第七讲 线性电路的过渡过程分析一

7.1 线性电路的过渡过程

由理想线性元件构成的电路，如电感、电容等储能元件组成的电路，在某个初始条件下，储能元件存在充电、放电的过程，这个过程是怎样的？

一、稳态和暂态

在一定激励的情况下，任何系统的响应的状态都有相对稳定和不稳定两种状态。在电路中，达到稳定状态是指在给定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。不稳定状态是指电压、电流随时间在发生动态变化。例如：电容、电感 的充电过程。

稳定状态（稳态）：电路中所有的响应或是恒定不变，或是按周期规律变化的工作状态。

过渡过程（动态、暂态）：在某个激励下，电路由一个稳态转变到另一个稳态的过程。这种转变一般说来不是即时完成的，需要一个过程，这个过程称为电路的过渡过程。

产生暂态的原因：

内因：电路为动态电路，即电路中含储能元件L，C ，能量只能连续变化而不能跃变；

外因：存在外部激励，如电路换路，即开关通断、电源变化、元件参数变化等。

分析过渡过程的方法：电路方程是以电流、电压为变量的微分方程。因此，暂态的分析有两种方法：

① 时域分析法：以时间作为变量，直接求解微分方程的方法。

② 复频域分析法：采用积分变换求解微分方程的方法。例如通过拉普拉斯变换，将自变量转换为复频率变量。

二、换路

换路：电路受到新的激励，具体地讲如电路中支路的接通、切断、短路或电路参数的突然改变及电路连接方式改变的统称。在进行理论分析时，我们假设换路是即时完成的。

定义以下三个时刻：

t=0 表示换路时刻 (计时起点)；

t=0_{-} 表示换路前的一瞬间（换路尚未发生）；

t=0_{+} 表示换路后的一瞬间（换路已经发生）；

储能元件中能量的改变是需要时间的。即动态电路在换路后一般不能由原来的稳定状态立刻到达新的稳定状态 。

电容储能

电感储能

在换路瞬间，当电容元件的电流为有限值时，电容电压一般不能跃变；当电感元件的电压为有限值时，电感电流一般不能跃变。

这就是动态电路的初始条件。

三、动态电路的初始条件

确定方法：

1.画出t=0−时刻的等效电路，电路已经处于稳定状态，此时电容相当于开路、电感相当于短路，求解u_{C}(0_{-}) 和i_{L}(0_{-})。

2. u_{C}(0_{+})=u_{C}(0_{-})和 i_{L}(0_{+})=i_{L}(0_{-})

3.画出t=0+时刻的等效电路，电容相用电压源（大小为 u_{C}(0_{+})）代替、电感用电流源（大小为 i_{L}(0_{+})）代替。

4.使用我们以前学过的直流电路分析方法，可以求取 t=0+ 时刻其他的电路参数。

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7.2 一阶电路的零输入响应

一阶电路：可用一阶微分方程来进行描述的电路。

零输入响应：没有外界电源激励，仅由储能元件初始储能所引起的响应。

一、RC串联电路的零输入响应

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在图示电流、电压的参考方向下，由KVL得换路后的电路方程：

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我们知道：i=-C\frac{du_{C}}{dt}以及u_{R}=Ri代入上式可得：

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这是一个一阶常系数线性齐次常微分方程，它的通解为

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特征方程为 RCp+1=0,特征根为 p=-\frac{1}{RC}，所以有

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将初始条件 u_{C}(0_{+})=u_{C}(0_{-})=U_{s}，代入得积分常数：

A=U_{s}=U_{0}

求得满足初始条件的微分方程的解，即电容的零输入响应电压、电流分别为

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当 t→∞ 时， u_{C}\rightarrow0 、i\rightarrow0 。

时间常数：一个很重要的概念。观察零输入响应表达式，在这里定义：

\tau的量纲：秒

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称\tau为电路的时间常数。它的大小反映了电路过渡过程的进展速度，它是反映过渡过程特征的一个重要的物理量。

时间常数的意义：当 t=\tau 时

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时间常数就是按照指数规律衰减的量衰减到它的初始值的36.8% 时所需时间。

理论上：放电要经历无限大时间才能结束，工程上认为：经过3\tau\sim5\tau时间过渡过程即告结束。

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时间常数越大，衰减越慢，过渡过程持续的时间越长。

RC电路中，电阻R在电容C放电过程中消耗的全部能量为

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就是说：电容在放电过程中释放的电场能量全部转换为电阻消耗的能量（热能）。

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二、RL串联电路的零输入响应

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图示电路，原已处于稳态， t=0 时开关K闭合。电流、电压的参考方向如图所示，由KVL得换路后的电路方程 ：

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显然，这是一阶常系数线性齐次常微分方程，它的通解为

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从而，求得满足初始条件的微分方程的解，即电感的零输入响应电压、电流分别为

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换路后，电感电压和电流均按指数规律衰减到0。其曲线如图所示。

RL电路的时间常数为：

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称\tau为RL电路的时间常数。同样它的大小反映了电路过渡过程的进展速度。时间常数越大，过渡过程持续的时间越长。

在电路过渡过程中，电感元件不断放出能量为电阻所消耗，最后，原来储存在电感中的磁场能量全部被电阻吸收而转换成热能。

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7.3 一阶电路的零状态响应

零状态：电路中所有储能元件的初始状态都为零的情况：

电容元件初始状态

电容元件初始状态

零状态响应：零状态电路，由外施激励所引起的响应。

一、RC 电路的零状态响应

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直流电压源 U_{s}通过电阻R对电容C充电，电路如图所示。在图示电流、电压的参考方向下，由KVL得换路后的电路方程：

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RC电路零状态响应电路方程

显然，这是一个一阶常系数线性非齐次常微分方程，方程的解有两部分组成

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第一部分为微分方程的特解：称为强制分量或稳态分量

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第二部分为对应齐次方程的通解：称为自由分量或暂态分量

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这个电路方程的通解是

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将以下初始条件代入上式得积分常数

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最后得到零状态响应的完全解为:

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响应过程：电容电压u_{c}由零初始值开始以指数形式趋近于它的最终值，即直流电压源电压U_{s} ，而电流在换路后瞬间，跃变到最大值，然后以此初始值开始按指数规律衰减到零。

电路接通直流电压源的过程也就是电源通过电阻对电容充电的过程。在充电过程中，电源输出的能量一部分转换成电场能量储存在电容中，一部分被电阻转换为热能消耗。

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充电效率问题：

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在充电过程中，电源提供的能量只有一半转换成电场能量储存于电容中，另一半则为电阻所消耗，也就是说，充电效率为有50%。

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二、RL电路的零状态响应

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图中换路前电感无储能， t=0 时闭合开关。在图示电流、电压的参考方向下，由KVL得换路后的电路方程

RL电路零状态响应电路方程

和RC电路类似，这仍是一个一阶常系数线性非齐次常微分方程，解仍由两部分组成

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其中稳态分量 i^{'}=\frac{U_{s}}{R}

其暂态分量形式为

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所以

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代入初始条件

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电路响应过程：电感电流由零初始值开始以指数形式趋近于它的稳态值，而电压在换路后，电压达到最大值，并以此初始值开始按指数规律衰减到零。到达该值后，电压和电流不再变化，电感相当于短路，其电压为零，达到新的稳态。

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此时，电感的磁场储能为

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注意：直流激励下的RC及RL 电路的零状态响应，若外加激励增加K倍，则其零状态响应也增加K倍，即零状态响应与外加激励成线性关系。

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对于直流或正弦交流激励下的一阶电路，都可以用三要素法进行求解，即分别求初始值、稳态值和时间常数。