傅里叶神经算子的场论分析与临界性研究

傅里叶神经算子通过有效场论的分析

傅里叶神经算子（FNO）已成为高维偏微分方程的主要代理模型，但其稳定性、泛化能力和频率行为缺乏原理性解释。本研究首次在无限维函数空间中对FNO进行系统性的有效场论分析，推导出层核和四顶点的闭合递推关系，并考察三种实际重要场景：解析激活函数、尺度不变情况以及带有残差连接的架构。

理论分析表明，非线性激活会不可避免地将频率输入耦合到高频模式（这些模式在频谱截断中通常被丢弃），实验证实了这种频率传递现象。针对宽网络，研究获得了权重初始化集合的显式临界条件，使小输入扰动在深度方向上保持均匀尺度，实证测试验证了这些预测。

综合来看，本研究结果量化了非线性如何使神经算子捕获非平凡特征，通过临界性分析为超参数选择提供准则，并解释了为何尺度不变激活函数和残差连接能增强FNO中的特征学习能力。

研究信息

• 篇幅：37页，含10张图表
• 研究领域：机器学习（cs.LG）、人工智能（cs.AI）
• 文献编号：arXiv:2507.21833
• 提交日期：2025年7月29日