# 人工智能之数学基础 概率论与统计

第二章 核心定理

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# 前言

概率论中的三大核心定理——**贝叶斯定理（Bayes' Theorem）**、**大数定律（Law of Large Numbers）** 和 **中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）**——构成了现代统计推断、机器学习和数据科学的理论基石。本文将深入讲解这些定理的**数学含义、直观解释、应用场景**，并提供完整的 **Python 代码实现与可视化验证**。

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# 一、贝叶斯定理（Bayes' Theorem）

## 1. 定理陈述

对于两个事件 $ A $ 和 $B $，若 $P(B) > 0 $，则：

$$
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}
$$

在参数估计中，常写作：

$$
\text{后验} = \frac{\text{似然} \times \text{先验}}{\text{证据}}
\quad \Rightarrow \quad
P(\theta \mid \mathcal{D}) = \frac{P(\mathcal{D} \mid \theta) P(\theta)}{P(\mathcal{D})}
$$

其中：

- $P(\theta) $：**先验**（Prior）— 对参数的初始信念
- $P(\mathcal{D} \mid \theta) $：**似然**（Likelihood）— 在参数下观测数据的概率
- $ P(\theta \mid \mathcal{D}) $：**后验**（Posterior）— 观测数据后对参数的更新信念
- $ P(\mathcal{D}) = \int P(\mathcal{D} \mid \theta) P(\theta) d\theta $：**边缘似然/证据**（Evidence）

> ✅ 贝叶斯定理实现了**从“原因→结果”到“结果→原因”的推理逆转**。

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## 2. 直观例子：疾病检测

- 某病患病率：$P(\text{病}) = 0.001 $
- 检测准确率：
  - $P(\text{阳性} \mid \text{病}) = 0.99 $（真阳性）
  - $ P(\text{阳性} \mid \text{健康}) = 0.02 $（假阳性）

问：若检测为阳性，实际患病的概率？

$$
P(\text{病} \mid \text{阳性}) = \frac{0.99 \times 0.001}{0.99 \times 0.001 + 0.02 \times 0.999} \approx 0.047
$$

> 即使检测“很准”，由于疾病罕见，**阳性结果大概率是假阳性**！

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## 3. Python 实现：贝叶斯更新（Beta-Bernoulli 共轭）

假设我们抛硬币，想知道正面概率 $ \theta $。先验用 Beta 分布（共轭先验）。

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import beta, binom

# 先验：Beta(α=1, β=1) → 均匀分布
alpha_prior, beta_prior = 1, 1

# 模拟观测数据：10 次试验，7 次正面
n_trials, n_heads = 10, 7

# 后验参数（共轭性质）
alpha_post = alpha_prior + n_heads
beta_post = beta_prior + n_trials - n_heads

# 绘制先验 vs 后验
x = np.linspace(0, 1, 500)
prior_pdf = beta.pdf(x, alpha_prior, beta_prior)
posterior_pdf = beta.pdf(x, alpha_post, beta_post)

plt.plot(x, prior_pdf, 'r--', label=f'先验 Beta({alpha_prior}, {beta_prior})')
plt.plot(x, posterior_pdf, 'b-', label=f'后验 Beta({alpha_post}, {beta_post})')
plt.axvline(n_heads / n_trials, color='k', linestyle=':', label='MLE = 0.7')
plt.xlabel('θ (正面概率)')
plt.ylabel('密度')
plt.title('贝叶斯更新：硬币偏置估计')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

print(f"后验均值: {alpha_post / (alpha_post + beta_post):.3f}")
print(f"95% 置信区间: {beta.ppf([0.025, 0.975], alpha_post, beta_post)}")
```

> ✅ 随着数据增加，后验越来越集中，趋近于真实值。

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# 二、大数定律（Law of Large Numbers, LLN）

## 1. 定理陈述

设 $X_1, X_2, \dots, X_n $ 是独立同分布（i.i.d.）的随机变量，且 $ \mathbb{E}[X_i] = \mu $存在，则：

$$
\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow{a.s.} \mu \quad \text{（强大数定律）}
$$

$$
\bar{X}_n \xrightarrow{P} \mu \quad \text{（弱大数定律）}
$$


即：**样本均值依概率（或几乎必然）收敛于期望值**。

> 💡 直观：抛硬币次数越多，正面频率越接近 0.5。

---

## 2. Python 验证：模拟 LLN

```python
np.random.seed(42)
n_max = 10000

# 生成 i.i.d. 样本（指数分布，均值=2）
true_mean = 2
samples = np.random.exponential(scale=true_mean, size=n_max)

# 计算累积均值
cumulative_means = np.cumsum(samples) / np.arange(1, n_max + 1)

# 绘图
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(cumulative_means, label='样本均值')
plt.axhline(true_mean, color='r', linestyle='--', label=f'真实均值 μ={true_mean}')
plt.xlabel('样本数量 n')
plt.ylabel('累积均值')
plt.title('大数定律验证：指数分布（λ=0.5）')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
```

> 📉 可见：随着 $ n $ 增大，样本均值稳定收敛到理论均值。

---

# 三、中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）

## 1. 定理陈述

设 $ X_1, \dots, X_n $ 是 **独立同分布**（i.i.d.） 随机变量，$ \mathbb{E}[X_i] = \mu $，$ \text{Var}(X_i) = \sigma^2 < \infty $，则当 $n \to \infty $ 时：

$$
\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, 1)
$$

即：**无论原始分布如何，样本均值的标准化形式渐近服从标准正态分布**。

> ✅ 这是**t 检验、置信区间、A/B 测试**等方法的理论基础！

---

## 2. 直观理解

即使原始数据高度偏斜（如指数分布、泊松分布），只要样本量足够大，**均值的分布就近似正态**。

---

## 3. Python 验证：CLT 模拟

```python
import seaborn as sns

np.random.seed(0)
n_samples = 10000  # 模拟多少次“抽样”
n_obs = 50         # 每次抽多少个样本

# 从非正态分布（指数分布）抽样
sample_means = []
for _ in range(n_samples):
    sample = np.random.exponential(scale=2, size=n_obs)  # 均值=2
    sample_means.append(np.mean(sample))

sample_means = np.array(sample_means)

# 理论：均值 ~ N(μ, σ²/n)
mu = 2
sigma = 2  # 指数分布标准差 = 均值
theoretical_std = sigma / np.sqrt(n_obs)

# 绘图
plt.figure(figsize=(10, 5))
sns.histplot(sample_means, kde=True, stat='density', bins=50, alpha=0.6, label='样本均值分布')

# 叠加理论正态分布
x = np.linspace(sample_means.min(), sample_means.max(), 200)
theoretical_pdf = norm.pdf(x, loc=mu, scale=theoretical_std)
plt.plot(x, theoretical_pdf, 'r-', lw=2, label=f'理论 N(μ={mu}, σ={theoretical_std:.2f})')

plt.axvline(mu, color='k', linestyle='--', label='真实均值')
plt.xlabel('样本均值')
plt.ylabel('密度')
plt.title(f'中心极限定理验证（n={n_obs}）')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

print(f"样本均值均值: {sample_means.mean():.3f} (理论: {mu})")
print(f"样本均值标准差: {sample_means.std():.3f} (理论: {theoretical_std:.3f})")
```

> 📊 即使原始分布是右偏的指数分布，**均值的分布已非常接近正态**！

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# 四、三大定理对比总结

| 定理 | 核心思想 | 收敛类型 | 应用 |
|------|--------|--------|------|
| **贝叶斯定理** | 用数据更新信念 | — | 贝叶斯推断、垃圾邮件过滤、医学诊断 |
| **大数定律** | 样本均值 → 期望 | 依概率 / 几乎必然 | 蒙特卡洛积分、频率稳定性 |
| **中心极限定理** | 均值分布 → 正态 | 依分布 | 假设检验、置信区间、误差分析 |

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# 五、综合应用：A/B 测试中的 CLT 与贝叶斯

## 场景：比较两个网页版本的点击率

### 方法1：频率学派（基于 CLT）

```python
# 模拟 A/B 测试数据
n_A, n_B = 1000, 1000
clicks_A, clicks_B = 120, 150

p_A = clicks_A / n_A
p_B = clicks_B / n_B

# 标准误（SE）
SE = np.sqrt(p_A*(1-p_A)/n_A + p_B*(1-p_B)/n_B)

# z 统计量
z = (p_B - p_A) / SE
p_value = 2 * (1 - norm.cdf(abs(z)))

print(f"p_A = {p_A:.3f}, p_B = {p_B:.3f}")
print(f"z = {z:.2f}, p-value = {p_value:.4f}")
```

#### 方法2：贝叶斯（Beta-Bernoulli）

```python
# 先验 Beta(1,1)
alpha_A, beta_A = 1 + clicks_A, 1 + n_A - clicks_A
alpha_B, beta_B = 1 + clicks_B, 1 + n_B - clicks_B

# 蒙特卡洛模拟后验
samples_A = beta.rvs(alpha_A, beta_A, size=10000)
samples_B = beta.rvs(alpha_B, beta_B, size=10000)

prob_B_better = np.mean(samples_B > samples_A)
print(f"P(版本B更好 | 数据) = {prob_B_better:.4f}")
```

> ✅ 贝叶斯给出**直接的概率解释**，更符合直觉。

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# 六、结语

- **贝叶斯定理**：教你如何**理性更新信念**；
- **大数定律**：保证**长期频率稳定**；
- **中心极限定理**：赋予你**用正态分布近似复杂问题**的能力。


# 后续

python过渡项目部分代码已经上传至gitee，后续会逐步更新。

# 资料关注

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《Python编程：从入门到实践》
《利用Python进行数据分析》
《算法导论中文第三版》
《概率论与数理统计（第四版） (盛骤) 》
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《线性代数应该这样学第3版》
《微积分和数学分析引论》
《（西瓜书）周志华-机器学习》
《TensorFlow机器学习实战指南》
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《模式识别（第四版）》
《深度学习 deep learning》伊恩·古德费洛著 花书
《Python深度学习第二版(中文版)【纯文本】 (登封大数据 (Francois Choliet)) (Z-Library)》
《深入浅出神经网络与深度学习+(迈克尔·尼尔森（Michael+Nielsen）》
《自然语言处理综论  第2版》
《Natural-Language-Processing-with-PyTorch》
《计算机视觉-算法与应用(中文版)》
《Learning OpenCV 4》
《AIGC：智能创作时代》杜雨+&+张孜铭
《AIGC原理与实践：零基础学大语言模型、扩散模型和多模态模型》
《从零构建大语言模型（中文版）》
《实战AI大模型》
《AI 3.0》



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