函数的递归

一、递归的含义

递归其实是⼀种解决问题的⽅法，在C语⾔中，递归就是函数⾃⼰调⽤⾃⼰。

我们可以用一个简单的C语言递归代码：

 #include <stdio.h>
 
 int main()
 {
     printf("hehe\n");
     main();//main函数中⼜调⽤了main函数 
     return 0;
 }

这就是一个简单的递归程序，程序在运行的过程中，经过main（）会进入并开启下一轮的执行，不过这里只是为了演示递归，这个代码里面由于没有任何限制条件让它停下来，程序会陷入死循环，导致栈溢出。（储存空间有限，被占满后溢出）

1.递归的思想

把⼀个⼤型复杂问题层层转化为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的⼦问题来求解；直到⼦问题不能再被拆分，递归就结束了。所以递归的思考⽅式就是把⼤事化⼩的过程。

递归中的递就是递推的意思，归就是回归的意思，接下来慢慢来体会。

2.递归的限制条件

递归在书写的时候，有2个必要条件：

（1）递归存在限制条件，当满⾜这个限制条件的时候，递归便不再继续。

（2）每次递归调⽤之后越来越接近这个限制条件。

二、递归的举例

1.求n的阶乘

（⼀个正整数的阶乘（factorial）是所有⼩于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。 ⾃然数n的阶乘写作n!）

题⽬：计算n的阶乘（不考虑溢出），n的阶乘就是1~n的数字累积相乘。

1.1分析并实现代码

n的阶乘的公式： n ！ = n∗(n−1)!

举例：
     5! = 5*4*3*2*1
     4! = 4*3*2*1 
所以:5! = 5*4!

从这个公式不难看出：如何把⼀个较⼤的问题，转换为⼀个与原问题相似，但规模较⼩的问题来求解的。

n的阶乘和n-1的阶乘是相似的问题，但是规模要少了n。有⼀种有特殊情况是：当n==0 的时候，n的阶乘是1，⽽其余n的阶乘都是可以通过上⾯的公式计算。

那我们就可以写出函数Fact求n的阶乘，假设Fact(n)就是求n的阶乘，那么Fact(n-1)就是求n-1的阶 乘，于是我们可以得到这样的代码：

 #include <stdio.h>
 int Fact(int n)
 {
     if(n==0)
         return 1;
     else
         return n*Fact(n-1);
 }

 int main()
 {
     int n = 0;
     scanf("%d", &n);
     int ret = Fact(n);
     printf("%d\n", ret);
     return 0;
 }

运行发现，这个代码是符合我们的要求的（这里不考虑n太大的情况，n太大存在溢出）

1.2绘图分析

代码从左侧开始，沿着实线方向进行

2.顺序打印整数的每一位

输⼊⼀个整数m，按照顺序打印整数的每⼀位。

⽐如：

输⼊：1234 输出：1234

输⼊：520 输出：520

2.1分析和实现代码

如果n是⼀位数，n的每⼀位就是n⾃⼰

n是超过1位数的话，就得拆分每⼀位

（这里就不过多的解释了，不懂的可以看一下我之前的博客（三种循环），和里面讲到的逆序打印是类似的，只是多了一个递归）

 void Print(int n)
 {
     if(n>9)
     {
         Print(n/10);
     }
     printf("%d ", n%10);
 }

 int main()
 {
     int m = 0;
     scanf("%d", &m);
     Print(m);
     return 0;
 }

输入和输出结果：

在这个解题的过程中，我们就是使⽤了⼤事化⼩的思路

把Print(1234) 打印1234每⼀位，拆解为⾸先Print(123)打印123的每⼀位，再打印得到的4

把Print(123) 打印123每⼀位，拆解为⾸先Print(12)打印12的每⼀位，再打印得到的3

直到Print打印的是⼀位数，直接打印就⾏。

三、递归与迭代

递归是⼀种很好的编程技巧，但是和很多技巧⼀样，也是可能被误⽤的，就像举例1⼀样，看到推导的公式，很容易就被写成递归的形式，但是在递归函数调用的过程中会涉及到一些运行时的开销。

在C语⾔中每⼀次函数调⽤，都需要为本次函数调⽤在内存的栈区，申请⼀块内存空间来保存函数调 ⽤期间的各种局部变量的值，这块空间被称为运⾏时堆栈，或者函数栈帧。

函数不返回，函数对应的栈帧空间就⼀直占⽤，所以如果函数调⽤中存在递归调⽤的话，每⼀次递归 函数调⽤都会开辟属于⾃⼰的栈帧空间，直到函数递归不再继续，开始回归，才逐层释放栈帧空间。 所以如果采⽤函数递归的⽅式完成代码，递归层次太深，就会浪费太多的栈帧空间，也可能引起栈溢 出（stackoverflow）的问题。

（函数栈帧后面也会有专门的博客讲到）

所以如果不想使⽤递归，就得想其他的办法，通常就是迭代的⽅式（通常就是循环的⽅式）。

⽐如：计算n的阶乘，也是可以产⽣1~n的数字累计乘在⼀起的。

 int Fact(int n)
 {
     int i = 0;
     int ret = 1;
     for(i = 1; i <= n; i++)
     {
         ret *= i;
     }
     return ret;
 }

上述代码是能够完成任务，并且效率是⽐递归的⽅式更好的。

事实上，我们看到的许多问题是以递归的形式进⾏解释的，这只是因为它⽐⾮递归的形式更加清晰， 但是这些问题的迭代实现往往⽐递归实现效率更⾼。

当⼀个问题⾮常复杂，难以使⽤迭代的⽅式实现时，此时递归实现的简洁性便可以补偿它所带来的运 ⾏时开销。

例：求第n个斐波那契数

（斐波那契数列：第一、二个数都是1，其余数字都等于其前两数之和）

看到这公式，很容易诱导我们将代码写成递归的形式，如下所示：

 int Fib(int n)
 {
     if(n <= 2)
         return 1;
     else
         return Fib(n-1) + Fib(n-2);
 }

 #include <stdio.h>

 int main()
 {
     int n = 0;
     scanf("%d", &n);
     int ret = Fib(n);
     printf("%d\n", ret); 
     return 0;
 }

当我们输入的结果较小时，可以得到我们想要的答案，但是，如果我们输入50，可以发现需要很久才能算出结果（甚至几分钟）

如上图所示，仅仅是计算50就要耗费大量的时间和精力，这就说明了递归写法真的非常低效！！！

我们不妨在上面的代码中增加一点功能，看一下有多少冗余的计算：

#include <stdio.h>
int count = 0;
 
int Fib(int n)
 {
     if(n == 3)
         count++;//统计第3个斐波那契数被计算的次数 
     if(n<=2)
         return 1;
     else
         return Fib(n-1)+Fib(n-2);
 }

 int main()
 {
     int n = 0;
     scanf("%d", &n);
     int ret = Fib(n);
     printf("%d\n", ret); 
     printf("\ncount = %d\n", count);
     return 0;
 }

输出结果为（我们输入40）：

这⾥我们看到了，在计算第40个斐波那契数的时候，使⽤递归⽅式，第3个斐波那契数就被重复计算了 39088169次，这些计算是⾮常冗余的。所以斐波那契数的计算，使⽤递归是⾮常不明智的，我们就得 想迭代的⽅式解决。

 int Fib(int n)
 {
     int a = 1;
     int b = 1;
     int c = 1;
     while(n>2)
     {
         c = a+b;
         a = b;
         b = c;
         n--;
     }
     return c;
 }

迭代的⽅式去实现这个代码，效率就要⾼出很多了。

（由于编译器有着数据上限，所以输出错误很正常，但是它的运行速度极快！）

 有时候，递归虽好，但是也会引⼊⼀些问题，所以我们⼀定不要迷恋递归，适可⽽⽌就好。

拓展学习：

（1）⻘蛙跳台阶问题

（2）汉诺塔问题

以上2个问题都可以使⽤递归很好的解决，有兴趣可以研究。

（当然，也可以看我后面的博客！！！）