计算机基础（4）——原码、补码、反码

1.5 原码、反码、补码

计算机为了区分数值的正负提出了符号位的设定，计算机用最高位存放符号，这个被称为符号位。正数的符号位为0， 负数的符号位为1。

例如，1的二进制表示形式为0000 0001，而-1的二进制表示形式为1000 0001。在计算机中，一个字节为8个位，最大值为0111 1111，十进制为127。最小值为1000 0000，十进制为-128。因此一个字节的取值范围为-128~127之间。

1.5.1 原码

原码是最直观的表示方法，它直接将数值转换为二进制数，是十进制数在二进制中的体现，该二进制包含符号位。原码就是我们之前使用的二进制的格式，只不过我们之前一直没有使用二进制描述过负数，使用原码描述负数只要将符号位设定为1即可。

但仅仅存在原码对于计算机进行运算时有着巨大缺陷；那就是对于负数的计算。

• 对于正数的计算，原码不会有问题，例如计算2+6：

  0000 0010
+ 0000 0110
-----------------
  0000 1000

0000 1000的十进制为8，计算正确。

• 对于负数的运算，发现结果与目标值不对，例如计算2+(-6)：

  0000 0011 （2）
+ 1000 0110 （-6）
--------------
  1000 1001

1000 1001的十进制为-9，计算错误。

为了解决原码不能用于计算负数的这种问题，因此迫切需要一种新的表示方法来解决这个巨大的缺陷，于是反码出现了。

Tips：有些人在这里肯定会有一个疑问，为什么要计算2+(-6)，而不是2-6这样的操作呢？这是因为CPU中只设计了加法器，没有所谓的“减法器”，因此2-6只能看做成2+(-6)这样的操作。

1.5.2 反码

反码提供了一种便捷的方法来执行减法操作，这样的设计允许CPU利用已有的加法逻辑来完成减法运算，无需额外的减法器硬件，从而简化了处理器的设计并减少了硬件资源的需求。

1. 反码的转换规则

有了原码之后我们可以根据规则转换成对应的反码，其规则如下：

• 正数的反码：原码本身。
• 负数的反码：原码的符号位不变，其余位取反。

一些数的原码、反码的表示如表所示。

原码转换为反码后，使用反码来进行计算。对于通常的负数计算，使用反码可以完成，例如我们计算2-6。

2的原码为0000 0010，反码为0000 0010。-6的原码为1000 0110，反码为1111 1001，计算如下：

  0000 0010 (2)
+ 1111 1001 (-6)
-----------
  1111 1011 (-4反码)
  1000 0100 (-4原码)

上述案例的计算结果为：1111 1011（反码），转换为原码为：1000 0100，结果为-4，刚好是正确的。

2. 反码的进位

需要注意的是，使用反码计算时，高位进位时需要作用到低位。例如我们换一个数进行计算，计算-4+(-1)。

-4的原码为1000 0100，反码为1111 1011。-1的原码为1000 0001，反码为1111 1110，计算如下：

  1111 1011 (-4)
+ 1111 1110 (-1)
-----------
  1111 1001 (-6)
          1 (高位进位之后作用到低位,在低位进1位)
-----------
  1111 1010 (-5反码)
  1000 0101 (-5原码)

3. 反码的缺陷

反码也有它的缺陷，那就是计算结果为0时。

我们来计算2+(-2)，-2的原码为：1000 0010，反码为：1111 1101。

  0000 0010 (2)
+ 1111 1101 (-2)
-----------------
  1111 1111 (反码)
  1000 0000 (原码)

上述案例计算的结果为1111 1111转回原码为1000 0000，结果为-0。那么问题来了，-0是0吗？在二进制中出现了两个可以描述“0”这个数值的二进制，一个为1000 0000，另一个为0000 0000，“0”这个数字在计算机中的编码就不是唯一的了，这很显然有问题。

1.5.3 补码

使用反码表示零时存在两种形式（+0和-0），这在逻辑上不严谨。计算机科学家们意识到这个问题后决定，把0当成正数，即“+0”，也就是0000 0000，此时八位二进制表示的正数范围为：+0到+127。对负数做调整，不能使用1111 1111来表示“-0”，因为不存在“-0”这个数。

1111 1111既然不表示“-0”，也就意味着可以表示其他的数值，因而八位二进制能够表述的数字又多了一位。那如何利用这一位数值呢？我们把基于反码的八位二进制表示的负数整体“向后挪动1位”，负数的取值范围就从-0到-127变为-1到-128。1111 1111不再表示-0了，而是表示-1，以此类推1111 1110表述的就是-2。

那么如何只对负数整体“向后挪动1位”呢？那就是对一个数的反码进行+1操作，如下：

• 1111 1110（-1的反码）+1就是1111 1111，这样1111 1111就不再表示-0而是表示-1。
• 1111 1101（-2的反码）+1就是1111 1110，这样1111 1110就不再表示-1而是表示-2。

就这样，八位二进制数的最小取值范围从-0到127变为了-1到-128。这种基于反码+1的操作就是补码。

1. 补码的转换规则

计算机在进行运算时，先将原码转回为对应的补码。其转换规则如下：

• 正数的补码：原码本身，正数的原码、反码、补码全都一致。
• 负数的补码：原码的反码+1。

一些数的原码、反码、补码的表示如表所示。

因为补码把“-0”这个位置利用起来了，所以在一个字节下的补码还可以记录一个特殊的值：-128，这个数据在1个字节下是没有原码和反码的。

2. 使用补码计算0

我们使用补码再来计算2+(-2)。

-2的补码为1111 1110。2的原码、反码、补码都为本身，即：0000 0010。计算过程如下：

  1111 1110 (-2)
+ 0000 0010 (2)
------------
  0000 0000 (0)

可以看到，上述的计算结果为0。补码很好的解决了反码相加结果为0的问题。

Tips：计算机底层存储数据时普遍使用补码形式。补码不仅能够表示正数和负数，还能够让加法和减法运算统一处理，简化了计算流程，并且能够自然地处理溢出情况。在现代计算机体系结构中，无论是整数还是浮点数，通常都采用补码表示法进行存储和运算。因此，无论是内存中的数据存储还是处理器进行的计算，补码都是被广泛采用的表示方法。

3. 补码的注意事项

八位二进制数的取值范围为：-128到+127，那如果计算的结果超出了这个范围又当如何呢？我们思考一个问题：127+1=？。

127的补码为0111 1111，1的补码：0000 0001，计算如下：

  0111 1111 （127）
+ 0000 0001 （1）
-------------
  1000 0000 （-128）

正常来说127+1的结果为128，1个字节的取值范围为-128到127，并不能存储128，因而在1个字节内进行127+1的结果为-128。

不仅127+1=-128，另外-128-1的结果也会发生改变。

-128的补码：1000 0000，-1的补码：1111 1111，相加的运算结果如下：

  1000 0000 (-128)
+ 1111 1111 (-1)
-------------
  111 1111 （127）

上述代码最终计算的结果为127。