函数连续与某处函数值的关系,从一元到多元

知识在我脑子上面滑过去了。现在好像都忘了，可恶啊，还给我知识。

好像下半年的微积分写的少了，这里再补充一些。

先总结，连续的意思是极限和函数值是一样的，只是极限分左右，所以一般出现是三个等号的成立。

一个函数在某点x=a处连续，意味着：

1. 函数在该点有定义：即f(a)存在。
2. 函数在该点的极限存在：即lim(x→a) f(x)存在。
3. 函数值等于极限值：f(a) = lim(x→a) f(x)。

函数的图像在该点没有“断开”，可以“一笔画过”。数学表述就是极限和函数值相等。

连续是函数值和极限值相等的充分必要条件。

• 充分性：如果一个函数在某点连续，那么根据定义，函数值一定等于极限值。前推后
• 必要性：如果一个函数在某点连续，那么函数值一定等于极限值。反之，如果函数值不等于极限值，那么函数在该点一定不连续。

判断函数的连续性：通过比较函数值和极限值，可以判断函数在某一点是否连续。一般用在选择题里面来判断连续性，和导数定义密切关联。

求解极限：对于连续函数，可以直接用函数值代替极限值。多项式函数、指数函数、正弦函数等在定义域内都是连续的。

分段函数在分段点处可能不连续；有理函数在分母为零的点处可能不连续。绝对值的函数是这里的大头，时不时的出现。

如果不连续的话，那就是出现了常见的间断点有：

• 第一类间断点：
  1. 可去间断点：函数在该点的左右极限存在且相等，但函数值与极限值不相等。其实就是两个大类的值不相等。
  2. 跳跃间断点：函数在该点的左右极限存在但不相等。我记得我写过类似的内容
• 第二类间断点：函数在该点的左右极限至少有一个不存在。以及摆烂的定义，不是第一类的都是第二类。 举个例子：
• 函数f(x)=x^2在整个实数范围内连续。
• 函数f(x)=1/x在x=0处不连续，为第二类间断点。
• 分段函数f(x)={x, x<=0; 1-x, x>0}在x=0处为跳跃间断点。

以前看知乎，老发现这个老师在推销自己的书，买来看确实不错

其实一开始就是想写多元的连续性，可是没有一元哪有多元。

与一元函数类似，多元函数的连续性也是描述函数图像“光滑”程度的一个重要概念。

定义: 设函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域内有定义，如果

lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) = f(x0,y0)

那么称函数f(x,y)在点P(x0,y0)处连续。

通俗地说，就是当点(x,y)无限接近于点(x0,y0)时，函数值f(x,y)无限接近于f(x0,y0)。

在几何上，多元函数的连续性意味着函数的图像在该点没有“断裂”或“跳跃”。

如何判断啊？其实定义法是最笨逼的一个，我们一般就研究点简单的货色。下面的函数都连续

1. 基本初等函数：如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等在它们的定义域内都是连续的。
2. 初等函数的四则运算：初等函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数。
3. 复合函数：如果g(x,y)在点(x0,y0)处连续，h(u)在u=g(x0,y0)处连续，那么复合函数h(g(x,y))在点(x0,y0)处连续。

基于连续我们就可以下面的工作了：

1. 偏导数：连续函数在某点处的偏导数一定存在。
2. 方向导数：连续函数在某点处沿任意方向的方向导数一定存在。
3. 多元函数的极值：连续函数在有界闭区域上一定存在最大值和最小值。
4. 多元函数的积分：连续函数在有界闭区域上可积。

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