为什么计算等效噪声带宽计算时有π/2

云深无际

发布于 2026-01-07 12:59:24

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不知道有没有人发现，一开始的文章里面我计算带宽的时候是有带宽要乘 π/2”，其实是“等效噪声带宽 (Noise BandWidth, NBW)” 的核心概念。

理想 vs 实际滤波器

理想低通：如果滤波器在内增益=1，超过立即=0，那么噪声带宽 = 截止频率。

实际一阶 RC 滤波器：幅频响应不是砖墙，而是。它在高频仍有衰减，所以积分噪声时要考虑“尾巴”。

定义与推导

等效噪声带宽定义为：

对于一阶 RC：

积分：

所以：

物理含义

一阶 RC 滤波器的“噪声积分效果”相当于一个理想低通滤波器，其带宽不是，而是更宽：

也就是说：虽然 RC 的 -3 dB 截止在，但因为高频尾巴贡献了额外噪声，总噪声能量相当于理想低通再放宽 57%。

在文档里，增益级写的 NBW = 4 MHz × π/2 ≈ 6.3 MHz，就是这个公式来的；同理，buffer 带宽 70 MHz → NBW = 70 × π/2 ≈ 110 MHz；ADC 内部的数字滤波/采样电路如果更高阶，NBW 公式会变化（但一阶最常见）。

噪声带宽比截止频率大 π/2 倍，是因为一阶 RC 滤波器在高频还有衰减“尾巴”，积分噪声能量时不能忽略，所以等效成一个“比 f_c 宽 57%”的理想低通。

图中直观地解释了 为什么一阶 RC 的噪声带宽 = ：

蓝色曲线

，随频率逐渐衰减，形成“长尾”。

黄色矩形

理想低通，截止在，积分面积 = 1.0（归一化计算）。

绿色面积

一阶 RC 的积分面积 ≈ 1.375（数值计算结果）。

理论值

解析解 = ，比理想低通大 **57%**。

物理含义

对于噪声，重要的是 总能量 = ∫|H(f)|² df;RC 滤波器虽然在后开始衰减，但高频尾巴仍然贡献额外噪声;所以它的“等效噪声带宽”比理想低通 宽 π/2 倍,这就是为什么文档里所有 NBW 都写成“带宽 × π/2”。

# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义频率范围
f = np.linspace(0, 5, 1000)  # 归一化频率，单位：fc 倍数

# 理想低通滤波器（brick-wall）
H_ideal = np.where(f <= 1, 1, 0)

# 一阶RC滤波器的幅频响应平方 |H(f)|^2
H_RC = 1 / (1 + f**2)

# 积分计算面积
df = f[1] - f[0]
area_ideal = np.sum(H_ideal) * df
area_RC = np.sum(H_RC) * df

# 理论值
area_RC_theory = np.pi/2

plt.figure(figsize=(8,5))
plt.plot(f, H_ideal, label="理想低通 |H(f)|² (截止=fc)", lw=2)
plt.plot(f, H_RC, label="一阶RC |H(f)|²", lw=2)
plt.fill_between(f, 0, H_ideal, color='lightblue', alpha=0.5)
plt.fill_between(f, 0, H_RC, color='lightgreen', alpha=0.5)
plt.axvline(1, color='k', linestyle='--', alpha=0.7, label="fc (-3 dB点)")

plt.title("理想低通 vs 一阶RC 的噪声积分面积")
plt.xlabel("频率 f/fc (归一化)")
plt.ylabel("|H(f)|²")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

area_ideal, area_RC, area_RC_theory

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原始发表：2025-09-30，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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