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有限元法在非线性偏微分方程中的应用

： 此处，待求解的因变量 u 在 Rn上为一维函数时，m、d、a、f 为标量，α、γ 和 β 为 n 维向量，c 为 n*n 矩阵。...对于多个因变量 u ∈ Rd建立联立方程式时，方程式 (1) 中，γ 和 f 为 d 维向量，其他系数是向量分量的矩阵。...但作为提供给 NDSolve 的 PDE 进行输入时， PDE 则在 NDSolve 开始处理前被计算，结果 2u´ (x)u´´ (x) 被视为方程式 (1) 的第一项．由于这并非是方程式 (1)...在等式（1）的第一项 ϕ 上积分， 项则变为： 在边界 ∂Ω 上积分的被积函数刚好与在洛平边界条件应指定的值相对应。因此，通过用 g–qu 的积分代替此项，NDSolve 则可正确处理该边界条件。...此处，由于 u 是向量，如果是二维，则第一个方程式由两个方程式 ux 和 uy 组成，微分算子∇作用于该方程式（请参见下面的代码）。让我们计算二维空腔中的速度场。

3.1K30

【每周一论文分享】PINN的应用：PINN框架用于通用生物反应器建模

训练方法为确保可比性，两种建模方法的训练、验证和测试方法相同，唯独损失函数的计算在本质上不同。采用标准的自适应力矩估计法（ADAM）以最小化总损耗。...案例案例1-供给批次生物反应器中的物流生物质生长案例研究1是一个非常简单的物流生长过程，在一个供给批次生物反应器中，仅有两个状态变量，由两个常微分方程描述。...这个简单的例子表明，当已知某一子状态变量的完整且精确的物理时，原则上不需要对这些状态变量的观测来训练PINN。这凸显了PINN相较于传统神经网络的一个关键优势，因为后者总是需要数据进行训练。...物理损失包括五个状态变量的物质平衡方程，方程8a-e，并排除了反应动力学方程。（9a-c）。采用了案例研究1相同的配理积分方案。...具体来说，双人工神经神经网络PINN假设反应速率静态且完全依赖于浓度，而单人工神经神经网络PINN则动态参数化动力学速率，这种表述并未反映真实的系统行为。

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    信号与系统-时域分析-微分方程求解.茅塞顿开版

    在特定的时空中研究具体的系统，如果时空是静止的，这个世界将很难想象，所以，系统的状态通常都是时空的函数，即随着时间、空间而变化，而研究自变量和因变量变化关系的数学工具正是导数，各变量导数之间的关系受自然规律约束...零输入响应：系统固有的响应，以及没有激励进来之前的能量 零状态响应：接收外界激励 完全响应：上面两个的叠加，本身和对外界的反应 单位脉冲响应：这个就是求系统本身的响应的 受迫（强迫）响应：特解，由输入的激励信号有关系...卷积法 不管是什么方法，我们都是要找到0输入和0状态两个解，然后加起来就行。因为0输入是系统蕴含的特性，所以可以使用经典时域法里面的求齐次方程解的办法。...所以记住一点，全响应的时候是不同的，还要知道他们两者之间的独立性 此时看题，就很明白了，要的是0输入，ZI，那初始值就是这样，直接计算就好了。...这个是PPT的写法，这就是教科书，你得感悟多久？知识还是没把握住 唐老师的内容分为两个部分 第一部分是对微分方程求解参数形式的限定，后者是解释了脉冲对系统的影响。

    52010

    . | 机器学习势的发展：从分子到材料

    不同核几何下对应的（绝热）本征能构成一个连续的超曲面，即势能面（PES），其本质是核坐标的多维函数。基于PES，可以采用经典或量子力学的方法求解原子核的运动方程。...这些方法实质上均属于广义的机器学习回归方式，不依赖于物理构建的函数形式。例如，RKHS 是一种核插值方法，与高斯过程回归密切相关，并可自动评估预测误差。...在此基础上，提出了如 CENT、CENT2、4G-HDNNP 等模型，通过两个神经网络分别预测原子电负性和局部能量，实现更准确的能量分解。...对于小分子与反应体系，追求极致精度与计算效率的任务仍主要依赖于基于全局描述符的模型。...近期基于图连通性的算法显著加速了基本不变量（FI）的生成，使 FI-NN 方法有望扩展至更复杂的高对称性体系，并在多个小分子上取得优于局部描述符或 MPNN 模型的精度表现。

    1.5K10

    数学与 AI「融通」 ，徐宗本院士进行超强“迁移学习”

    所谓的深度学习就是指输入一个数据，然后得到一个依赖于数据的预测或者是判断，它的环境是有标签的大数据，同时其应用的基本前提是有原因或结果组成且量很大的有序对。 第二，自编码器。...第四，非常规约束下的输运问题。人工智能的很多问题都可以抽象为：将一个领域的数据转移到另外一个领域的数据，比如说机器翻译，就实现不同语言之间的转换问题。...这自然就涉及到「什么样的数据之间能够进行转移」的问题。而众所周知，能够实现转移的前提是，两个领域之间的数据存在一「公共不变量」，这是数学的标准术语。...比如说机器能翻译就存在语义这一不变量，例如医疗应用同样遵循这一思路，即 CT 图象转成核磁图象过程中，同一个人本身就是就是这个不变量。...如何判断数据能够被转移，以及如何实现不同领域的数据转移问题，就叫做非传统约束下的传输问题。 第五，学习方法论的建模与函数空间上的学习理论。

    54250

    逻辑回归or线性回归，傻傻分不清楚

    从最终的形式可以看出，逻辑回归就是用ln(p/1-p)来替换了线性回归中的因变量y， 所以说逻辑回归是在线性回归的基础上发展而来的一项技术，同时等式右边都是一个线性关系，二者同属于广义线性回归模型的一种...线性回归中的R2为预测数据的方差除以实际数据的方差，在逻辑回归中，因变量无法有效计算方差，所以逻辑回归的R2是一个假的R2，称之为pseudo R-Squareds, 有多种算法来计算该值，不同算法的出发点也不同...在费舍尔精确检验和卡方检验中，对于2X2的两个分类变量的关联性，用odd ratio值来衡量其关联性的强弱，在二分类因变量的逻辑回归中，对于同样为二分类的自变量，也会有odd ratio值里衡量其和因变量的关联性...在逻辑回归中，二分类自变量和因变量的关联性，用该自变量对应的回归系数，也就是log odd ratio来表征，其实这个概念也可以拓展到连续型的自变量上，只不过解释会稍有不同。...对于连续型的自变量而言，其log odd ratio值也是其回归系数，只不过因为其值是连续的，log odd ratio值反应的是该自变量每增加一个单位，因变量概率变化的幅度。

    3K30

    科学瞎想系列之一五三 说说永磁同步电机里那些角

    由此可见无论用那种形式来表示，都只是表达出了矢量的两个要素，而正弦时变量有三个要素，因此只用一个固定的矢量显然不能完整地表达出一个正弦时变量，如果让一个矢量旋转起来，这样就在原来矢量的两个要素基础上又多了一个旋转角速度的要素...4.3.2 内嵌式 对于内嵌式永磁同步电机，由于气隙是不均匀的，内嵌式永磁同步电机通常Lq＞Ld，因此，同样幅值大小的电枢反应磁势作用于不同的空间位置时，产生的电枢反应磁场(磁链)并不相同...也就是说，在幅值相同的iₛ作用下，产生电枢反应磁链会随着iₛ空间相位角β的不同而不同。这给定量分析电枢反应磁场及其作用带来很大困难。...首先把定子电流矢量iₛ沿d轴和q轴分解为两个分量，即： iₛ=(id+j*iq)•e^jθᵣ ⒁ 然后根据双反应理论，分别求得id(fd)和iq(fq)产生的d轴电枢反应磁链和q轴电枢反应磁链...由于直轴电枢反应磁链ψₐd与永磁磁链ψf位于同一轴线上，因此二者可以直接相加即为直轴上的总磁链；而交轴上没有永磁磁链，因此交轴上只有交轴电枢反应磁链，于是得到内嵌式永磁同步电机的磁链方程： ψd=Ld

    4K34

    科学瞎想系列之一五三 说说永磁同步电机里那些角

    由此可见无论用那种形式来表示，都只是表达出了矢量的两个要素，而正弦时变量有三个要素，因此只用一个固定的矢量显然不能完整地表达出一个正弦时变量，如果让一个矢量旋转起来，这样就在原来矢量的两个要素基础上又多了一个旋转角速度的要素...4.3.2 内嵌式 对于内嵌式永磁同步电机，由于气隙是不均匀的，内嵌式永磁同步电机通常Lq＞Ld，因此，同样幅值大小的电枢反应磁势作用于不同的空间位置时，产生的电枢反应磁场(磁链)并不相同...也就是说，在幅值相同的iₛ作用下，产生电枢反应磁链会随着iₛ空间相位角β的不同而不同。这给定量分析电枢反应磁场及其作用带来很大困难。...首先把定子电流矢量iₛ沿d轴和q轴分解为两个分量，即： iₛ=(id+j*iq)•e^jθᵣ ⒁ 然后根据双反应理论，分别求得id(fd)和iq(fq)产生的d轴电枢反应磁链和q轴电枢反应磁链...由于直轴电枢反应磁链ψₐd与永磁磁链ψf位于同一轴线上，因此二者可以直接相加即为直轴上的总磁链；而交轴上没有永磁磁链，因此交轴上只有交轴电枢反应磁链，于是得到内嵌式永磁同步电机的磁链方程： ψd=Ld

    1.7K22

    Current Biology：基于猴脑的神经电生理研究：神经回路抑制下的经济决策

    与前人研究结果相反，作者的数据反驳了决策依赖于价值水平不同水平的相互抑制进行编码的观点。事实上，作者证明了对相互抑制机制的观察会被价值范围的差异所混淆。...图S7 细胞分析中不同变量之间的相关矩阵 神经元通常在不同的时间窗口编码不同的变量。然而，对跨越时间窗口的神经元反应的初步观察表明，少量的可变序列可以解释种群中的很大一部分。...关键的发现是两个β系数呈负相关。β-反相关被认为是决策依赖于相互抑制的证据。在这里，作者证明这一结论是没有根据的，因为一个混淆因素，即价值范围不同而导致的差异。一旦控制了值范围的差异，β相关就消失了。...在一般情况下，var1和var2可以是任意两个变量和a0…a3是相互独立的。对于绝大多数的神经元反应，作者可以在两组试次中定义一个系数相同的单一变量，使方程简化为： ?...神经反应根据变量 offer value1和 offer value 2进行归一化和回归，每一项提供一个系数。关键的发现是，两个beta系数在神经元群中呈负相关。

    80710

    . | 量子时代中化学理解的演化探索

    研究人员指出，化学理解的未来不仅依赖于更复杂方程的求解，更依赖于一种认识论的转变——以概念多元性、认知适应性和对分层本体结构的更深理解为特征。...研究人员从本体论（存在什么）、认识论（如何认识）与理解论（为何如此）三个维度，分析化学概念（如电负性、芳香性与反应性）的演化，提出从化学理论的基本变量导出化学理解的框架，并进一步探讨ML与QC如何作为新的化学范式...而化学则聚焦于能量变化（ΔE）——化学键的形成与断裂、分子结构的重排与反应动力学。 因此，化学在本体上以“原子、分子、化学键、轨道、反应中间体”等实体为核心。...图3 | 从WFT、DFT、ML与QC导出化学理解的示意图 研究人员指出，不同理论的互补性构成了化学的多层理解结构，真正的化学洞察来自这些视角的交汇。...本体上，ML在抽象特征空间中运作；认识论上，它以归纳推理替代演绎推导。若ML模型的内部表示（注意力图、节点嵌入等）能与化学概念对应，则可成为新的“概念发现引擎”。

    19510

    AI发现新变量登Nature子刊

    哥伦比亚大学的一项研究表明，AI 仅通过摄像机观察现象就能自己提取出变量，而且有些变量可能是人类还没有发现的。如果借助这种方式来发现新的变量，我们是不是可以发现新的物理规律？...质能方程由爱因斯坦提出，主要用来解释核变反应中的质量亏损和计算高能物理中粒子的能量，并促成了波动力学的诞生。 一百多年前，爱因斯坦在提出这个方程之前显然已经有了能量、质量和速度这些基本变量。...这是来自哥伦比亚大学的一项新研究，研究者试图让一种人工智能程序通过摄像机观察物理现象，然后尝试搜索能够完全描述观察现象的最小基本变量集。...提取变量本身很困难，因为程序无法以任何人类可以理解的直观方式描述它们。经过一番调查研究，程序选择的两个变量似乎与两个摆臂的角度大致对应，但另外两个仍然是个谜。...在实验中，AI 每次重启时所提取的变量数量是相同的，但每次的具体变量是不同的。所以说，在常规方式之外，我们确实还有其他方式可以描述宇宙，而我们现在选择的这种方式未必就是完美的。

    43820

    基于文本表示推断化学反应的实验步骤

    然后利用该数据集训练了三种不同的模型：基于反应指纹的nearest-neighbor（最近邻）模型，以及两个基于Transformer和BART架构的深度学习Sequence-to-sequence的模型...而且，预测任务开始阶段不区分输入的化学方程式中的反应物和试剂，化学方程式只由一组反应前体(反应物+试剂)和一组产物分子组成（图2）。...图2：缩合反应的示例 反应式的左侧为可识别的所有前体分子(包括起试剂或溶剂作用的分子)，例：前两个实体：N，N’- 二环己基碳二亚胺和二氯甲烷。反应式右侧为产物分子。...最近邻模型依赖于用反应指纹识别训练集和测试集的相关反应，提供根据分子数目相近的化学方程式改编来的实验操作步骤。 Transformer model。...表1：数据集生成过程的筛选反应记录 表2：对合成操作的预测的评估 模型比较 研究人员在Nearest-neighbor、Transformer、Bart模型上训练获取的化学反应操作顺序的数据集，然后以有效性

    1.6K30

    解释选择性视觉注意相关的广泛经验现象，视觉识别的自由能例子拆解

    贝叶斯模型比较已经用于澄清不同选择行为模型，并且通常依赖于计算贝叶斯因子，该因子评分给定相同数据情况下一个模型相对于另一个模型的证据[28]（参见[29]进行审查）。...原则上，我们可以使用完全相同的技术来测试具有不同时间常数以及不同抑制或兴奋作用的模型（例如[35]）。...我们的模拟表明，就行为（心理物理）反应的预测而言，EM-SAIM 和 PE-SAIM 在数量上是无法区分的。然而，通过合适的实验设计，这两个模型可以用于对经验数据进行定量建模。...利用两个模型对自上而下传入的兴奋性或抑制性性质做出不同预测的事实。两种类型的反馈主题可能会产生不同的动态（具有不同的时间常数）。...有趣的是，Park 等人最近的一项研究。[51]发现了特定于类别（即面部与自然场景）的偏好，可以提供一个有趣的范例来测试这两个模型。

    38010

    Wolfram|Alpha 中的分步解答数学工具帮助您学习化学课程

    这可能是你现在看起来不熟悉的东西，但很快就会了! 考虑化学反应AlCl3 + NaOH -> Al(OH)3 + NaCl。假设你有2摩尔的AlCl3，那么你可以通过运行反应来生成多少摩尔的NaCl？...，比如动力学，是一项非常重要的技能。...因此，如果你有一个摄氏度或华氏度的值，你可以通过将该值插入这个方程，然后求解另一个变量来转换为其中之一。...求解x 要想在第一堂化学课上取得成功，还需要一个重要的概念，那就是如何用逆运算来求解x。将数字和变量重新排列，以隔离x，并确定未知值，在求解不同的值，如能量、质量、体积等方面是如此重要。...Wolfram|Alpha提供了不同类型的分步解题方法，无论是因式法、二次方程还是完形方程，都能教你手把手地解决同一个方程。

    2K30

    关于数学体系混沌领域与统一理论的系统性分析-我的数学观

    数学体系存在以下需要新认知突破的混沌领域，这些领域亟需建立类似物理学"大一统理论"的框架： 一、数论与几何的割裂 分类标准的冲突 现象：素数分布（离散结构）与流形拓扑（连续结构）使用完全不同的分类体系...三、离散数学与连续数学的认知断层 概念相对性缺失 典型案例：图论中的网络流优化（离散）与偏微分方程中的输运理论（连续）描述相似现象，但工具完全割裂。...统一突破口：形变量子化理论试图用几何Langlands纲领连接，但仍需突破分类维度限制。...相对参考系的革新 引入量子信息论的纠缠熵概念，作为度量不同数学结构关联强度的统一参考。 概念关系的重构 通过导出代数几何方法，在非交换环上重新定义拓扑、微分、代数结构的互生关系。...总结 数学体系现存五大混沌领域本质上是分类标准不兼容、相对参考系缺失造成的认知割裂。

    24510

    Science｜中国科学技术大学李微雪团队：借助AI破解催化领域重大科学难题

    2024年11月22日，中国科学技术大学的李微雪课题组在Science杂志上发表了一项催化领域的突破性研究成果，对这一问题提供了有力的回答。...2021年，李微雪课题组建立了金属-载体相互作用调控催化剂稳定性的Sabatier原理，提出了通过构建相互作用强弱不同的双功能载体来解决催化剂在苛刻条件下的稳定性问题(Science 374 (2021...然而，由于该作用敏感地依赖于金属和载体的组分、尺寸、形貌，催化剂制备和反应条件等，揭示决定金属-载体相互作用强弱的本质、发展具有预测能力的一般性理论仍是亟待解决的重大科学挑战。...这一方程除了包含“金属-氧相互作用”外，还突破性地包含了“金属-金属相互作用”这一关键新变量，首次完整揭示了金属-载体相互作用的本质。...李微雪表示，该成果有望加快新催化材料和新催化反应的发现，推动能源、环境和材料的绿色升级，助力社会的可持续性发展。

    76010

    . | 基于PKPD建模的深度学习从早期数据预测患者的反应时间过程

    本文提出了一种新的PK/PD神经网络框架，将药理学原理与常微分方程(ODE)相结合，可以模拟患者对未经测试的给药方案的反应。...利用数学模型将系统药物浓度动力学(即PK)与随时间产生的药理效应(即PD)联系起来。PK/PD模型通常使用常微分方程(ODE)来开发，常微分方程的构建依赖于建模人员将数据抽象为动力系统。...所以本文提出了一种新的深度学习方法来建立PK/PD模型，该模型直接从数据中学习控制方程，目的是预测患者的反应时间进程，并能够模拟看不见的剂量方案的效果。...如图2所示，训练好的neural-PK模型可以有效地预测(在未见过的测试患者上)T-DM1药物浓度的pop-PK模型的完整时间过程，以21天为一个周期。...通过设计，给药作为一个独立的输入进入neural-PK/PD模型，从而确保可以根据需要评估不同的给药计划。

    1.5K10

    AI已能求解微分方程，数学是这样一步步“沦陷”的

    它所谓的非线性是方程第二项uux造成的：因为变量与导数相乘使得他没办法因式分解，导致我们难以求解。 怎么办？目前来说最常用的方法就是直接对这类方程进行离散求数值解。...上面说到的这两个偏微分方程，是应用数学领域里面最常见的方程；也是接下来这些大神们用AI想要求解的主要方程；毕竟他们的非线性让求解他们本身就变得非常复杂，而AI生来就是解决复杂问题的。...论文中，作者们使用了一个叫做稀疏回归的方法，通过把原本方程离散求解得到的变量当成训练数据去训练；通过迭代优化就可以找到这些数据对应的偏微分方程。...△ HFM的基本结构 但是这个所谓的残余神经网络却并不是没有任何物理意义的纯数学操作：蓝盒子里面的六个公式每个都是流体物理方程演变而来的；比如第一个 e_1 就是分子输运方程方程，描述流体里面分子运输移动的...在这篇论文中，他们印证了用机器学习算法和TPU硬件加持的情况，计算一个流场，也就是数值解一个N-S方程，能直接加速两个数量级！ ?

    1.9K30

    永磁同步电机矢量控制（一）——数学模型

    1、永磁同步电机的数学模型 （参考于解小刚、陈进采用Id=0永磁同步电机矢量控制文章） 永磁同步电机是一个非线性系统，具有多变量、强耦合的特点。...我们对其分析的时候有以下假设： 忽略铁芯饱和，不计涡流和磁滞损耗 忽略换相过程中的电枢反应 转子上无阻尼绕组，永磁体无阻尼作用 永磁体产生的磁场和三相绕组产生的感应磁场呈正弦分布...定子绕组电流在气隙中只产生正弦分布的磁势，无高次谐波 按照电动机应用建模 在此理想条件下： 1.1 永磁同步电机在三相静止坐标系下定子电压方程：（下图有误，定子磁链要求个导） 式中...经过CLARK和PARK左边变换后，得到其在dq坐标系下的数学模型： 1.3 dq坐标系下电压方程 其中ud、uq为dq轴电压，id、iq为dq轴电流，ψd、ψq为dq轴磁链，Ld、Lq为dq...1.4 dq坐标系下磁链方程 1.5 转矩方程 从上1.5中转矩方程可以看出，电磁转矩由两个部分组成，第一项是永磁体和定子绕组磁链之间相互作用产生，第二项则是由磁阻变化而产生的。

    1.6K10

    . | 里程碑模拟在药物-靶点动力学中的进展与挑战

    图1 这种方法能够在更长的时间尺度上模拟系统的整体动力学，突破了传统MD模拟的限制。里程碑理论基于两个基本假设。...方程2 虽然这个公式假设存在单一的长轨迹，但在实际应用中，里程碑法需要在每个里程碑上重新初始化短时分子动力学模拟。...FHPD依赖于位置 xx处的密度，表示从里程碑i开始的轨迹首次命中里程碑j的概率。在理想的里程碑集合中，密度不依赖于起始里程碑i。...通过在多维网格中结合两个或更多的CV，作者能够展现一个更高维的自由能景观，从而对能量景观进行更准确和详细的探索。此外，某些能量障碍只有在使用多维反应路径时才会显现出来。...最近的研究在Hsp90-抑制剂复合物上取得了显著进展。这些配体具有多样化的骨架结构、不同的停留时间以及多条结合与解离路径。值得注意的是，这些复合物在配体解离过程中表现出显著的构象变化。

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