第五讲正弦交流电路分析

原创

华东子

发布于 2024-11-14 09:45:17

1360

文章被收录于专栏：电路分析电路分析

5.1 阻抗

从分析RLC串联电路开始：

一、RLC串联电路

RLC串联电路

已知：

i=\sqrt{2}Isin(\omega t+\psi_{i}) \\

根据基尔霍夫电压定律KVL，RLC串联电路总电压瞬时值表达式为：

u=u_{R}+u_{L}+u_{C} \\

因为，三个元件两端电压均是同频率的正弦量，所以可以讲上面式子写成相量形式

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其中：

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二、阻抗

定义：阻抗Z （Ω）

Z=\frac{\dot{U}}{\dot{I}} \\

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欧姆定律相量形式（电压电流相量关系）：

Z=\frac{\dot{U}}{\dot{I}} \\

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\left| Z \right|称为阻抗的模，大小为电压有效值与电流有效值之比

\varphi称为阻抗角（大小为电压与电流的相位差）

R称为电阻（阻抗的实部），X称为电抗（阻抗的虚部），

X=X_{L}-X_{C}

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对于RLC串联电路：

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阻抗就是电阻吗？如果是，为什么不直接叫电阻？285 关注 · 75 回答问题

三、阻抗三角形与电压三角形

阻抗三角形：

阻抗是一个复数，阻抗的实部、虚部和模构成一个三角形

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注意：阻抗 Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。

RLC串联电路的性质：

当XL>XC时，\varphi>0 ，电压 u 超前电流 i，整个电路呈感性；

当XL<XC时，\varphi<0，电压 u 滞后电流 i，整个电路呈容性；

当XL=XC时， \varphi=0 ，电压 u与电流 i 同相，整个电路呈纯阻性，电路发生谐振。

电压与电流相量图

电压三角形：

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电压三角形与阻抗三角形的关系：相似三角形

5.2 导纳

一、RLC并联电路

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假设：

u=\sqrt{2}Usin(\omega t+\psi_{u}) \\

根据KCL，并联电路总电流i瞬时值方程为

i=i_{R}+i_{L}+i_{C} \\

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因为所有电流均为与电压u同频率的正弦量，故可以用相量表示，即

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二、导纳

定义：导纳Y （S） Y=\frac{\dot{I}}{\dot{U}}

\dot{I}=Y\dot{U}

对于RLC并联电路，总导纳

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\left| Y \right|称为导纳的模，大小为电流有效值与电压有效值之比；

\varphi^{‘}称为导纳角，大小为电流与电压的相位差；

G称为电导（阻抗的实部），B称为电纳（阻抗的虚部），

B=B_{C}-B_{L}

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注意：导纳 Y 是一个复数，不是相量，上面不能加点。

同样根据导纳虚部的符号，可以判定电路的性质：阻性、容性还是感性。

当BC>BL时，\varphi^{’}>0，电流 i 超前电压 u，整个电路呈容性；

当BC<BL时，\varphi^{’}<0，电流 i 滞后电压 u，整个电路呈感性；

当BC=BL时，\varphi^{’}=0，电流 i 与电压 ui 同相，整个电路呈纯阻性，电路发生谐振。

同样，也可以画出导纳三角形和电流三角形，这两个三角形相似。

5.3 串联谐振与并联谐振

前面已经讲过，R、L、C元件组成的交流电路，在某个频率处会发生谐振。谐振是正弦稳态电路中的一种特殊现象。在无线电和电工技术中有着广泛的应用，但另一方面谐振可能造成某种危害而应加以避免。

5.3.1 串联谐振

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一个电阻R、电感L、电容C串联的电路，在正弦电压作用下，电路的等效阻抗为：

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当 X_{L}=X_{C}的时候，Z=R，电压与电流同相，电路呈现纯阻性，这时电路发生谐振，称为串联谐振。

电路发生谐振的条件： \omega L=\frac{1}{\omega C}

发生谐振的角频率和频率分别为：

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从上式可以看出，谐振频率是由电路的结构参数决定的，属于电路的固有频率，。串联谐振频率由串联电路中的电感、电容元件的参数决的，与串联电阻的电阻值无关。

综上所述，串联谐振的特点是：电路呈现电阻性，电压与电流同相，阻抗最小，电流最大。

串联谐振时，各元件电压相量图

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显然，电阻两端电压等于总电压，电感和电容两端的总电压为零。但是，谐振时会在电感和电容两端出现大大高于外加电压U的高电压，故串联谐振又称为电压谐振。这种高电压有时会损害设备，因此在电力系统中应该避免出现谐振现象，而无线电电路中，却常利用谐振提高微弱信号的幅值。

RLC 串联电路的频率特性、特性阻抗和品质因数

在 RLC 串联电路中，感抗、容抗和电抗随频率变化的曲线称为它们的频率特性。

频率特性

特性阻抗\rho：谐振时感抗或容抗的值，它是一个只与电路的参数有关而与频率无关

的常量。

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串联谐振电路的品质因数Q：串联谐振电路的特性阻抗与电路中的电阻值之比。

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品质因数 Q 在工程上也称 Q 值。是一个由电路参数R、L、C决定的一个量纲为一的量。引入 Q 值后，电路发生谐振时，电感和电容两端的电压可表示为：

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串联谐振电路的谐振曲线

串联谐振电路对于不同频率的信号具有选择能力。串联谐振电路中电流的有效值为：

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其中，

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如果以η为横坐标，电流比为纵坐标，则可对不同的Q值画出一组不同的曲线。这种曲线称为串联谐振电路的谐振曲线。

当确定一个Q 值后，这条谐振曲线对于任何不同参数的 RLC串联谐振电路均适用，故又称串联谐振电路的通用曲线。

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串联谐振电路对输出具有明显的选择性：

在η=1(谐振点)时，曲线出现高峰，输出为最大。当η＜1和η＞1时，输出逐渐下降，随η→0和η→∞而下降为零，即串联谐振电路对偏离谐振点的输出有抑制能力，只有在谐振频率附近的频域内才有较大幅度的输出。

我们把电路的这种性能称为选择性。电路选择性的优劣取决于对非谐振频率输入信号的抑制能力。

显然，电路的Q 值越大，其选择性就越好。谐振电路的这种只允许一定范围频率的电流信号通过的性质又称为滤波性质。串联谐振电路对电流来说是一个带通滤波器。

用来表征滤波器性能的一个重要参量是通频宽度称为带宽，又称为通频带。一般规定，以通用曲线上

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将这一值对应的两个频率点之间的宽度称为带宽，它规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。

综合以上分析，我们可以看出品质因数Q 值越大，电流比就下降得越多，电路的通频带越窄，表明电路对不是谐振角频率的电流具有较强的抑制能力，即选择性较好；反之，品质因数Q 值很小，则在谐振点附近电流变化不大，选择性很差。Q 值称为品质因数即来源与此。

5.3.2 并联谐振

串联谐振电路的缺点是：当信号源的内阻较大时，会使串联谐振电路的品质因数大为降低，从而影响电路的选择性，这种情况下应采用并联谐振电路。

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工程上一般采用电感线圈和电容器组成并联谐振电路，如上图所示。电路的等效导纳为：

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当 B_{L}=B_{C} 时，导纳的虚部为零时，此二端网络端口电压与总电流同相，电路呈电阻性，这时电路发生谐振，称为并联谐振。

并联谐振发生的条件：B=0

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谐振频率：

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实际电路中，电感线圈的内阻R一般很小，

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所以：

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谐振时各支路电流及总电流为：

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当 R<<\omega_{0}L时，

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两并联支路的电流近于相等，比总电流大许多倍。因此并联谐振也称为电流谐振。等效阻抗为：

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上式表明：谐振电路的等效阻抗最大，其值由电路的参数决定而与外加电源频率无关。电感线圈的电阻越小，则谐振时电路等效阻抗越大。

并联谐振电路的特性阻抗和品质因数

并联谐振电路的特性阻抗和品质因数与串联谐振电路一样：

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即电路的品质因数越大，谐振时电路的等效阻抗也越大。

阻抗谐振曲线

Q 值不同时并联谐振电路的阻抗谐振曲线图：

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并联电路的品质因数Q越大（在 L 和 C 值不变时 R 值越小），谐振电路的阻抗也越大，阻抗谐振曲线也越尖锐，选择性也越强。

5.4 阻抗的串联与并联

一、n 个复阻抗的串联

复阻抗串联电路

总的复阻抗：

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显然，一般情况下 \left| Z \right|=\left| \sum_{k=1}^{n}{Z_{k}} \right|\ne \sum_{k=1}^{n}{\left| Z_{k} \right|}

阻抗分压公式：

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二、n 个复导纳的并联

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总的复导纳：

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显然，一般情况下 \left| Y \right|=\left| \sum_{k=1}^{n}{Y_{k}} \right|\ne \sum_{k=1}^{n}{\left| Y_{k} \right|}

导纳分流公式：

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三、无源二端网络的等效阻抗

图（a）是一个无源二端网络，可分别用图（b）和图（c）所示电路等效：

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Z=\left| Z \right|\angle\ \varphi =R+jX

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Y=\left| Y \right|\angle\ \varphi ^{'} =G+jB

其中：Z 称为二端网络的输入阻抗（等效阻抗）； Y称为二端网络的输入导纳（等效导纳）。

由于 Z Y=1，所以 \left| Z \right|=\frac{1}{\left| Y \right|} 、\varphi =-\varphi^{'}，具体参数之间的关系如下：

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5.5 无源二端网络的功率

一、正弦交流电路的瞬时功率

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假设：

u=\sqrt{2}Usin(\omega t+\psi_{u}) \\

i=\sqrt{2}Isin(\omega t+\psi_{i}) \\

电压u与电流i的相位差为：\varphi=\varphi_{u}-\varphi_{i} 也就是该无源二端网络的阻抗角

该网络的瞬时功率为：

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瞬时功率没有实际意义。

二、正弦交流电路的平均功率（有功功率）P

P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}pdt=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}[UIcos\varphi-UIcos(2\omega t+\varphi)]dt=UIcos\varphi \\

令\lambda =cos\varphi，称为该二端网络的功率因数

P=\lambda UI \\

三、正弦交流电路的无功功率Q

Q=UIsin\varphi \\

单位：乏（Var）

四、正弦交流电路的视在功率S

S=UI \\

单位：伏安（VA）

五、功率三角形

S、P、和Q之间的关系 S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}

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功率三角形与阻抗三角形相似，\varphi是阻抗角，也是功率因数角

六、改善功率因数

改善功率因数原因：

\varphi 的意义：电压与电流的相位差，即阻抗角。

\lambda =cos\varphi <1时，电路中会存在无功功率，也就是在电源和负载之间会发生能量交换。

P=\lambda UI=\lambda S \\

1.对于相同容量（ S ）的电源，功率因数\lambda越小，有功功率P越小，无功功率就越大。能量不能充分为负载所吸收（做功），不能充分利用电源的容量。

I=\frac{P}{\lambda U} \\

2.在电源电压U和负载有功功率P一定的情况下，，显然在一定电压下向负载输送一定的有功功率时，负载功率因数越低，通过线路的电流就越大。导线电阻能量损耗和导线阻抗压降越大，引起负载电压降低，影响负载正常工作。

改善功率因数的目的：使电源设备的容量得到合理利用；减少输电电能损耗；保证负载的正常工作。

改善功率因数的方法：一般负载都是感性的（电动机类负载），感性负载无功功率大于零。而容性负载无功功率小于零。提高功率因数常用的方法是与感性负载并联电容器，并联的电容器被称为补偿电容器。

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并联电容值的分析计算：

如图感性负载（ Z=R+j\omega L），电源电压为U，有功功率为P，现要求把它的功率因数从 cos\varphi 提高到 cos\varphi‘

cos\varphi< cos\varphi ^{‘}

补偿电路

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计算C大小的方法有两种

其一：根据需要补偿的无功功率 Q_{c}，来计算电容容量C

未并联电容器时，Q=Ptan\varphi；并联电容器以后， Q=Ptan\varphi′

所以，需要电容器C提供的无功功率为

Q_{C}=Ptan\varphi -Ptan\varphi^{'}，而 Q_{C}=\omega CU^{2}

所需并联的电容为

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其二：根据补偿前后电路总的有功功功率不变，来计算电容量C

P=UI_{RL}cos\varphi=UIcos\varphi^{'} \\

I_{C}=I_{RL}sin\varphi-Isin\varphi^{'}=\frac{P}{Ucos\varphi}sin\varphi-\frac{P}{Ucos\varphi ^{'}}sin\varphi^{'}\\

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5.6 一般交流电路分析方法-相量法

正弦交流电路，电压、电流都是正弦函数，进行运算很不方便。

相量法：使用相量来分析正弦电流电路的方法。前提：同频率的正弦量

1、保持电路结构不变，根据原电路图画出相量模型图。

2、根据元件相量形式的伏安特性以及相量形式的KVL、KCL，列电路方程。分析直流电路的各种定理和计算方法在这里是完全适用的。

3、用相量法或相量图求解电路。

4、最后将结果变换成所要求的形式。

相量形式的基尔霍夫定律：

基尔霍夫电流定律（KCL）：

时域形式： \sum_{k=1}^{n}{i_{k}}=0 相量形式： \sum_{k=1}^{n}{\dot{I}_{k}}=0

基尔霍夫电压定律（KVL）：

时域形式： \sum_{k=1}^{n}{u_{k}}=0 相量形式： \sum_{k=1}^{n}{\dot{U}_{k}}=0

正弦交流电路负载获得最大功率问题：

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图示电路中，已知电源电压 \dot{U}_{oc}和电源内阻抗 Z_{0}=R_{0}+jX_{0}，负载阻抗为 Z=R+jX 。试求R和X 为何值时，负载Z获得最大功率？且最大功率为多少？

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如果R不变，则 X=-X_{0} 时，上式取得最大值；

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上式中R为变量，可知当 R=R_{0}0 时，P_{max}^{'}达到最大值为

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所以，负载阻抗与电源内阻抗之间共轭匹配，是负载获得最大有功功率前提条件。

Z=Z^{*}=R-jX \\

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电路设计

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