海涅定理（Heine 定理）

云深无际

发布于 2025-06-08 16:49:45

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云深之无迹

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海涅定理（Heine 定理）是实分析中连接函数极限与数列极限的重要桥梁。它的核心思想是：

函数在一点的极限存在，当且仅当所有以该点为极限的数列，函数值也趋于相同的极限。

海涅定理的正式表述（Heine 定理）

设函数在去心邻域内有定义，则：

当且仅当满足都有

换句话说：

函数在点的极限等于，等价于：对所有趋近于 的数列，函数值的极限都趋于。

因为无法直接用“点”来靠近极限，所以试图“用一个个数列逼近它”。

如果所有这样的逼近（不管从左、从右、快速逼近还是慢慢靠近）**最后都把函数值逼近同一个数 **，那就说。

如果有一个数列靠近，但函数值却不趋近，那就否定函数在该点的极限为。

用途一：数列检验函数极限的存在性

用来判别极限是否存在：只要你能找到两个趋于的数列和，使得：

就可以断定：不存在

用途二：函数极限定义等价于数列极限

好像就是算题了

证明不存在

设

设；

所以，由海涅定理，函数极限不存在。

本质	函数极限 ⇄ 数列极限的等价性
正向	若函数极限存在，则所有趋近该点的数列对应函数值极限相同
逆向	若存在两个趋于该点的数列，函数值极限不同 ⇒ 函数极限不存在

模拟了海涅定理的一个典型场景

背景灰色曲线是函数，在附近剧烈震荡，没有极限。

蓝色圆点是数列对应的函数值，趋近于 0；红色圆点是数列对应的函数值，趋近于 1。

由于这两个数列都趋近于 0，但函数值趋向不同 ⇒ 函数在处极限不存在，正是海涅定理的逆否命题应用

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 函数定义：sin(1/x)
def f(x):
    return np.sin(1 / x)

# 构造两个数列趋近于 0
n = np.arange(1, 200)
x1 = 1 / (np.pi * n)             # 数列1: 使 sin(1/x) → 0
x2 = 1 / (np.pi * n + np.pi/2)   # 数列2: 使 sin(1/x) → 1

# 函数值
y1 = f(x1)
y2 = f(x2)

# 画图
plt.figure(figsize=(10, 6))

# 显示原函数在小范围内的图像（用于参考）
x_dense = np.linspace(0.01, 0.2, 1000)
plt.plot(x_dense, f(x_dense), color='lightgray', label=r'$f(x) = \sin(1/x)$ 背景参考')

# 绘制两个子数列的函数值点
plt.plot(x1, y1, 'bo', label=r'$x_n = 1/(n\pi) \Rightarrow f(x_n) \to 0$')
plt.plot(x2, y2, 'ro', label=r'$x_n = 1/(n\pi + \pi/2) \Rightarrow f(x_n) \to 1$')

plt.axhline(0, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.8)
plt.axhline(1, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.8)

plt.xlabel('x (趋于 0)')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title(r"数列趋近 $x \to 0$ 时 $\sin(1/x)$ 的不同极限行为（海涅定理演示）")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自微信公众号。

原始发表：2025-05-28，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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