【C语言】青蛙跳台阶问题 - 递归算法（一种思路，针对三种不同的情况）

埋头编程

发布于 2024-10-16 09:22:07

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1. 前言

相信大家看到青蛙跳台阶问题时，第一时间就会想到递归。那你知道为什么会使用递归吗？如果你对此一知半解的话，那么请跟随我的脚步，一起探索递归解决问题背后的秘密。

可能也有的读者会问，我不是学C语言的，看这个会不会不合适。对此，我只想说：编程的尽头是天马行空的脑洞和转化问题的能力，编程语言只是我们解决问题的工具，只要问题被解决了，用什么语言效果都是大差不差的。

那么，话不多说，Let’s go!!!

2. 题目和分析

题目一：一只青蛙一次可以跳上一级台阶，也可以跳上二级台阶，求该青蛙跳上一个n级的台阶总共需要多少种跳法。

问题的描述很简单，那我们的破题关键在哪里呢？

我们可以先罗列几种情况，看一下有什么规律。

从这里，你可以发现一个规律：

当只有一个台阶时，青蛙它别无选择，它只需要跳一步就可以了；
当存在两个台阶时，青蛙此时就会有两种方法。第一种就是，当青蛙选择一开始先跳一步时，那么两个台阶就只剩下一个台阶要跳了，那还能怎么办，继续跳就完事了。第二种就是，青蛙选择一次跳两步，两个台阶就被跳完了。
当存在三个台阶时，青蛙此时就会有三种方法。第一种：一步一步地跳。第二种：先选择跳一步之后，再一次跳两步。第三种：先选择跳两步，最后再跳一步就行。

后面的列举是一样的思路，限于篇幅的原因，这里就不再过多列举了。

看到这里，我们不妨假设，变量n为青蛙要跳的台阶数，函数Fun为计算青蛙台阶的方法个数。

int Fun(int n)
{
	... //代填写的内容
}

那么根据题目的要求，我们可以知道一个点，就是：Fun(1) = 1，Fun(2) = 2
仔细观察，我们可以发现一个规律：当台阶数n=3时，Fun(3) = Fun(2) + Fun(1) …

为此，我们可以总结出一个递推公式，就是Fun(n) = Fun(n-1) + Fun(n-2) (n>2)。

为此，我们就可以开始写函数了。

2.1 代码实现

#include<stdio.h>
int Fun(int n)
{
	if (n<=2) //递归退出条件
	{
		return n;
	}
	else
	{
		return Fun(n - 1) + Fun(n - 2);
	}
}

int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fun(n);
	printf("%d\n", ret);
	return 0;
}

2.2 反思 (重点)

可能有的读者对这个规律总结的出现，仍然感觉到很诧异。那么我现在就用语言来解释这个递推公式背后的秘密。

我们可以想象一下，当台阶数大于2时：

当台阶数n=3时，聪明的青蛙此时就会说：“那我先跳1个台阶试试看后面的情况。” 既然青蛙已经跳过了1个台阶，那么总的台阶数就还剩2个。而这个问题不就又转换为：跳两个台阶有多少种跳法。那这里可能有的读者还会提一个问题，如果青蛙先跳2个台阶呢？还会上述的推理过程吗？其实大致的方向是不变的，就改一下顺序就可以了。为此你就可以理解Fun(n) = Fun(n-1) + Fun(n-2)这个公式的强大之处，它无关你跳的前后顺序。

看到这里，你可能还是不理解上述的语言表述，我就在多举一个例子

那么，当台阶数n=4，又会发生什么情况呢？Fun(4) 一样的解题思路：当青蛙选择跳1步时，那么台阶就还剩3个，问题不就又转化为：求3个台阶有多少种跳法。Fun(3) 可是这样还不够啊，青蛙也有可能一开始就跳两步，当青蛙一开始就跳2步，那么台阶就还剩2个，问题不就又转化为：求2个台阶有多少种跳法。Fun(2) 所以，Fun(4) = Fun(3) + Fun(2)

看到这里，我想你已经彻底理解了这个递推公式的精髓所在了。

这里面也蕴含了一种思想：大事化小的思想，这个不正是我们使用递归的核心思想。通过青蛙的每一步选择都会出现看两种不同的结果，但是每种结果的尽头，台阶数最终不是剩下2个就是1个，都会回到递归的退出条件。

3.题目二（变式）

题目二：一只青蛙一次可以跳上一级台阶，也可以跳上二级台阶…，还可以跳上n级台阶，求该青蛙跳上一个n级的台阶总共需要多少种跳法。

如果你理解上面青蛙跳台阶的思路，那么这道题就不难了。

3.1 分析

这里我就简单分析一下：与第一道不同的是，青蛙可以这次可以选择跳<=n的步数了，但是，基本的思路是一样的。

假设有n个台阶，函数Fun用来计算n个台阶有多少种跳法。那么，我们就可以得到一个递推公式： Fun(n) = Fun(n-1) + Fun(n-2) + … + Fun(2) + Fun(1) + 1 ① Fun(n-1) = Fun(n-2) + Fun(n-3) + … + Fun(2) + Fun(1) + 1 ②

将上述的①和②结合一下： Fun(n) = Fun(n-1) + Fun(n-1) = 2*Fun(n-1)

3.2 代码实现

#include<stdio.h>

int Fun(int n)
{
	if (n == 1)
	{
		return 1;
	}
	else 
	{
		return 2*Fun(n - 1);
	}
}

int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int ret = Fun(n);
	printf("%d\n", ret);
	return 0;
}

4. 题目三（变式）

问题三：一只青蛙一次可以跳上一级台阶，也可以跳上二级台阶…，还可以跳上m级台阶，求该青蛙跳上一个n级的台阶总共需要多少种跳法。

4.1 分析

这道题目又和上一道题目有所不同，这次青蛙最多跳<=m个台阶数。

由上两题总结出的思路，我们可以很快地写出此题的递推公式： Fun(n) = Fun(n-1) + Fun(n-2) + … + Fun(n-m) ① Fun(n-1) = Fun(n-2) + Fun(n-3) + … + Fun(n-m-1) ② 将①和②结合一下： Fun(n) = 2 * Fun(n-1) + Fun(n-m-1) （n>m）上述的情况是当n>m时发生的，那么当n<=m时呢？那问题就会转化为题目二的思路了。

4.2 代码实现

int Fun(int n, int m)
{
	if (n <= 1) //之所以是小于1，是因为m可能会大于n
	{
		return 1;
	}
	if(n>m)
	{
		return 2 * Fun(n - 1, m) - Fun(n - m - 1, m);
	}
	return 2 * Fun(n - 1, n); //这里的n不要写成m
}

int main()
{
	int n = 0;
	int m = 0;
	scanf("%d %d", &n, &m);
	int ret = Fun(n, m);
	printf("%d\n", ret);
	return 0;
}