C++之二叉搜索树及其实现

用户11991900

发布于 2026-01-15 12:03:52

110

搜索二叉树（Binary Search Tree，简称BST）是一种基础且重要的数据结构，它在查找、插入和删除操作上具有高效性。本文将围绕搜索二叉树的原理，结合C++代码实现，深入探讨这一数据结构的核心特性与具体实现。

一.二叉搜索树的基本概念

二叉搜索树（Binary Search Tree，简称 BST）是一种特殊的二叉树，它满足以下性质：对于树中的每个节点，其左子树中所有节点的值都小于该节点的值对于树中的每个节点，其右子树中所有节点的值都大于该节点的值左右子树也分别是二叉搜索树这种特性使得二叉搜索树在查找、插入和删除操作上具有较高的效率，平均时间复杂度为 O (log n)。

二.二叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：log2 N 最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：N 所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)

⼆分查找也可以实现O(log2N) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。

这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

三.二叉搜索树的实现

搜索二叉树的基本概念与特性

搜索二叉树是一种特殊的二叉树，它满足以下性质：

若任意节点的左子树不为空，则左子树上所有节点的值均小于该节点的值
若任意节点的右子树不为空，则右子树上所有节点的值均大于该节点的值
任意节点的左、右子树也分别为搜索二叉树
没有键值相等的节点

这些性质使得搜索二叉树在进行查找操作时具有天然的优势，我们可以利用节点值的大小关系快速缩小查找范围，类似于有序数组的二分查找。

搜索二叉树的节点结构设计

首先来看搜索二叉树的节点结构实现：

template<class K>
struct BSTreeNode
{
	K _key;
	BSTNode<K>* _left;
	BSTNode<K>* _right;
	BSTNode(const K& key)
		:_key(key)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
	{
	}
};

_key：节点的关键字，用于比较和查找
_left：指向左子节点的指针
_right：指向右子节点的指针
构造函数：初始化节点的关键字，并将左右子节点指针置为nullptr

节点采用模板设计，使得该结构可以存储任意类型的数据，只要该类型支持比较运算。

搜索二叉树的类结构与核心操作

类的基本结构

template<class K>
class BSTree
{
	typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
	// 构造、拷贝构造、赋值运算符、析构函数
	BSTree() = default;
	BSTree(const BSTree<K>& t);
	BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t);
	~BSTree();
	
	// 核心操作
	bool Insert(const K& key);
	bool Find(const K& key);
	bool Erase(const K& key);
	
	// 中序遍历
	void InOrder();
private:
	// 中序遍历的递归辅助函数
	void _InOrder(Node* root);
	// 拷贝构造的递归辅助函数
	Node* Copy(Node* root);
	// 析构函数的递归辅助函数
	void Destory(Node* root);
private:
	Node* _root = nullptr;
};

构造与析构函数

默认构造函数：使用C++11的default关键字，生成默认的构造函数，将根节点初始化为nullptr
拷贝构造函数：通过递归调用Copy函数实现深拷贝，确保新对象与原对象相互独立
赋值运算符：采用"拷贝交换"技术，先创建传入对象的副本，然后交换当前对象与副本的根节点指针，保证异常安全性
析构函数：调用Destory函数递归释放所有节点的内存，防止内存泄漏

插入操作（Insert）

插入操作是构建搜索二叉树的基础，其实现逻辑如下：

bool Insert(const K& key)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else {
			return false; // 键值已存在，插入失败
		}
	}
	// 找到插入位置，创建新节点并连接到树中
	cur = new Node(key);
	if (parent->_key > key)
	{
		parent->_left = cur;
	}
	else
	{
		parent->_right = cur;
	}
	return true;
}

插入操作的步骤：

如果树为空，直接创建根节点
否则从根节点开始，比较当前节点值与插入值的大小：
- 若当前节点值小于插入值，向右转
- 若当前节点值大于插入值，向左转
- 若相等，说明键值已存在，插入失败
找到合适的插入位置（空指针处）后，创建新节点并连接到父节点

查找操作（Find）

查找是搜索二叉树的核心功能，利用树的特性可以高效地定位目标节点：

bool Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return true; // 找到目标节点
		}
	}
	return false; // 未找到目标节点
}

查找操作的逻辑非常直观，与插入操作类似：

从根节点开始，比较当前节点值与目标值
根据大小关系决定向左还是向右查找
若找到相等的值，返回true
若遍历完所有可能的节点仍未找到，返回false

删除操作（Erase）

删除操作是搜索二叉树中最复杂的操作，需要考虑多种情况：

bool Erase(const K& key)
{
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else {
			// 找到要删除的节点，处理不同情况
			if (cur->_left == nullptr)
			{
				// 情况1：左子树为空
				if (cur == _root)
				{
					_root = _root->_right;
				}
				if (parent->_right == cur)
				{
					parent->_right = cur->_right;
				}
				else
				{
					parent->_left = cur->_right;
				}
				delete cur;
			}
			else if(cur->_right == nullptr)
			{
				// 情况2：右子树为空
				if (cur == _root)
				{
					_root = _root->_left;
				}
				if (parent->_right == cur)
				{
					parent->_right = cur->_left;
				}
				else
				{
					parent->_left = cur->_left;
				}
				delete cur;
			}
			else
			{
				// 情况3：左右子树都不为空
				Node* pMinRight = cur;
				Node* minRight = cur->_right;
				while (minRight->_left)
				{
					pMinRight = minRight;
					minRight = minRight->_left;
				}
				// 找到右子树中的最小节点（最左节点）
				swap(minRight->_key, cur->_key);
				// 删除右子树中的最小节点
				if (pMinRight->_left == minRight)
				{
					pMinRight->_left = minRight->_right;
				}
				else
				{
					pMinRight->_right = minRight->_right;
				}
				delete minRight;
			}
			return true;
		}
	}
	return false; // 未找到要删除的节点
}

删除操作需要处理三种情况：

左子树为空：直接用右子树替换当前节点
右子树为空：直接用左子树替换当前节点
左右子树都不为空：
- 找到当前节点右子树中的最小节点（最左节点）
- 将该最小节点的值与当前节点的值交换
- 删除原来的最小节点（此时该节点最多只有一个右子树）

这种处理方式确保了删除节点后，搜索二叉树的性质仍然保持。

中序遍历（InOrder）

中序遍历可以将搜索二叉树中的节点按从小到大的顺序输出，这是搜索二叉树的一个重要特性：

void InOrder()
{
	_InOrder(_root);
	cout << endl;
}

private:
void _InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	_InOrder(root->_left);
	cout << root->_key << ' ';
	_InOrder(root->_right);
}

中序遍历的顺序是：左子树 → 根节点 → 右子树，对于搜索二叉树来说，中序遍历的结果正好是有序的。

搜索二叉树的性能分析

时间复杂度

查找操作：在平均情况下，时间复杂度为O(log n)，其中n是树中节点的数量。这是因为每次比较都可以将查找范围缩小一半，类似于二分查找。
插入操作：平均时间复杂度也是O(log n)，因为插入操作需要先找到合适的位置，这与查找操作的过程类似。
删除操作：平均时间复杂度同样为O(log n)，删除操作的主要时间消耗在查找节点和处理不同情况上。

空间复杂度

搜索二叉树的空间复杂度为O(n)，其中n是树中节点的数量，因为需要为每个节点分配内存空间。

最坏情况

搜索二叉树的性能依赖于树的高度，在最坏情况下（如插入的节点是有序的），搜索二叉树会退化为链表，此时所有操作的时间复杂度都会退化为O(n)。为了避免这种情况，可以使用平衡二叉树（如AVL树、红黑树等）来保证树的高度始终保持在O(log n)。

搜索二叉树的应用场景

搜索二叉树在实际应用中非常广泛，以下是一些常见的应用场景：

字典和映射：可以用搜索二叉树实现字典结构，提供快速的查找、插入和删除操作。
数据库索引：数据库中的索引结构通常基于搜索树的变种，如B树、B+树等，以支持高效的查询操作。
编译器符号表：编译器在处理变量和函数声明时，需要快速查找和插入符号，搜索二叉树是一种合适的数据结构。
文件系统目录结构：文件系统中的目录结构可以用搜索树来组织，以便快速查找文件和目录。
优先队列：虽然优先队列更常用堆来实现，但搜索二叉树也可以用于实现优先队列。

总体代码实现

using namespace std;
template<class K>

struct BSTreeNode

{
	K _key;
	BSTNode<K>* _left;
	BSTNode<K>* _right;
	BSTNode(const K& key)
		:_key(key)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
	{
	}
};


template<class K>
class BSTree
{
	typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
	BSTree() = default;
	BSTree(const BSTree<K>& t)
	{
		_root = Copy(t._root);
	}
	BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
	{
		swap(_root, t._root);
		return *this;
	}
	~BSTree()
	{
		Destory(_root);
		_root = nullptr;
	}
	bool Insert(const K& key)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else {
				return false;
			}
			cur = new Node(key);
			if (parent->_key > key)
			{
				parent->_left = cur;
			}
			else
			{
				parent->_right = cur;
			}
			return true;
		}
	}
	bool Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{

				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return true;
			}
		}

		return false;
	}
	bool Erase(const K& key)
	{
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else {
				if (cur->_left == nullptr)
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root = _root->_right;
					}
					if (parent->_right == cur)
					{
						parent->_right = cur->_right;
					}
					else
					{
						parent->_left = cur->_right;
					}
					delete cur;
				}
				else if(cur->_right == nullptr)
				{
					if (cur == _root)
					{
						_root = _root->_left;
					}
					if (parent->_right == cur)
					{
						parent->_right = cur->_left;
					}
					else
					{
						parent->_left = cur->_left;
					}
					delete cur;
				}
				else
				{
					Node* pMinRight = cur;
					Node* minRight = cur->_right;
					while (minRight->_left)
					{
						pMinRight = minRight;
						minRight = minRight->_left;
					}
					swap(minRight->_key, cur->_key);
					if (pMinRight->_left == minRight)
					{
						pMinRight->_left = minRight->_right;
					}
					else
					{
						pMinRight->_right = minRight->_right;
					}
					delete minRight;
				}
				return true;
			}
		}
		return false;
	}	

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << ' ';
		_InOrder(root->_right);
	}
	Node* Copy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		Node* copy = new Node(root->_key);
		copy->_left = Copy(root->_left);
		copy->_right = Copy(root->_right);
		return copy;
	}
	void Destory(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		Destory(root->_left);
		Destory(root->_right);
		delete root;
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自作者个人站点/博客。

原始发表：2026-01-13，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

c++