衰减包络：对高频成分的整体衰减能力

云深无际

发布于 2025-07-24 09:32:15

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在讨论 Σ-Δ ADC 或数字滤波器时，“衰减包络（attenuation envelope）” 是一个描述滤波器整体抑制趋势的术语，特别是对高频（噪声）成分的整体衰减能力。

衰减包络描述的是滤波器频率响应中，随频率增加，信号幅度下降的“包络曲线”，通常以 dB/decade 为单位。

我们以 Sinc 滤波器 为例（SincN = (sin(πf)/(πf))ⁿ）：

Sinc1：

Sinc2：

Sinc3：

这就是频域中的衰减包络：它不是每个点的精确响应，而是频率-幅度整体衰减趋势的斜率上界。

对 FIR 滤波器来说：

虽然 FIR 的频率响应是通过窗函数窗化理想频响构建的（非解析函数），但它的 主瓣-旁瓣结构 也能定义一个类似“包络”的趋势：

找个图

项目	描述
主瓣	接近直通，影响通带带宽
旁瓣包络	控制阻带衰减趋势
阶数越高	主瓣越窄，旁瓣越多，但整体包络更陡峭

数学表达（Sinc 滤波器）：

SincN 滤波器的频率响应：

在阻带内近似为：

衰减包络斜率

做一个对比

展示了在对数频率轴下，FIR 滤波器与 Sinc³ 滤波器的频响衰减趋势和理论包络线对比：

蓝线：FIR 滤波器响应

在截止频率后迅速衰减；后续为一系列旁瓣，但整体下降不如 Sinc³ 规则

橙线：Sinc³ 滤波器响应

呈现非常规律的下降趋势；峰谷周期性出现，零点衰减非常快

黑虚线：理论衰减包络（-60 dB/dec）

对应 Sinc³ 的理论斜率；可见 Sinc³ 响应严格受控于该包络，具有典型整形特征。

FIR 滤波器的阻带衰减依赖窗函数和阶数，不一定严格遵循某个斜率

Sinc³ 滤波器具有非常规则的频域行为，且其衰减趋势完全符合理论 -60 dB/dec

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import freqz, firwin

# 设置参数
numtaps = 101  # FIR 滤波器阶数
cutoff = 0.1   # 归一化截止频率
fs = 1.0       # 归一化频率（Nyquist = 0.5）

# 构造 FIR 和 Sinc3 滤波器
fir_filter = firwin(numtaps, cutoff)
w_fir, h_fir = freqz(fir_filter, worN=2048, fs=fs)

# 构造 Sinc3 响应（用 sinc(f)^3 表示，f 为归一化频率）
f_sinc = np.logspace(-2.5, 0, 1000, base=10)  # 10^-2.5 到 1
sinc3_response = (np.sinc(f_sinc))**3

# 计算包络线理论斜率（Sinc3 理论为 -60 dB/dec）
sinc3_envelope = -60 * np.log10(f_sinc / f_sinc[0])  # 起点为0 dB

# 绘图
plt.figure(figsize=(10, 6))

# FIR 频响（对数频率轴）
plt.semilogx(w_fir, 20 * np.log10(np.abs(h_fir) + 1e-12), label="FIR Filter", linewidth=2)

# Sinc3 响应
plt.semilogx(f_sinc, 20 * np.log10(sinc3_response + 1e-12), label="Sinc3", linewidth=2)

# Sinc3 衰减包络线（理论）
plt.semilogx(f_sinc, sinc3_envelope, '--', label="Sinc3 Envelope (-60 dB/dec)", color='black')

# 图形设置
plt.title("Attenuation Envelope: FIR vs Sinc3 (Log Frequency Scale)")
plt.xlabel("Normalized Frequency (log scale)")
plt.ylabel("Magnitude (dB)")
plt.ylim([-120, 5])
plt.grid(True, which='both')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

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原始发表：2025-07-21，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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