【java-数据结构】Java 二叉树：代码世界里的神奇树形魔法

前言

在计算机科学领域，数据结构是算法实现的基石，而二叉树则是其中一颗璀璨的明珠。它以独特的树形结构，在众多场景中发挥着关键作用。二叉树由节点组成，每个节点最多包含两个子节点，这种简洁而强大的设计，使得数据的存储、检索与处理变得高效且有序。无论是数据库索引、编译器的语法分析，还是人工智能中的决策树算法，都离不开二叉树的身影。在Java编程世界里，掌握二叉树的生成与操作是迈向高级编程的重要一步。通过使用Java语言来构建二叉树，不仅能够深入理解数据结构的底层原理，还能提升解决复杂问题的能力。接下来，我们将一步步深入探索如何在Java中实现二叉树，从节点的定义到树的构建，再到各种遍历与操作方法，揭开这一重要数据结构的神秘面纱。

一：什么是二叉树

二叉树是一种每个节点最多有两个子节点的树形数据结构，这两个子节点通常被称为左子节点和右子节点。这种简洁而强大的结构，在许多算法和数据处理场景中发挥着关键作用。 树是⼀种⾮线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成⼀个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像⼀棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，⽽叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有⼀个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
• 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、…、Tm，其中每⼀个集合Ti (1 <= i <= m) ⼜是⼀棵与树类似的⼦树。每棵⼦树的根结点有且只有⼀个前驱，可以有0个或多个后 继
• 树是递归定义的。

注意：树形结构中，⼦树之间不能有交集，否则就不是树形结构

那么怎么区分什么是树，什么不是树呢？ 请看下面图片：

一些二叉树重要的概念，以下面这棵树为例：

1. 结点的度：⼀个结点含有⼦树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
2. 树的度：⼀棵树中，所有结点度的最⼤值称为树的度； 如上图：树的度为6
3. 叶⼦结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
4. 双亲结点或⽗结点：若⼀个结点含有⼦结点，则这个结点称为其⼦结点的⽗结点； 如上图：A是B的⽗ 结点
5. 孩⼦结点或⼦结点：⼀个结点含有的⼦树的根结点称为该结点的⼦结点； 如上图：B是A的孩⼦结点
6. 根结点：⼀棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
7. 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的⼦结点为第2层，以此类推
8. 树的⾼度或深度：树中结点的最⼤层次； 如上图：树的⾼度为4
9. 树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：⾮终端结点或分⽀结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分⽀结点
10. 兄弟结点：具有相同⽗结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
11. 堂兄弟结点：双亲在同⼀层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
12. 结点的祖先：从根到该结点所经分⽀上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
13. ⼦孙：以某结点为根的⼦树中任⼀结点都称为该结点的⼦孙。如上图：所有结点都是A的⼦孙
14. 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

二：Java中二叉树的实现

2.1定义二叉树节点类

首先，我们需要定义一个类来表示二叉树的节点。每个节点包含一个数据元素，以及指向左子节点和右子节点的引用。

class TreeNode {
    int data;
    TreeNode left;
    TreeNode right;

    TreeNode(int data) {
        this.data = data;
        this.left = null;
        this.right = null;
    }
}

2.2构建二叉树

接下来，我们可以编写代码来构建一棵简单的二叉树。

public class BinaryTreeMagic {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建根节点
        TreeNode root = new TreeNode(1);
        // 创建左子节点
        root.left = new TreeNode(2);
        // 创建右子节点
        root.right = new TreeNode(3);
        // 为左子节点创建左子节点
        root.left.left = new TreeNode(4);
        // 为左子节点创建右子节点
        root.left.right = new TreeNode(5);

        // 至此，一棵简单的二叉树构建完成
        //       1
        //      / \
        //     2   3
        //    / \
        //   4   5
    }
}

2.3二叉树的遍历

遍历二叉树是对树中每个节点进行访问的过程。常见的遍历方式有三种：前序遍历、中序遍历和后序遍历。 学习⼆叉树结构，最简单的⽅式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中 每个结点均做⼀次且仅做⼀次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应⽤问题(⽐如：打印节点内 容、节点内容加1)。 遍历是⼆叉树上最重要的操作之⼀，是⼆叉树上进⾏其它运算之基础。

在遍历⼆叉树时，如果没有进⾏某种约定，每个⼈都按照⾃⼰的⽅式遍历，得出的结果就⽐较混乱， 如果按照某种规则进⾏约定，则每个⼈对于同⼀棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L 代表根节点的左⼦树，R代表根节点的右⼦树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历⽅式： • NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)⸺访问根结点—>根的左⼦树—>根的右⼦树。 • LNR：中序遍历(Inorder Traversal)⸺根的左⼦树—>根节点—>根的右⼦树。 • LRN：后序遍历(Postorder Traversal)⸺根的左⼦树—>根的右⼦树—>根节点

2.3.1前序遍历

前序遍历的顺序是先访问根节点，然后递归地访问左子树，最后递归地访问右子树。

void preOrderTraversal(TreeNode node) {
    if (node!= null) {
        System.out.print(node.data + " ");
        preOrderTraversal(node.left);
        preOrderTraversal(node.right);
    }
}

2.3.2中序遍历

中序遍历的顺序是先递归地访问左子树，然后访问根节点，最后递归地访问右子树。

void inOrderTraversal(TreeNode node) {
    if (node!= null) {
        inOrderTraversal(node.left);
        System.out.print(node.data + " ");
        inOrderTraversal(node.right);
    }
}

2.3.3后序遍历

后序遍历的顺序是先递归地访问左子树，然后递归地访问右子树，最后访问根节点。

void postOrderTraversal(TreeNode node) {
    if (node!= null) {
        postOrderTraversal(node.left);
        postOrderTraversal(node.right);
        System.out.print(node.data + " ");
    }
}

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6 中序遍历结果：3 2 1 5 4 6 后序遍历结果：3 2 5 6 4 1

2.3.4 层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对⼆叉树进⾏层序遍历。设⼆叉树的根节 点所在层数为1，层序遍历就是从所在⼆叉树的根节点出发，⾸先访问第⼀层的树根节点，然后从左到 右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，⾃上⽽下，⾃左⾄右逐层访问树的结点的过 程就是层序遍历。

以这棵树为例写下面题目：

1.某完全⼆叉树按层次输出（同⼀层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全⼆叉树的前序序列为(A) A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA 2.⼆叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则⼆叉树根结点为(A) A: E B: F C: G D: H 3.设⼀课⼆叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则⼆叉树前序遍历序列为(D) A: adbce B: decab C: debac D: abcde 4.某⼆叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同⼀层从左到右)的 序列为(A) A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF

2.4完整代码示例

下面是一个包含二叉树构建和遍历功能的完整Java代码示例：

class TreeNode {
    int data;
    TreeNode left;
    TreeNode right;

    TreeNode(int data) {
        this.data = data;
        this.left = null;
        this.right = null;
    }
}

public class BinaryTreeMagic {

    void preOrderTraversal(TreeNode node) {
        if (node!= null) {
            System.out.print(node.data + " ");
            preOrderTraversal(node.left);
            preOrderTraversal(node.right);
        }
    }

    void inOrderTraversal(TreeNode node) {
        if (node!= null) {
            inOrderTraversal(node.left);
            System.out.print(node.data + " ");
            inOrderTraversal(node.right);
        }
    }

    void postOrderTraversal(TreeNode node) {
        if (node!= null) {
            postOrderTraversal(node.left);
            postOrderTraversal(node.right);
            System.out.print(node.data + " ");
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        BinaryTreeMagic tree = new BinaryTreeMagic();
        // 创建根节点
        TreeNode root = new TreeNode(1);
        // 创建左子节点
        root.left = new TreeNode(2);
        // 创建右子节点
        root.right = new TreeNode(3);
        // 为左子节点创建左子节点
        root.left.left = new TreeNode(4);
        // 为左子节点创建右子节点
        root.left.right = new TreeNode(5);

        System.out.println("前序遍历:");
        tree.preOrderTraversal(root);
        System.out.println();

        System.out.println("中序遍历:");
        tree.inOrderTraversal(root);
        System.out.println();

        System.out.println("后序遍历:");
        tree.postOrderTraversal(root);
        System.out.println();
    }
}

三：二叉树的应用场景

1. 搜索算法：二叉搜索树（BST）是一种特殊的二叉树，它满足左子树所有节点的值小于根节点的值，右子树所有节点的值大于根节点的值。这种特性使得在BST中进行搜索操作的时间复杂度为O(log n)，大大提高了搜索效率。
2. 表达式求值：通过构建表达式二叉树，可以方便地对数学表达式进行求值。例如，对于表达式“(3 + 4) * 2”，可以构建相应的二叉树来进行计算。
3. 文件系统目录结构：可以用二叉树来模拟文件系统的目录结构，根节点表示根目录，子节点表示子目录或文件，方便进行文件管理和查找。
4. ⽂件系统管理（⽬录和⽂件）

四：二叉树的重点

4.1概念

⼀棵⼆叉树是结点的⼀个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 或者是由⼀个根节点加上两棵别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成

从上图可以看出： 1. ⼆叉树不存在度⼤于2的结点 2. ⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒，因此⼆叉树是有序树 注意：对于任意的⼆叉树都是由以下⼏种情况复合⽽成的：

4.2大自然的一些奇观

4.3两种特殊的⼆叉树

1. 满⼆叉树: ⼀棵⼆叉树，如果每层的结点数都达到最⼤值，则这棵⼆叉树就是满⼆叉树。也就是 说，如果⼀棵⼆叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满⼆叉树。
2. 完全⼆叉树: 完全⼆叉树是效率很⾼的数据结构，完全⼆叉树是由满⼆叉树⽽引出来的。对于深度 为K的，有n个结点的⼆叉树，当且仅当其每⼀个结点都与深度为K的满⼆叉树中编号从0⾄n-1的结 点⼀ 对应时称之为完全⼆叉树。 要注意的是满⼆叉树是⼀种特殊的完全⼆叉树。

4.4二叉树的一些性质

1. 若规定根结点的层数为1，则⼀棵⾮空⼆叉树的第i层上最多有(i>0)个结点 2. 若规定只有根结点的⼆叉树的深度为1，则深度为K的⼆叉树的最⼤结点数是(k>=0) 3. 对任何⼀棵⼆叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的⾮叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1 4. 具有n个结点的完全⼆叉树的深度k为上取整 5. 对于具有n个结点的完全⼆叉树，如果按照从上⾄下从左⾄右的顺序对所有节点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有： ◦ 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，⽆双亲结点 ◦ 若2i+1<n，左孩⼦序号：2i+1，否则⽆左孩⼦ ◦ 若2i+2<n，右孩⼦序号：2i+2，否则⽆右孩⼦ 下面一些题目为例：

1. 某⼆叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该⼆叉树中的叶⼦结点数为（ ） A 不存在这样的⼆叉树 B 200 C 198 D 199 答案：B

2.在具有 2n 个结点的完全⼆叉树中，叶⼦结点个数为（ ） A n B n+1 C n-1 D n/2 答案：A

3.⼀个具有767个节点的完全⼆叉树，其叶⼦节点个数为（） A 383 B 384 C 385 D 386 答案：B

4.⼀棵完全⼆叉树的节点数为531个，那么这棵树的⾼度为（ ） A 11 B 10 C 8 D 12 答案：B

五：总结

Java二叉树就像代码世界里的神奇魔法棒，通过巧妙地构建和操作树形结构，为我们解决各种复杂的编程问题提供了有力的工具。无论是高效的搜索算法，还是复杂的表达式求值，二叉树都展现出了其独特的魅力和强大的功能。希望通过本文的介绍和代码示例，你能对Java二叉树有更深入的理解和认识，在编程的道路上运用这神奇的树形魔法创造出更多精彩的代码。 可以已经准备好进一步探索二叉树的更多高级特性和应用，比如平衡二叉树、红黑树等，它们将为你的编程技能库增添更多强大的武器。