【Java数据结构和算法】011-排序：排序算法、时间复杂度、空间复杂度

0、警醒自己

1、学习不用心，骗人又骗己；

2、学习不刻苦，纸上画老虎；

3、学习不惜时，终得人耻笑；

4、学习不复习，不如不学习；

5、学习不休息，毁眼伤身体；

7、狗才等着别人喂，狼都是自己寻找食物；

一、排序算法概述

1、简介

排序也称排序算法 (Sort Algorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程；

2、分类

内部排序：

指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器（内存）中进行排序；

外部排序：

数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储进行排序；

3、常见的排序算法

二、算法的时间复杂度

1、度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

事后统计的方法：

这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快；

事前估算的方法：

通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优；

2、时间频度

介绍：

时间频度：一个算法执行所花费的时间与算法中语句的执行次数成正比，也就是说一个算法中语句执行次数越多，它花费的时间就越多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度，记为T(n)；

举例说明-基本案例：

比如计算1-100所有数字之和，我们设计两种算法：

时间复杂度：T(n)=n+1;

时间复杂度：T(n)=1

举例说明-忽略常数项：

表：

对应的曲线图：

结论：

随着n的变大，带常数和不带常数的算式的时间复杂度无限接近，所以说常熟可以忽略；

在统计时间复杂度的时候，常数项可以忽略；

举例说明-忽略低次项：

表：

对应曲线图：

结论：

2n^2+3n+10和 2n^2随着n变大，执行曲线无限接近，可以忽略3n+10；

n^2+5n+20和 n^2随着n变大，执行曲线无限接近，可以忽略 5n+20；

在统计时间复杂度的时候，低次项可以忽略；

举例说明-忽略系数：

表：

表对应的曲线图：

结论：

随着n值变大，5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ，执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5和3可以忽略；

而n^3+5n 和 6n^3+4n ，执行曲线分离，说明多少次方是关键；

在统计时间复杂度的时候，系数可以忽略；

3、时间复杂度

①一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度；

②T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)；

③计算时间复杂度的方法：

用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1；

修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²；

去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)；

4、常见的时间复杂度

常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)；

说明：

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n^2)＜Ο(n^3)＜ Ο(n^k) ＜Ο(2^n) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低；

从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法；

（1）常数阶O(1)

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)；

上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度；

（2）对数阶O(log2n)

说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) ；

（3）线性阶O(n)

说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度；

（4）线性对数阶O(nlogN)

说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)；

（5）平方阶O(n²)

说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)，即O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)；

（6）立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

说明：参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似；

5、平均时间复杂度和最坏时间复杂度

①平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间；

②最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长；

③平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关，如图：

三、算法的空间复杂度

1、介绍

①类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数；

②空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况；

③在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间；