【现代深度学习技术】注意力机制02：注意力汇聚：Nadaraya-Watson核回归

Francek Chen

发布于 2025-05-08 11:25:43

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深度学习 (DL, Deep Learning) 特指基于深层神经网络模型和方法的机器学习。它是在统计机器学习、人工神经网络等算法模型基础上，结合当代大数据和大算力的发展而发展出来的。深度学习最重要的技术特征是具有自动提取特征的能力。神经网络算法、算力和数据是开展深度学习的三要素。深度学习在计算机视觉、自然语言处理、多模态数据分析、科学探索等领域都取得了很多成果。本专栏介绍基于PyTorch的深度学习算法实现。【GitCode】专栏资源保存在我的GitCode仓库：https://gitcode.com/Morse_Chen/PyTorch_deep_learning。

上节介绍了框架下的注意力机制的主要成分：查询（自主提示）和键（非自主提示）之间的交互形成了注意力汇聚；注意力汇聚有选择地聚合了值（感官输入）以生成最终的输出。本节将介绍注意力汇聚的更多细节，以便从宏观上了解注意力机制在实践中的运作方式。具体来说，1964年提出的Nadaraya-Watson核回归模型是一个简单但完整的例子，可以用于演示具有注意力机制的机器学习。

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

一、生成数据集

简单起见，考虑下面这个回归问题：给定的成对的“输入-输出”数据集

\{(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)\}

，如何学习

来预测任意新输入

的输出

\hat{y} = f(x)

？

根据下面的非线性函数生成一个人工数据集，其中加入的噪声项为

\epsilon

：

y_i = 2\sin(x_i) + x_i^{0.8} + \epsilon \tag{1}

其中，

\epsilon

服从均值为

和标准差为

0.5

的正态分布。在这里生成了

个训练样本和

个测试样本。为了更好地可视化之后的注意力模式，需要将训练样本进行排序。

n_train = 50  # 训练样本数
x_train, _ = torch.sort(torch.rand(n_train) * 5)   # 排序后的训练样本

def f(x):
    return 2 * torch.sin(x) + x**0.8

y_train = f(x_train) + torch.normal(0.0, 0.5, (n_train,))  # 训练样本的输出
x_test = torch.arange(0, 5, 0.1)  # 测试样本
y_truth = f(x_test)  # 测试样本的真实输出
n_test = len(x_test)  # 测试样本数
n_test

下面的函数将绘制所有的训练样本（样本由圆圈表示），不带噪声项的真实数据生成函数

（标记为'Truth'），以及学习得到的预测函数（标记为'Pred'）。

def plot_kernel_reg(y_hat):
    d2l.plot(x_test, [y_truth, y_hat], 'x', 'y', legend=['Truth', 'Pred'], xlim=[0, 5], ylim=[-1, 5])
    d2l.plt.plot(x_train, y_train, 'o', alpha=0.5);

二、平均汇聚

先使用最简单的估计器来解决回归问题。基于平均汇聚来计算所有训练样本输出值的平均值：

f(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i \tag{2}

如下图所示，这个估计器确实不够聪明。真实函数

（Truth）和预测函数（Pred）相差很大。

y_hat = torch.repeat_interleave(y_train.mean(), n_test)
plot_kernel_reg(y_hat)

三、非参数注意力汇聚

显然，平均汇聚忽略了输入

x_i

。于是Nadaraya和Watson提出了一个更好的想法，根据输入的位置对输出

y_i

进行加权：

f(x) = \sum_{i=1}^n \frac{K(x - x_i)}{\sum_{j=1}^n K(x - x_j)} y_i \tag{3}

其中

是核（kernel）。公式(3)所描述的估计器被称为Nadaraya-Watson核回归（Nadaraya-Watson kernel regression）。这里不会深入讨论核函数的细节，但受此启发，我们可以从注意力提示图3中的注意力机制框架的角度重写公式(3)，成为一个更加通用的注意力汇聚（attention pooling）公式：

f(x) = \sum_{i=1}^n \alpha(x, x_i) y_i \tag{4}

其中，

是查询，

(x_i, y_i)

是键值对。比较公式(2)和公式(4)，公式(4)中的注意力汇聚是

y_i

的加权平均。将查询

和键

x_i

之间的关系建模为注意力权重（attention weight）

\alpha(x, x_i)

，这个权重将被分配给每一个对应值

y_i

。对于任何查询，模型在所有键值对注意力权重都是一个有效的概率分布：它们是非负的，并且总和为1。

为了更好地理解注意力汇聚，下面考虑一个高斯核（Gaussian kernel），其定义为：

K(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(-\frac{u^2}{2}) \tag{5}

将高斯核代入公式(4)和公式(3)可以得到：

\begin{aligned} f(x) &=\sum_{i=1}^n \alpha(x, x_i) y_i\\ &= \sum_{i=1}^n \frac{\exp\left(-\frac{1}{2}(x - x_i)^2\right)}{\sum_{j=1}^n \exp\left(-\frac{1}{2}(x - x_j)^2\right)} y_i \\&= \sum_{i=1}^n \mathrm{softmax}\left(-\frac{1}{2}(x - x_i)^2\right) y_i \end{aligned} \tag{6}

在公式(6)中，如果一个键

x_i

越是接近给定的查询

，那么分配给这个键对应值

y_i

的注意力权重就会越大，也就“获得了更多的注意力”。

值得注意的是，Nadaraya-Watson核回归是一个非参数模型。因此，公式(6)是非参数的注意力汇聚（nonparametric attention pooling）模型。接下来，我们将基于这个非参数的注意力汇聚模型来绘制预测结果。从绘制的结果会发现新的模型预测线是平滑的，并且比平均汇聚的预测更接近真实。

# X_repeat的形状:(n_test,n_train),
# 每一行都包含着相同的测试输入（例如：同样的查询）
X_repeat = x_test.repeat_interleave(n_train).reshape((-1, n_train))
# x_train包含着键。attention_weights的形状：(n_test,n_train),
# 每一行都包含着要在给定的每个查询的值（y_train）之间分配的注意力权重
attention_weights = nn.functional.softmax(-(X_repeat - x_train)**2 / 2, dim=1)
# y_hat的每个元素都是值的加权平均值，其中的权重是注意力权重
y_hat = torch.matmul(attention_weights, y_train)
plot_kernel_reg(y_hat)

现在来观察注意力的权重。这里测试数据的输入相当于查询，而训练数据的输入相当于键。因为两个输入都是经过排序的，因此由观察可知“查询-键”对越接近，注意力汇聚的注意力权重就越高。

d2l.show_heatmaps(attention_weights.unsqueeze(0).unsqueeze(0),
                  xlabel='Sorted training inputs',
                  ylabel='Sorted testing inputs')

四、带参数注意力汇聚

非参数的Nadaraya-Watson核回归具有一致性（consistency）的优点：如果有足够的数据，此模型会收敛到最优结果。尽管如此，我们还是可以轻松地将可学习的参数集成到注意力汇聚中。

例如，与公式(6)略有不同，在下面的查询

和键

x_i

之间的距离乘以可学习参数

：

\begin{aligned}f(x) &= \sum_{i=1}^n \alpha(x, x_i) y_i \\&= \sum_{i=1}^n \frac{\exp\left(-\frac{1}{2}((x - x_i)w)^2\right)}{\sum_{j=1}^n \exp\left(-\frac{1}{2}((x - x_j)w)^2\right)} y_i \\&= \sum_{i=1}^n \mathrm{softmax}\left(-\frac{1}{2}((x - x_i)w)^2\right) y_i\end{aligned}\tag{7}

本节的余下部分将通过训练这个模型公式(7)来学习注意力汇聚的参数。

（一）批量矩阵乘法

为了更有效地计算小批量数据的注意力，我们可以利用深度学习开发框架中提供的批量矩阵乘法。

假设第一个小批量数据包含

个矩阵

\mathbf{X}_1,\ldots, \mathbf{X}_n

，形状为

a\times b

，第二个小批量包含

个矩阵

\mathbf{Y}_1, \ldots, \mathbf{Y}_n

，形状为

b\times c

。它们的批量矩阵乘法得到

个矩阵

\mathbf{X}_1\mathbf{Y}_1, \ldots, \mathbf{X}_n\mathbf{Y}_n

，形状为

a\times c

。因此，假定两个张量的形状分别是

(n,a,b)

和

(n,b,c)

，它们的批量矩阵乘法输出的形状为

(n,a,c)

。

X = torch.ones((2, 1, 4))
Y = torch.ones((2, 4, 6))
torch.bmm(X, Y).shape

在注意力机制的背景中，我们可以使用小批量矩阵乘法来计算小批量数据中的加权平均值。

weights = torch.ones((2, 10)) * 0.1
values = torch.arange(20.0).reshape((2, 10))
torch.bmm(weights.unsqueeze(1), values.unsqueeze(-1))

（二）定义模型

基于式(7)中的带参数的注意力汇聚，使用小批量矩阵乘法，定义Nadaraya-Watson核回归的带参数版本为：

class NWKernelRegression(nn.Module):
    def __init__(self, **kwargs):
        super().__init__(**kwargs)
        self.w = nn.Parameter(torch.rand((1,), requires_grad=True))

    def forward(self, queries, keys, values):
        # queries和attention_weights的形状为(查询个数，“键－值”对个数)
        queries = queries.repeat_interleave(keys.shape[1]).reshape((-1, keys.shape[1]))
        self.attention_weights = nn.functional.softmax(
            -((queries - keys) * self.w)**2 / 2, dim=1)
        # values的形状为(查询个数，“键－值”对个数)
        return torch.bmm(self.attention_weights.unsqueeze(1), values.unsqueeze(-1)).reshape(-1)

（三）训练

接下来，将训练数据集变换为键和值用于训练注意力模型。在带参数的注意力汇聚模型中，任何一个训练样本的输入都会和除自己以外的所有训练样本的“键-值”对进行计算，从而得到其对应的预测输出。

# X_tile的形状:(n_train，n_train)，每一行都包含着相同的训练输入
X_tile = x_train.repeat((n_train, 1))
# Y_tile的形状:(n_train，n_train)，每一行都包含着相同的训练输出
Y_tile = y_train.repeat((n_train, 1))
# keys的形状:('n_train'，'n_train'-1)
keys = X_tile[(1 - torch.eye(n_train)).type(torch.bool)].reshape((n_train, -1))
# values的形状:('n_train'，'n_train'-1)
values = Y_tile[(1 - torch.eye(n_train)).type(torch.bool)].reshape((n_train, -1))

训练带参数的注意力汇聚模型时，使用平方损失函数和随机梯度下降。

net = NWKernelRegression()
loss = nn.MSELoss(reduction='none')
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)
animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', xlim=[1, 5])

for epoch in range(5):
    trainer.zero_grad()
    l = loss(net(x_train, keys, values), y_train)
    l.sum().backward()
    trainer.step()
    print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(l.sum()):.6f}')
    animator.add(epoch + 1, float(l.sum()))

如下所示，训练完带参数的注意力汇聚模型后可以发现：在尝试拟合带噪声的训练数据时，预测结果绘制的线不如之前非参数模型的平滑。

# keys的形状:(n_test，n_train)，每一行包含着相同的训练输入（例如，相同的键）
keys = x_train.repeat((n_test, 1))
# value的形状:(n_test，n_train)
values = y_train.repeat((n_test, 1))
y_hat = net(x_test, keys, values).unsqueeze(1).detach()
plot_kernel_reg(y_hat)

为什么新的模型更不平滑了呢？下面看一下输出结果的绘制图：与非参数的注意力汇聚模型相比，带参数的模型加入可学习的参数后，曲线在注意力权重较大的区域变得更不平滑。

d2l.show_heatmaps(net.attention_weights.unsqueeze(0).unsqueeze(0),
                  xlabel='Sorted training inputs',
                  ylabel='Sorted testing inputs')