秩-非零子式的最高阶数(矩阵内部的连通性）

解答

其实这里面的知识不少，正好补充。

矩阵非零子式的最高阶数，简单来说就是从一个矩阵中能剪出最大的、非零的正方形有多大。这个数值可以反映矩阵的很多性质。

想象一个池塘，里面的水代表矩阵的元素。非零子式的最高阶数就像是在这个池塘里挖一个最大的方形池塘，这个方形池塘能装的水量就代表矩阵的秩。

我们把一个矩阵想象成一个表格，每个数字都占据一个格子。

从表格里剪出最大的“非零正方形”

• 子式：就像是从这个表格里剪下来的一小块正方形。你可以选择表格中任意多行和任意多列，然后把这些行和列交叉的部分“剪”下来，就得到一个小正方形。这个小正方形里的数字组成一个行列式，这个行列式就是子式。

注意是个行列式！！！啊！再见吧！我的行列式~

• 非零子式：就是说，这个小正方形里算出来的值不是0。行列式的值
• 最高阶数：就是说，我们能从这个表格里剪出的最大的、非零的正方形有多大。这个“大”指的是正方形的边长，也就是包含的行列数。

看懂没有？子式就是一个正方形的行列式，随意取有点像遍历的感觉。

| 1  2  3 |
| 4  5  6 |
| 7  8  9 |

这个表格就是一个矩阵。我们可以从中剪出很多不同大小的正方形，比如：

2x2的正方形：

这个正方形算出来的值不是0，所以它是一个2阶的非零子式。

| 1  2 |
| 4  5 |

3x3的正方形：

这个正方形算出来的值是0，所以它不是一个非零子式。

| 1  2  3 |
| 4  5  6 |
| 7  8  9 |

那么，这个矩阵中最大的非零子式是什么呢？

在这个例子中，最大的非零子式就是那个2x2的。所以，这个矩阵的非零子式的最高阶数就是2。

这个“最高阶数”有什么用呢？

• 反映矩阵的“胖瘦”： 阶数越高，说明矩阵包含的信息越丰富，矩阵的“秩”就越高。
• 判断矩阵是否可逆： 如果一个方阵（行数和列数相等）的非零子式的最高阶数等于它的阶数，那么这个矩阵就是可逆的。
• 解决线性方程组： 在解线性方程组时，非零子式的最高阶数可以告诉我们方程组解的情况。

接下来为了完整性，可以看这个结论：如果一个方阵（行数和列数相等）的非零子式的最高阶数等于它的阶数，那么这个矩阵就是可逆的。

如果一个方阵中，最大的那个非零的“小方阵”（也就是子式）的边长正好等于整个方阵的边长，那么这个方阵就是可逆的。

我喜欢不厌其烦的重复，里面的名词一定要搞明白。

• 方阵： 行数和列数相等的矩阵。方阵也是矩阵
• 子式： 从一个矩阵中选取若干行和若干列，保留这些行列交叉处的元素所构成的行列式。子式是行列式
• 非零子式： 值不为零的子式。子式的一种特殊情况
• 最高阶数： 所有非零子式中，边长最大的那个子式的阶数。
• 可逆矩阵： 存在逆矩阵的矩阵。
• 秩： 非零子式的最高阶数就是矩阵的秩。
• 初等变换： 初等变换不改变矩阵的秩。
• 行列式与可逆性： 一个方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零。
• 子式与行列式： 一个矩阵的行列式可以看作是它本身这个最大的子式。
• 最高阶非零子式： 如果一个方阵的最高阶非零子式的阶数等于方阵的阶数，那么这个方阵的行列式就是这个最高阶非零子

是不是又蚌湖住了？没关系！我来解决~有三个例子，再学不会就没办法了，抬出去吧。

想象一个城市的地图

pdd偷图

我们可以把一个矩阵看作是一个城市的地图。矩阵中的每个数字代表一个路口，数字的大小代表这个路口的重要性。

• 子式：想象一下，我们在地图上圈出一个小区域。这个小区域内的路口组成的一个子矩阵，它的行列式就是这个小区域的“交通繁忙程度”。如果这个小区域内的路口相互连接非常紧密，那么它的交通就非常繁忙，行列式的值也就很大。
• 非零子式：如果一个子区域的交通非常繁忙，那么它的行列式就一定不为0。
• 最高阶非零子式：就是说，我们能在这个地图上找到的最大的、交通最繁忙的区域。

为什么最大的繁忙区域能决定整个地图的“通畅程度”呢？

• 如果最大的繁忙区域能覆盖整个地图，也就是说，整个地图都是相互紧密连接的，没有“死角”，那么这个城市交通就非常通畅，任何一个路口都可以到达任何一个路口。这就相当于矩阵是可逆的。
• 如果最大的繁忙区域不能覆盖整个地图，也就是说，地图上还有一些孤立的区域，这些区域与其他区域的连接非常薄弱，那么这个城市的交通就不那么通畅，有些地方可能无法到达。这就相当于矩阵不可逆。
• 矩阵可逆意味着整个矩阵的各个部分紧密相连，没有孤立的部分。
• 非零子式的最高阶数反映了矩阵中最大的一个紧密连接的区域。
• 当最大的紧密连接区域能覆盖整个矩阵时，矩阵就是可逆的。

把矩阵想象成一张蜘蛛网。如果这张网的每一个节点都和其他节点紧密相连，那么这张网就是坚固的。

最大的一个没有破损的网就是非零子式。如果这个最大的网能覆盖整个蜘蛛网，那么这张网就是完整的，也就是矩阵是可逆的。

• 非零子式的最高阶数反映了矩阵的“连通性”。
• 当矩阵的“连通性”非常好时，矩阵就是可逆的。

一个方阵是一个拼图。如果这个拼图的所有碎片都能完美地拼在一起，而且没有缺失，那么这个拼图就是完整的。而这个“最大的能拼起来的完整部分”就对应着非零子式的最高阶数。如果这个最大的完整部分正好能拼满整个拼图，那么这个拼图就是完整的，也就是矩阵是可逆的。