关键牌找牌技术的数学原理——选前关键子串的牌叠序列模型（二）

上一篇我们对关键牌找牌技术的概念进行了基本的剖析，相关内容请戳：

关键牌找牌技术的数学原理——逻辑地位、框架模型和分类（一）

接着，我们从选前的牌叠性质开始，来看如何精彩地应用各种关键牌来找到观众的选牌吧！

选前牌叠序列模型

在数列模型的背景下，能算牌值的刚好就是通项公式和递推关系。而这两者都包含牌值的信息，即得要求满足这个关系的一大子串的扑克牌提前设置好，选择范围在其内，才有这么个关系成立。另外，这么一大串甚至是整叠扑克牌的关系会被轻易打乱，是没法给观众一开始洗牌甚至检查的；选后来用的问题更大，哪怕不给观众洗，你肯定也不指望凭空构造出这样的有数列公式的序列来，而且观众的选牌还刚好要放回到特定的地方，满足这个公式，更是画蛇添足，天方夜谭。

呵呵，我都知道它得放哪满足公式，那岂不是牌值都知道了，还放啥啊，直接猜呗！

因此，这条路径几乎只剩下一种勉强可行的策略，那就是提前设置好一大串甚至是全牌叠的全知序列，要背下来这一段的通项公式或（一阶）递推关系：

在给定的连续j的范围内：

v = f1((v.c.j - 1).c.v)

v = f2(v.c.j)

其中f1和f2分别称为（一阶）递推关系和通项公式，用数列公式表达更明白：

在给定的连续n的范围内：

a_n = f1(a_(n - 1))

a_n = f2(n)

如果这个关系是构建在环上则略有区别。首先其递推关系的索引+-1由自然数上的操作变为环上的mod+-1；接着就是能随意切牌了，因为它不改变牌环的任何相邻关系；而尤其是环上，还经常多出一条更常用的：

a_n = f3(n - m, a_m)

我称为齐次递推式，令m = 0就可以退化为通项公式。这么写要求序列是时齐的，即元素的值和在序列上的绝对位置无关，只和当前值和距离它的距离有关。（如果只有通项公式，两个值作差如果式子能写为差的函数，是时齐的充分不必要条件；而如果一阶的递推关系式存在，那么显然是时齐的，由(n - m)控制一阶递推的迭代次数就是了。）因此在使用时，一旦遇到相对距离的场景，它是比原通项公式更有效的选择。而在环和普通数列的区别也仅在于其上的减法要不要mod而已，其共性则是，已知任何一个元素的值，加上他们的距离值，就足以计算其值了。这里最神奇的是，m的值是不需要知道的，只需要相对距离(n - m)，这也是齐次的底层性质。当然，根据我们对等差和等比数列的定义来看，它们的齐次，是很显然的，本就不应该被绑定在仅能从首项出发写通项公式，其最原始的定义就来自相邻两项的关系，以及自然推导的任意同距离两项的关系。

当然要背哪一个取决于你的用法，如果你是用相邻位置的牌去计算，就是递推关系；如果是根据序列或环上的绝对位置或距离特定牌张的相对位置，那就是通项公式或时齐递推式。只要是递推相关的，构建在环上则可以切牌。不过背诵的问题倒是不用担心，无论是通项或者是递推，都会结合牌叠可检查的无规律性和好记来设置的。比如典型的Si Stebbins Stack，也包括同花顺的周期，26张的大周期等等，这些是全牌叠的序。而实在要简单到比如黑桃A-K的序，那就要牺牲点长度，以保证至少能局部检查。

当然还有终极武器memory deck，把一叠几乎看起来无死角无规律的牌叠背下来，包括其递推关系和通项公式各52条。当被切牌以后，递推关系不变。但通项公式则需要根据起点的变化作相应的一次加减运算来调整，倒是不必背C(52, 2)那么多种。不过我是不怎么用这玩意，除了有些数学性质的教学意义意外，这东西拿出来演的性价比也很低，准备都费劲半天，一辈子不知道够我几次去setting的。

顺便提一下，常见的花色混乱的1-k的牌序不是这里讲的全知序列，因为不知道花色的全部信息，我们也无法算出这些牌真的被抽走的值，它们的作用是一段数字序列，含有和索引常量相关的特征，是用来作为指引找别的牌用的，典型的就是巴格拉斯效果了，这个我们后面再提。

回到两个计算公式的使用。找好了原始好用好记的牌序后，接着就是按公式找值的问题。递推关系部分，我们关心的自然是其上一张牌的值，当然根据对称性，下一张也勉强可以，这里完全没必要搞二阶和以上公式，复杂且使用还费劲（Richard Osterlind的序列的数学价值也大于魔术吧！）。不过我们还得用各种各样的方法把我们看了其相邻张的信息抹掉，以让观众无法联想到这里。注意这里的结构一般都是建立在环上的，因此可以切牌，尤其是全局的递推关系；局部的话则因为一开始要控制选牌位置范围，因此一般在序列上的连续子串上，后续因为已经找到牌了，这里就暂时不关心了，但还有其他方法在后续要用到环上子串和子序列的性质。

通项公式部分的话，其实是比较难用的。因为哪怕是环上你找到了所谓的任意起点值，用时齐递推式，那距离要怎么获取呢？无非是一边发牌一边暗中数一下，喊停后再计算了，虽然可以这么做，但这个的性价比就确实不高了，直接找个相邻的，一个公式就直接搞定了。

不过有个简便的玩法，那就是直接给定顶部或底部，数出来多少张，直接用数列通项公式去算了。不过这个表演还是太单薄，需要一些魔术包装才行。

但是有个反向的用法这里还是想提一下，就是环上的时齐递推式本质上是两张给定距离序数的牌之间的关系公式（这一点要比数列灵活），那么我可以通过一张牌加距离得出另一张选牌。那反过来，也可以通过给定牌张反推距离，而距离的序数又可以转化为基数的数量，魔术的主题就可以改为是去感应数量了。

本系列不是讲这个，魔术部分就不放了，典型的有比如Si Stebbins Stack的《读透张数》、《加强版9的一眼识张数》、《A-K间隔张数感应》等等流程，这个都是基于通项公式来的。后面两个还是序列不循环的，但都是通项公式下搞定序数，再变为基数使用的。不过完成数量感应的还有一些比如《轻弹手指》等物理原理的流程和一些其他原理的，这些我们以后再开这种效果的主题来讲。