自相关函数描述：信号和它自己延迟后的相似程度

上个文章里面有自相关函数的使用，但是如果一起出现就有点多了，可以单独的分出来说：「自相关函数（Autocorrelation Function）」。

“自相关函数描述的是：信号和它自己延迟后的相似程度。”

想象一下：

如果信号在不同时间点看起来几乎一样（周期信号），那它们“很相关”；反过来说完全不相似（纯噪声），那它们“几乎不相关”；所以自相关函数就是一种“时间相似性”的度量。（相似都说出来了）

数学定义

对于一个连续时间随机信号 ，定义：

其中：

若信号是实信号，则 一定是偶函数：

离散形式（数字信号）

对于离散信号 ：

若是有限长度样本（长度 N），常用估计式为：

这就是用数值方式计算自相关（在 Python、DSP、Matlab 中常见）。

特性

与功率谱密度（PSD）的关系

维纳–辛钦定理（刚刚讲过）：

也就是说：

时域的“相关性” → 频域的“能量分布”；如果相关时间短（R 快速衰减），频谱就宽；如果相关时间长（R 缓慢衰减），频谱就窄。

快速计算（FFT 方法）

在数字信号处理中：可以通过 FFT 快速计算自相关，先计算信号的傅里叶变换 ，得到功率谱 ，最后对其做逆FFT → 得到

即：

这在FPGA 实时谱仪中非常常用。

自相关函数 描述信号与自身延迟后的相似程度：在时域上揭示信号的平稳性、周期性和随机性；在频域上通过傅里叶变换对应功率谱密度（PSD）。

正弦波（蓝线）

自相关函数是一个余弦形波动曲线；周期与原信号相同（5 Hz → 周期约 0.2 s）；正弦波在延迟任意整数倍周期时都完全相关。

白噪声（橙线）

自相关函数在 τ = 0 处有一个尖峰，其余部分接近 0；表明噪声在不同时间点几乎完全不相关；这是“白噪声无记忆性”的直观体现；自相关函数 τ 衡量信号与自身延迟的相似程度：有规律（正弦） → R(τ) 周期性；无规律（白噪声） → R(τ) 仅在 τ=0 有值。