【机器学习与实现】线性回归示例——波士顿房价分析

Francek Chen

发布于 2025-01-22 21:20:19

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一、创建Pandas对象并查看数据的基本情况

boston.csv数据集下载：

链接：https://pan.quark.cn/s/fc4b2415e371 提取码：ZXjU

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

house = pd.read_csv("boston.csv")
print("shape=", house.shape)

shape= (506, 14)

house[:5]

house.describe()

	CRIM	ZN	INDUS	CHAS	NOX	RM	AGE	DIS	RAD	TAX	PTRATIO	B	LSTAT	MEDV
count	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000	506.000000
mean	3.593761	11.363636	11.136779	0.069170	0.554695	6.284634	68.574901	3.795043	9.549407	408.237154	18.455534	356.674032	12.653063	22.532806
std	8.596783	23.322453	6.860353	0.253994	0.115878	0.702617	28.148861	2.105710	8.707259	168.537116	2.164946	91.294864	7.141062	9.197104
min	0.006320	0.000000	0.460000	0.000000	0.385000	3.561000	2.900000	1.129600	1.000000	187.000000	12.600000	0.320000	1.730000	5.000000
25%	0.082045	0.000000	5.190000	0.000000	0.449000	5.885500	45.025000	2.100175	4.000000	279.000000	17.400000	375.377500	6.950000	17.025000
50%	0.256510	0.000000	9.690000	0.000000	0.538000	6.208500	77.500000	3.207450	5.000000	330.000000	19.050000	391.440000	11.360000	21.200000
75%	3.647422	12.500000	18.100000	0.000000	0.624000	6.623500	94.075000	5.188425	24.000000	666.000000	20.200000	396.225000	16.955000	25.000000
max	88.976200	100.000000	27.740000	1.000000	0.871000	8.780000	100.000000	12.126500	24.000000	711.000000	22.000000	396.900000	37.970000	50.000000

house.info()

二、可视化数据

使用皮尔逊相关系数分析特征之间的相关性。

house.corr(method='pearson')

可视化不同特征与因变量’MEDV’（房价中值）间的相关性。

#可视化不同特征与因变量'MEDV'（房价中值）间的相关性
fig = plt.figure( figsize=(8, 8), dpi=100 )
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

plt.subplots_adjust(hspace=0.35)
plt.subplot(2, 2, 1)
#s指定点的大小，可用help(plt.scatter)查看帮助
plt.scatter(house['RM'], house['MEDV'], s=1, marker='o', label='RM-MEDV')  
plt.xlabel( r"房间数 - $RM$" )
plt.ylabel( r"房价 - $MEDV$" )
plt.title(r"$\rho=0.695360$")

plt.subplot(2, 2, 2)
plt.scatter(house['LSTAT'], house['MEDV'], s=1, marker='o', label='LSTAT-MEDV')
plt.xlabel( r"低层人口比例 - $LSTAT$" )
plt.title(r"$\rho=-0.737663$")

plt.subplot(2, 2, 3)
plt.scatter(house['DIS'], house['MEDV'], s=1, marker='o', label='DIS-MEDV')
plt.xlabel( r"距就业中心距离 - $DIS$" )
plt.ylabel( r"房价 - $MEDV$" )
plt.title(r"$\rho=0.249929$")

plt.subplot(2, 2, 4)
plt.scatter(house['CHAS'], house['MEDV'], s=1, marker='o', label='CHAS-MEDV')
plt.xlabel( r"河景房 - $CHAS$" )
plt.title(r"$\rho=0.175260$")
plt.show()

三、进行数据预处理

选取特征’RM’(房间数)，‘LSTAT’(低层人口比例)，‘CHAS’(河景房)和目标’MEDV’(房价中值)形成样本数据。

house1 = house[['RM','LSTAT','CHAS','MEDV']]
house1[:5]

如有必要，对数值型特征进行标准化。

使用MinMaxScaler进行特征缩放，对数据集进行归一化处理，这是一个常用的预处理步骤，有助于将数据缩放到一个指定的范围内，通常是[0,1]。

from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler
mmScaler = MinMaxScaler()		#创建MinMaxScaler对象

mmScaler.fit(house1[['RM','LSTAT']])	#对MinMaxScaler对象进行拟合，以便获取特征的最小值和最大值
print("Min=", mmScaler.data_min_, "Max=", mmScaler.data_max_)

m = mmScaler.transform(house1[['RM','LSTAT']])		#使用拟合好的MinMaxScaler对象对数据集进行特征缩放
# m = mmScaler.fit_transform(house1[['RM','LSTAT']])
# 创建一个DataFrame来存储特征缩放后的数据，同时保留原始特征'CHAS'和目标变量'MEDV'
house2m = pd.DataFrame(m, columns=['RM','LSTAT'])
house2m[['CHAS','MEDV']] = house1[['CHAS','MEDV']]
house2m[:5]

使用 scikit-learn 中的StandardScaler对数据集中的特征进行标准化处理。首先，使用fit方法将标准化器适配到数据上，并打印出了每个特征的均值和方差。然后，使用transform方法对数据进行转换，将标准化后的数据保存到变量z中。接着，将标准化后的特征数据与原始数据集中的其他列（比如CHAS和MEDV）一起合并到新的DataFrame house2z中。

from sklearn.preprocessing import StandardScaler
zScaler = StandardScaler()			#创建一个StandardScaler对象
zScaler.fit(house1[['RM','LSTAT']])		#使用fit方法将StandardScaler对象适配到房屋数据的'RM'和'LSTAT'特征上，并计算它们的均值和方差
print("mean=", zScaler.mean_, "variance=", zScaler.var_)

z = zScaler.transform(house1[['RM','LSTAT']])		#使用标准化器对'RM'和'LSTAT'特征进行标准化处理，并保存到变量z中
# z = zScaler.fit_transform(house1[['RM','LSTAT']])
# 创建一个新的DataFrame 'house2z'来保存标准化后的特征数据，并将'CHAS'和'MEDV'列添加到其中
house2z = pd.DataFrame(z, columns=['RM','LSTAT'])
house2z[['CHAS','MEDV']] = house1[['CHAS','MEDV']]
house2z[:5]

X = house2z[['RM','LSTAT','CHAS']]
X[:5]

Y = house2z['MEDV']
Y[:5]

四、划分训练集和测试集并进行回归分析

1、划分训练集和测试集

使用train_test_split()函数用于按一定比例划分训练集和测试集。

from sklearn.model_selection import train_test_split
# X为特征数据，Y为目标数据
# test_size参数指定测试集的比例，这里设置为0.2表示测试集占总数据集的20%
# random_state参数用于设置随机种子，相同的值得到相同的训练集和测试集划分
X_train,X_test,Y_train,Y_test = train_test_split(
                                X, Y, test_size=0.2, random_state=2020)
# 打印训练集和测试集的形状（样本数，特征数或目标数）
print("X_train:", X_train.shape, "Y_train:", Y_train.shape)
print("X_test:", X_test.shape, "Y_test:", Y_test.shape)

#help(train_test_split)

2、创建线性回归模型并拟合训练数据

lr.coef_ 是模型的系数，lr.intercept_ 是模型的截距。将测试数据集的前五个样本用于预测，并将预测结果与实际值一起打印出来。这样可以比较模型的预测效果。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
#创建LinearRegression估计器对象
lr = LinearRegression()
lr.fit(X_train, Y_train)
print(lr.coef_, lr.intercept_)

XY_test = X_test[:5].copy()
XY_test['MEDV'] = Y_test[:5]
XY_test['MEDV_predict'] = lr.predict(X_test[:5])
XY_test

五、数据拟合并评估模型性能

1、创建线性回归模型并用训练集数据进行拟合

接下来，计算训练集和测试集上的R方值（决定系数）和均方误差（MSE）来评估模型的性能。R方值越接近1，表示模型拟合得越好；而均方误差越小，表示模型的预测结果与实际值之间的偏差越小。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error

lr = LinearRegression()
lr.fit(X_train, Y_train);  print(lr.coef_, lr.intercept_)

print("训练集R方：%f，" % lr.score(X_train, Y_train), end='')
print("训练集MSE：%f" % mean_squared_error( Y_train, lr.predict(X_train)))

print("测试集R方：%f，" % lr.score(X_test, Y_test), end='')
print("测试集MSE：%f" % mean_squared_error( Y_test, lr.predict(X_test)))

#help(lr.score)
#help(mean_squared_error)

2、使用K折交叉验证来评估线性回归模型的性能

在每个折叠中，数据被分成训练集和测试集，模型在训练集上进行拟合，并在测试集上进行评估。这有助于更准确地评估模型的泛化能力。在每次迭代中，打印了训练集和测试集的索引，拟合模型的系数和截距，以及模型在测试集上的R方值和均方误差。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error
lr = LinearRegression()

from sklearn.model_selection import KFold
kf = KFold(n_splits=3);  n = 0
for train_index, test_index in kf.split(X):
    n += 1
    print(n, "：TRAIN", train_index.shape, "  TEST", test_index.shape)
    X1_train, X1_test = X.iloc[train_index], X.iloc[test_index]
    Y1_train, Y1_test = Y.iloc[train_index], Y.iloc[test_index]

    lr.fit(X1_train, Y1_train);  print(lr.coef_, lr.intercept_)
    print("测试集R方：%f，" % lr.score(X1_test, Y1_test), end='')
    print("测试集MSE：%f" % mean_squared_error( Y1_test, lr.predict(X1_test)))

下面使用带有随机重排和指定随机种子的K折交叉验证来评估线性回归模型。在每个折叠中，将数据分为训练集和测试集，并在训练集上拟合模型。

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error
lr = LinearRegression()
coef = [0, 0, 0];  intercept = 0

from sklearn.model_selection import KFold
kf = KFold(n_splits=3, shuffle=True, random_state=2020);  n = 0
for train_index, test_index in kf.split(X):
    n += 1
    X1_train, X1_test = X.iloc[train_index], X.iloc[test_index]
    Y1_train, Y1_test = Y.iloc[train_index], Y.iloc[test_index]
    lr.fit(X1_train, Y1_train)
    coef += lr.coef_;  intercept += lr.intercept_
    
lr.coef_ = coef/n;  lr.intercept_ = intercept/n
print(lr.coef_, lr.intercept_)

print("训练集R方：%f，" % lr.score(X_train, Y_train), end='')
print("训练集MSE：%f" % mean_squared_error( Y_train, lr.predict(X_train)))

print("测试集R方：%f，" % lr.score(X_test, Y_test), end='')
print("测试集MSE：%f" % mean_squared_error( Y_test, lr.predict(X_test)))

3、使用岭回归模型（Ridge）来拟合数据

使用岭回归模型（Ridge）来拟合数据，并计算了模型在训练集和测试集上的R方和均方误差（MSE）。岭回归是一种常见的线性回归的正则化方法，通过引入L2范数惩罚项来控制模型的复杂度，有助于解决特征多重共线性问题。

设置alpha参数为1.0，这是岭回归中控制正则化强度的参数。较大的alpha值意味着更强的正则化。打印岭回归模型的系数（coef）和截距（intercept），以及在训练集和测试集上的R方和MSE。

from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.metrics import mean_squared_error

rd = Ridge(alpha=1.0)
rd.fit(X_train, Y_train)
print(rd.coef_, rd.intercept_)

print("训练集R方：%f，" % rd.score(X_train, Y_train), end='')
print("训练集MSE：%f" % mean_squared_error( Y_train, rd.predict(X_train)))

print("测试集R方：%f，" % rd.score(X_test, Y_test), end='')
print("测试集MSE：%f" % mean_squared_error( Y_test, rd.predict(X_test)))

下面使用网格搜索（GridSearchCV）来对岭回归（Ridge）模型的正则化参数alpha进行优化，并绘制了正则化系数与交叉验证的均方误差（MSE）之间的关系。

使用GridSearchCV来搜索不同的alpha值，并选出导致最低均方误差的最佳参数。
指定lamda = np.linspace(0, 20, 100)作为网格搜索的候选参数范围。
scoring='neg_mean_squared_error'表示用负均方误差作为评分标准。
cv=3表示使用3折交叉验证来评估每个alpha值的表现。

还计算了最佳参数对应的训练集和测试集上的R方（r2_score）和均方误差（neg_mean_squared_error）。最后，用一幅图展示了不同alpha值对应的交叉验证均方误差，以便直观地了解正则化强度与模型表现之间的关系。

from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.metrics import r2_score
rd = Ridge()

from sklearn.model_selection import GridSearchCV
lamda = np.linspace(0, 20, 100)
grid = {'alpha': lamda}
gs = GridSearchCV(estimator=rd, param_grid=grid,\
                  scoring='neg_mean_squared_error', cv=3)
gs.fit(X_train, Y_train)
print(gs.best_params_, -gs.best_score_)
print("训练集MSE：%f，" % -gs.score(X_train, Y_train), end='')
print("训练集R方：%f" % r2_score( Y_train, gs.predict(X_train)))
print("测试集MSE：%f，" % -gs.score(X_test, Y_test), end='')
print("测试集R方：%f" % r2_score( Y_test, gs.predict(X_test)))

fig = plt.figure( figsize=(4, 3), dpi=100 )
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.plot(lamda, -gs.cv_results_['mean_test_score'], linewidth=1)
plt.text(10, 31.58, r"网格搜索：$\alpha$", fontsize=18)
plt.xlabel( r"正则化系数 - $\alpha$" )
plt.ylabel( r"均方误差 - $MSE$" )
plt.show()

4、使用Lasso回归防止过拟合

使用了Lasso回归模型，该模型是线性回归的变体，带有L1正则化项。Lasso回归通过缩小回归系数的绝对值来防止过拟合，最终可能导致一些系数变为零，从而实现特征选择的效果。

from sklearn.linear_model import Lasso
from sklearn.metrics import mean_squared_error
# 创建了一个Lasso模型，正则化参数alpha=1.0，最大迭代次数max_iter=1000
las = Lasso(alpha=1.0, max_iter=1000)
las.fit(X_train, Y_train)
print(las.coef_, las.intercept_)	#训练模型后，输出模型的系数和截距
# 计算训练集和测试集上的R方（score方法）和均方误差（mean_squared_error）
print("训练集R方：%f，" % las.score(X_train, Y_train), end='')
print("训练集MSE：%f" % mean_squared_error( Y_train, las.predict(X_train)))

print("测试集R方：%f，" % las.score(X_test, Y_test), end='')
print("测试集MSE：%f" % mean_squared_error( Y_test, las.predict(X_test)))

下面将多项式特征扩展与Lasso回归结合。

PolynomialFeatures：这个类用于生成多项式特征，它将输入特征的所有可能的组合作为新的特征。在这里，使用PolynomialFeatures(2, include_bias=False)创建了一个二次多项式特征扩展对象，并将其应用于训练集和测试集，得到了扩展后的特征矩阵X_train_pf和X_test_pf。
Lasso：这是Lasso回归模型的调用，使用默认参数alpha=1.0和max_iter=1000。然后，使用扩展后的特征矩阵X_train_pf对模型进行拟合。
输出模型系数和截距：打印了模型的系数和截距，这些系数对应于扩展后的特征空间中的每个特征。
训练集和测试集上的评估：最后，分别计算了训练集和测试集上的R方值和均方误差。R方值（决定系数）用于评估模型对目标变量的拟合程度，均方误差则衡量了模型的预测误差大小。

from sklearn.linear_model import Lasso
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

poly = PolynomialFeatures(2, include_bias=False)
X_train_pf = poly.fit_transform(X_train)
X_test_pf = poly.fit_transform(X_test)
# X_train的形状是(样本数, 特征数)，而X_train_pf的形状是(样本数, 扩展后的特征数)
print("X_train：", X_train.shape, "，X_train_pf.shape：", X_train_pf.shape)

las = Lasso(alpha=1.0, max_iter=1000)
las.fit(X_train_pf, Y_train)
print(las.coef_, las.intercept_)	#模型的系数和截距
# 训练集和测试集上的R方值和均方误差
print("训练集R方：%f，" % las.score(X_train_pf, Y_train), end='')
print("训练集MSE：%f" % mean_squared_error(Y_train, las.predict(X_train_pf)))

print("测试集R方：%f，" % las.score(X_test_pf, Y_test), end='')
print("测试集MSE：%f" % mean_squared_error(Y_test, las.predict(X_test_pf)))