$O(n^2)$

下降到

O (n)

$O(n)$

。

Java 代码：

class Solution {
    public int maxChunksToSorted(int[] arr) {
        int[] clone = arr.clone();
        Arrays.sort(clone);
        int n = arr.length, ans = 0;
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        for (int i = 0, tot = 0; i < n; i++) {
            int a = arr[i], b = clone[i];
            if (map.getOrDefault(a, 0) == -1) tot--;
            else if (map.getOrDefault(a, 0) == 0) tot++;
            map.put(a, map.getOrDefault(a, 0) + 1);
            if (map.getOrDefault(b, 0) == 1) tot--;
            else if (map.getOrDefault(b, 0) == 0) tot++;
            map.put(b, map.getOrDefault(b, 0) - 1);
            if (tot == 0) ans++;
        }
        return ans;
    }
}

Python 代码：

class Solution:
    def maxChunksToSorted(self, arr: List[int]) -> int:
        clone = sorted(arr)
        n, ans, tot = len(arr), 0, 0
        mapping = defaultdict(int)
        for i in range(n):
            a, b = arr[i], clone[i]
            if mapping.get(a, 0) == -1:
                tot -= 1
            elif mapping.get(a, 0) == 0:
                tot += 1
            mapping[a] = mapping.get(a, 0) + 1
            if mapping.get(b, 0) == 1:
                tot -= 1
            elif mapping.get(b, 0) == 0:
                tot += 1
            mapping[b] = mapping.get(b, 0) - 1
            if tot == 0:
                ans += 1
        return ans

TypeScript 代码：

function maxChunksToSorted(arr: number[]): number {
    let clone = [...arr].sort((a,b)=>a-b)
    let n = arr.length, ans = 0
    const map = new Map<number, number>()
    for (let i = 0, tot = 0; i < n; i++) {
        const a = arr[i], b = clone[i]
        if (!map.has(a)) map.set(a, 0)
        if (map.get(a) == 0) tot++
        else if (map.get(a) == -1) tot--;
        map.set(a, map.get(a) + 1)
        if (!map.has(b)) map.set(b, 0)
        if (map.get(b) == 0) tot++
        else if (map.get(b) == 1) tot--
        map.set(b, map.get(b) - 1)
        if (tot == 0) ans++
    }
    return ans
};