数据结构青铜到王者第九话---二叉树（1）

一、树型结构

1、概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

（1）有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

（2）除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

（3）树是递归定义的。

#注：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2、树概念（重要！！！）

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6

树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6

叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点

双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点

孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点

根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点

兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙

森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

3、树的表示形式

其实，树的表示方式和我们前面介绍到的链表很像：

对于链表来说：

（1）有一个专门的类，存放头结点，然后每保存一个节点next即可；

（2）只要拿到头结点，后续的节点就可以一 一拿到。

对于树来说：

（1）有一个专门的类，存放多个结点（接下来的不同的表示方式存不同的结点）

（2）只要拿到根结点，后续的的节点就可以一 一拿到。

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。

3.1双亲表示法

//保存当前节点和他的父节点
class Node{
    String val;
    Node parent;
}

双亲表示法我们一般不会使用。因为我们可以通过这种表示方法拿到根节点，但是无法知道其他的所有节点。也就是说只有在特定的场景下才会用这样的解决方案！！！

3.2孩子表示法

//保存当前结点和他的子结点
class Node{
    String val;
    List<Node> children;
}

这是我们最常用到的表示方法，在拿到根节点之后我们也就可以逐步拿到所有有的子节点

3.3孩子双亲表示法

//保存当前结点以及当前结点的孩子节点和双亲节点
class Node{
    String val;
    List<Node> children;
    Node parent;
}

这也是我们比较常用的表示方法之一

3.4孩子兄弟表示法

//保存当前结点以及当前结点的一个孩子节点和兄弟节点
class Node{
    String val;
    Node firstChidren;
    List<Node> brotherNodes;
}

4、树的应用

最常见的树的应用就是我们计算机的文件系统管理（目录以及文件）

如上述的路径，这也就是树的一支：

若是将所有的目录和文件都放到一起，旧车为了一颗完整的树！！！

二、二叉树（重点！！！）

1、概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

（1）或者为空

（2）或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

（1）二叉树不存在度大于2的结点

（2）二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

#注：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

自然奇观：

2、两种特殊的二叉树

2.1 满二叉树:

一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是（2^k）-1，则它就是满二叉树。

2.2 完全二叉树:

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一 一对应时称之为完全二叉树。

#注：满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3、二叉树的性质

（1）若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) (i>0)个结点

（2）若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是（2^k）-1 (k>=0)

（3）对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

（4）具有n个结点的完全二叉树的深度k为log(n+1)上取整

（5）对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点

若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

3.1相关练习

#注：这可能是学校考试的重点，但不是面试重点！！！

答案讲解：

4、二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val;        // 数据域
    Node left;      // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right;     // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val;        // 数据域
    Node left;      // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right;     // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent;    // 当前节点的根节点
}

由于内容较多，会分为多篇讲解，预知后续内容，请看后续博客！！！