曲率

曲率用于描述函数弯曲的程度，本文记录定义以及计算方法。

定义

曲率：针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率。

曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。

曲率用 K 表示；切线方向角用 α 表示；弧长用 s 表示；半径用 r 表示。

概念定义： 对于连续可微的函数区间上一点 x ，其距离无限接近 0 的函数上另一点 x’ ，距离为 \Delta s ，函数在点 x 和 x’ 的切线夹角为 \Delta \alpha ，那么这两个切线过 x 和 x’ 的垂线交点 o ，由于 \Delta s 长度接近 0，因此可以认为 ox = ox’ ，以 o 为圆心， ox 为半径的圆叫做曲率圆(密切圆)， o 就是点 x 曲率圆的圆心——曲率中心，ox 为曲率半径，长度为 r ，那么就有等式：

推导过程

公式推导

设曲线的方程为 y=f(x) ，且 f(x) 具有二阶导数。

x 点上的切线角度为 \alpha ，\tan \alpha 为 y’=\frac{dy}{dx} ，即 \tan \alpha = y’ 。

求 d \alpha ：

参数方程

同理，若曲线由参数方程给出：

计算曲率 k :

总结

参考资料

• https://www.cnblogs.com/wsgxg/p/16751156.html
• https://www.cnblogs.com/fujj/p/9704589.html

文章链接：

https://cloud.tencent.com/developer/article/2453742