下面的都是从牛顿法引申出来的,记住牛顿法求得是稳定点\(f'(x) = 0\),导数为0的不一定是最小值,梯度下降法求得是局部最小值,从计算上看 牛顿法 泰勒展开式到二阶， \[f(x_{t+1}) =...算法,它可用于解决非线 … Levenberg-Marquardt迭代(LM算法)-改进Guass-Newton法 1.前言 a.对于工程问题...Levenberg-Marquardt算法 (1)y=a*e....^(-b*x)形式拟合 clear all % 计算函数f的雅克比矩阵,是解析式 syms a b y x real; f=a*e … Levenberg-Marquardt算法基础知识 Levenberg-Marquardt...Levenberg-Marquardt算法是最优化算法中的一种.最优化是寻找使 … 相机标定：关于用Levenberg-Marquardt算法在相机标定中应用 LM算法在相机标定的应用共有三处. (1)
fisheye 鱼眼相机大致分为四种模型，分别为：等距投影模型、等立体角投影模型、正交投影模型和体视投影模型。...假设我们采集了n副棋盘格图像，每幅图像由m个角点，设第i幅图像上的角点在图像上的投影点为： 通过角点的概率密度函数构造似然函数： 将似然函数最大化，即上式最小，我们选择LM(Levenberg-Marquardt...三、标定操作 视觉标定可以使用matlab、opencv等开源工具进行标定，操作也很简单，读者感兴趣可以查阅相关资料。...基本算法原理就是第二小节讲述的张正友标定法，采用LM进行迭代优化，即BA(Bundle Adjustment)优化，BA优化原理我们以后进行介绍，限于篇幅原因，这里不给出代码核心细节了，感兴趣的读者可以从kalibr_calibrate_cameras.python...error 我们可以看到绝大部分对应的角点的重投影误差都在0.5以下，一般平均投影误差低于0.5个像素即可认为标定结果可以接受，否则，要重新进行标定。
Levenberg-Marquardt 算法 Levenberg-Marquardt 算法，也称之为衰减最小二乘法（damped least-squares method），该算法的损失函数采用平方误差和的形式...下面的表达式定义了 Levenberg-Marquardt 算法中参数的更新和优化过程： ? 当衰减参数λ为 0 时，Levenberg-Marquardt 算法就是使用海塞矩阵逼近值的牛顿法。...如果损失函数下降，那么λ就会下降，从而 Levenberg-Marquardt 算法更接近于牛顿法。该过程经常用于加速收敛到极小值点。...正如我们所了解到的，Levenberg-Marquardt 算法是为平方误差和函数所定制的。这就让使用这种误差度量的神经网络训练地十分迅速。...相反，Levenberg-Marquardt 算法可能是收敛速度最快的，但其同时也要求最多的内存。比较折衷方法是拟牛顿法。 ?
Determined the Orbit of Ceres] Bundle Adjustment 所谓bundle，来源于bundle of light，其本意就是指的光束，这些光束指的是三维空间中的点投影到像平面上的光束...，而重投影误差正是利用这些光束来构建的，因此称为光束法，强调光束也正是描述其优化模型是如何建立的。...算法理论 观测值:像点坐标 优化量(平差量):pose 和landmark 因为一旦涉及平差,就必定有如下公式:观测值+观测值改正数=近似值+近似值改正数,那么bundle adjustment 的公式还是从共线条件方程出发...: 优化函数(误差方程)如下，其中 u_{ij} 是像点坐标，C_j 是相机投影矩阵，X_i 是三维点坐标： \min\sum_{i=1}n\sum_{j=1}m\left(u_{ij}-\pi(C_j...,X_i)\right)^2 更详细一点，将问题抽象为图模型，这个图模型的节点由相机 非线性优化 可以使用各种优化算法来进行计算，BA现在基本都是利用LM（Levenberg-Marquardt）算法并在此基础上利用
核的宽度以一个单位（奇数大小）为中心被选定，需要足够的重叠从而不丢失信息（对于一个单位3重叠显得过小），同时不至于冗余（7重叠将会过大，5重叠能实现超过70％的重叠）。...相反，LeCun博士在他的文章《Efficient BackProp》中提出的称为“随机对角列文伯格-马夸尔特法（Levenberg-Marquardt）”的二阶技术已得到应用，尽管Mike说它与标准的反向传播并不相同...在Levenberg-Marquardt方法中，rw 计算如下： image.png 假设平方代价函数是： image.png 那么梯度是： image.png 而Hessian遵循如下规则：...）法 事实上，使用完整Hessian矩阵信息（Levenberg-Marquardt，Gaus-Newton等）的技术只能应用于以批处理模式训练的非常小的网络，而不能用于随机模式。...为了获得Levenberg- Marquardt算法的随机模式，LeCun博士提出了通过关于每个参数的二阶导数的运算估计来计算Hessian对角线的思想。
简单来说是从世界坐标系换到图像坐标系的过程，也就是求最终的投影矩阵 P P P的过程。...图像坐标系：为了描述成像过程中物体从相机坐标系到图像坐标系的投影透射关系而引入，方便进一步得到像素坐标系下的坐标。...,vi)}，标定参数矩阵 M M M 的概率为： 给定{(ui,vi)}，标定参数矩阵 M 的似然函数为： 相应求解策略: 牛顿方法、高斯-牛顿方法、Levenberg-Marquardt...计算内参数矩阵 （4）计算外参数矩阵 （5）极大似然估计 给定 n n n张棋盘格图像，每张图像有 m m m个角点 最小化下述公式等同于极大似然估计: 上述非线性优化问题可以利用Levenberg-Marquardt...（2）重投影误差 重投影误差定义为一个特征点在归一化相机坐标系下的估计值与观测值的差，网上均重投影误差说小于0.5 就算效果良好(还不太清楚是为什么)，可以看出我们计算出来的重投影误差为0.32，
这些相对位姿测量通常是使用自运动估计、扫描匹配、迭代最近点 (ICP) 或某种形式的最小化视觉重投影误差从 IMU、激光传感器、相机或车轮里程计获得的。...实现的求解器包括信任域求解器（Levenberg-Marquardt、Powell’s Dogleg）和线搜索求解器。由于它有许多优点，Ceres 被用于许多不同的应用程序和领域。...它实现了 Levenberg-Marquardt 和 Gauss-Newton 风格的优化器、共轭梯度优化器、Dogleg 和 iSAM：增量平滑和建图。...为 g2o、Ceres 和 GTSAM 框架选择了相同的求解器 Levenberg-Marquardt，而 SE-Sync 使用黎曼信任域 (RTR) 方法 ([24])。...否则，GTSAM、Ceres 和 g2o 无法使用 Levenberg-Marquardt 算法收敛到有意义的解。所有算法都在小于最大迭代次数的情况下收敛，并且它们实现了几乎相同的目标函数值。
首先，从双目立体几何（stereo geometry）原理开始来定义外极（epipolar）约束：两个摄像头光心分别是 c0 和 c1，3-D 空间点 p 在两个图像平面的投影点分别是 x0 和 x1，...从E矩阵分解得到R和t 根据视图方向与摄像头中心到3-D点的方向之间夹角可以发现，四个可能中只有情况（a）是合理的解； 确定两个视角的姿态之后，匹配的特征点 x，x’可以重建其 3-D 坐标 X，即三角化...BA的目的是优化全局参数估计，对 SLAM 来说，结构重建的 3-D 点 X 和其对应的 2-D 特征点 x ，还有估计的视角变换参数（甚至包括摄像头内参数） P ，位于一个重投影（reprojection...BA示意图 这里集束（Bundle）指2-D点和3-D点之间的光线集，而修正（Adjustment）是指全局优化过程；其解法是非线性迭代的梯度下降法，如Gauss-Newton 方法和其修正 Levenberg-Marquardt...1）首先通过选择的头两（关键）帧，采用双目几何的特征点匹配得到初始的3-D点云重建； 2）正常模式：假设 3D 地图可用，并且估计出摄像头增量运动，跟踪特征点并使用 PnP 进行摄像头姿态估计； 3）恢复模式
注意，梯度也可以告诉我们不在最快变化方向的其他方向的变化速度（二维情况下，按照梯度方向倾斜的圆在平面上投影成一个椭圆）。...3) Jacobi 矩阵 Jacobi 矩阵实际上是向量值函数的梯度矩阵，假设F:Rn→Rm 是一个从n维欧氏空间转换到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成: ? 。...如果初始值离局部极小值太远，Taylor 展开并不能对原函数进行良好的近似 3) Levenberg–Marquardt Algorithm Levenberg–Marquardt algorithm...所谓的信赖域法，就是从初始点开始，先假设一个可以信赖的最大位移 s（牛顿法里面 s 为无穷大），然后在以当前点为中心，以 s 为半径的区域内，通过寻找目标函数的一个近似函数（二次的）的最优点，来求解得到真正的位移...Levenberg–Marquardt algorithm 对局部极小值很敏感，维基百科举了一个二乘法曲线拟合的例子，当使用不同的初始值时，得到的结果差距很大，我这里也有 python 代码，就不细说了
LiDAR联合优化 在LVBA中采用名为BALM的LiDAR联合优化方法来优化LiDAR的位姿，该方法通过利用从LiDAR点云中提取的边缘和平面特征，将LiDAR联合优化问题进行建模。...我们使用BALM来优化每次LiDAR扫描的6自由度（6 DoF）位姿，同时构建一个包含从LiDAR点中提取的平面特征的体素地图，该地图将在后续的视觉联合优化过程中使用。...投影点需满足一定条件（例如视点方向与表面法向量的对齐程度），以保证视图质量。 使用DoG（高斯差分）方法计算投影点的强度梯度分数，每个网格中分数最高的点被选为局部场景点。...Levenberg-Marquardt优化 通过Levenberg-Marquardt优化算法，最小化所有场景点在所有目标帧中的光度误差。...采用逐步细化的优化策略，从图像金字塔的顶层开始逐步优化到原始分辨率，以增强对初始估计不准确的适应能力。 在每次迭代中，利用上一级优化结果生成新的场景点并更新可见性判断。 图4.
最后，可以从任意两个传感器对应的刚体相对于标定基准的变换得到它们之间的相对位姿。上述整个流程如图2所示。...全局优化：由于增量重建的结果受到累积错误的影响，因此采用Bundle Adjustment（BA）优化，同时细化摄像机的所有位姿和稀疏点。...在全局优化之前，作者将距离小于2cm的稀疏点合并为一个，然后通过全局BA最小化以下重投影误差函数: 一旦全景基础设施的稀疏地图可用，作者便可以在单次拍摄中精确定位预校准相机。...首先，标定基础设施中各摄像机的定位提供了多摄像机之间的初始外部条件，然后利用多摄像机的几何约束，采用迭代Levenberg-Marquardt (LM)算法进一步细化外部参数。...备注：作者也是我们「3D视觉从入门到精通」特邀嘉宾：一个超干货的3D视觉学习社区
由于这个函数使用的特征点同时包含正确和错误匹配点，因此计算的单应性矩阵依赖于二次投影的准确性），统计容差范围内匹配点最多的作为最适合的模型，剔除误匹配的点。 2....描述BA BA的本质是一个优化模型，其目的是最小化重投影/光度误差，用于优化相机位姿和世界点。...BA是一个图优化模型，一般选择LM(Levenberg-Marquardt)算法并在此基础上利用BA模型的稀疏性进行计算；可以直接计算，也可以使用g2o或者Ceres等优化库进行计算。...特征点法是重投影误差，直接法是光度误差 （2） 雅克比矩阵不同 13....21、如何优化重投影误差？采用什么方法求解？如果误匹配的点重投影之后误差很大，如何解决它对整个优化问题的影响？
解决约束优化问题--拉格朗日乘数法 这个方法可以参考文章 拉格朗日乘数法 Levenberg-Marquardt 算法 Levenberg-Marquardt 算法，也称之为衰减最小二乘法（damped...Levenberg-Marquardt 算法是为平方误差和函数所定制的。这就让使用这种误差度量的神经网络训练地十分迅速。...然而 Levenberg-Marquardt 算法还有一些缺点： 不能用于平方根误差或交叉熵误差（cross entropy error）等函数， 该算法还和正则项不兼容。...所以我们在大型数据集或神经网络中并不推荐采用 Levenberg-Marquardt 算法。 内存与收敛速度的比较 下图展示了所有上文所讨论的算法，及其收敛速度和内存需求。...相反，Levenberg-Marquardt 算法可能是收敛速度最快的，但其同时也要求最多的内存。比较折衷方法是拟牛顿法。 ?
随着窗口大小从0（没有应用拟合和插值)增加到5个像素，重投影误差的均方根（均方根）显著降低(如红线所示）。在这个过程中，旋转矩阵R的误差和平移矩阵t的误差也都减少了（分别由黑线和绿线所示）。...然而，当窗口大小从5像素增加到60像素时，虽然重投影误差的RMS从0.0016像素降低到0.000172像素，但旋转矩阵和平移矩阵的误差都增加了。...(a)八个标定点的重投影误差；(b)像素坐标的重投影误差。不同的标定姿势用八种颜色来区分。 在相位标靶中加入从0到0.005弧度的随机噪声。图8显示了所提出的标定方法的重投影误差。...，使用所提出方法的标定点的重投影误差； (e) 在使用拟合方法之前，用所提出的方法在像素坐标方面的重投影误差； (f) 使用拟合方法后所提出的方法在像素坐标方面的重投影误差；不同的标定姿势用 11 种颜色区分...张的方法可以分为四个步骤：（1）发现特征点和相机像素之间的对应位置；(2) 根据针孔模型计算相机参数和外参数的初始值；(3) 考虑基于数学模型的畸变补偿；(4)利用Levenberg-Marquardt
同时有错误的话欢迎各位朋友留言指教。...（AutoDiffCostFunction）， Ceres提供了三种求导方法，分别是：解析求导、数值求导与自动求导 使用ceres的关键在于构建代价函数，这里我们再学习一下官网给出的 以视觉SLAM的重投影误差作为...BA的目标就是，通过最小化重投影误差，确定三维空间点的位置和相机参数。...//最后将计算出来的3D投影点坐标与观察的图像图像坐标 // 重投影误差 residuals[0] = predicted_x - T(observed_x); residuals...:DENSE_SCHUR; options.max_num_iterations = 100; options.trust_region_strategy_type = ceres::LEVENBERG_MARQUARDT
从全局地图元素（LA、PO和SB）裁剪局部地图将使用当前粗略的车辆姿势在预定义的阈值距离内从全局地图查询，然后利用查询到的局部地图进行无漂移视觉定位，将地图元素E投影回图像点P。...其次，通过与高精地图元素的图像对齐来细化6自由度车辆姿态，基于图像语义分割和形态学操作，已经建立了代价图，通过非线性优化（Levenberg-Marquardt（LM））解决对准问题，如果场景中缺少垂直地标...图4，将高精地图元素投影到图像的优化示例，初始姿势投影为红色，优化结果为绿色。...跟踪置信度计算模块将根据上述统计指标确定系统状态，当定位系统处于丢失状态时，跟踪丢失恢复模式被激活，丢失帧的姿势替换为从车轮里程计推断的备用姿势，即优化前的姿势，给定下一帧，为了激活跟踪阶段，系统再次进入初始化状态...，此外，由于成像比例与车辆高度密切相关，车道标记投影将扩展到图像边界或收缩到具有错误车辆高度的图像中心，因此，如果没有标志牌或标杆，则优化阶段不包括侧倾角度和车辆纵向位置。
首先，为了准确地恢复姿势，必须收集大量具有明显重叠的图像，此外，场景必须具有良好的照明和足够丰富的视觉特征，最后，重建的场景可能没有绝对尺度和比例。...第一个是激光雷达增强的运动恢复结构模块，该模块处理来自激光雷达和相机检测到的3D线段，并提取和合并不同视图中的三维线段，然后使用对应线的搜索功能，可以创建线簇，并剔除一些错误的匹配线，对新代价函数的优化产生新的姿态估计...算法1提供了匹配代码的详细过程，相似度得分s标准： •重投影的3D线段之间的角度； •投影线段端点之间的像素距离； •定义为向量范数的“正交距离”应垂直于3D线段方向投影； •除了上述三个标准外，我们还使用线段描述子...1） 相机观测值：我们将3D特征点重投影误差定义为其观测值的总和，即其重投影到图像平面上与该图像的相关观测值之间的像素距离： 2）线段重投影：线段重投影误差定义为其所有观测值的总和，即第i幅图像上线段的观测值与重投影值之间的距离...优化的三维特征位置和优化的直线方程，使用库Ceres库使用Levenberg-Marquart算法计算，在优化过程中，采用直线的正交表示法。
彩色像素是从图像中提取的遮挡边缘特征点，彩色圆圈是从失标定的LiDAR中提取的点云遮挡边缘特征点，绿色和红色分别代表左右遮挡方向。...最后通过优化点到线的投影重投影误差，最终获得外参校准矩阵。图2概述了提出的框架。 图2....随后在匹配的2D-3D点对上进行优化，以恢复摄像机和LiDAR之间的外参。...从四组图像特征（QL、QR、QU和QB）构建四个KD树，将每个LiDAR特征投影到相机框架上。 使用几何信息过滤掉异常匹配对，包括距离阈值、角度阈值和特征值比较。...定义残差为垂直距离，采用Huber核平衡离群匹配权重，通过Levenberg-Marquardt方法优化。 进行nopt次优化，第一次运行设置较大的切割距离dc，然后在接下来的迭代中逐渐减小。
总体思想是使用梯度下降，比如高斯-牛顿迭代、Levenberg-Marquardt算法等，由于BA还有自己的一些特殊性，比如稀疏性，在实现时还有很多细节需要处理，在此就不细说了。...，参数分别为内参、外参还有点在空间中的坐标，最后一个参数用于输出，为反向投影误差。...注意，为了使BA更高效可靠，外参当中的旋转部分使用的是旋转向量而不是旋转矩阵，这样不仅使优化参数从9个变为3个，还能保证参数始终代表一个合法的旋转（如果用矩阵，可能在优化过程中，正交性不再满足）。...correspond_struct_idx, key_points_for_all, structure); 优化结果对比 Before After Before After Statistics 从统计信息可以看出...，最初的重建结果，反向投影误差约为3.6个像素，BA之后，反向投影误差降为1.4个像素，如果删除一些误差过大的点，再进行一次BA，反向投影误差往往能小于0.5个像素！
（公众号：OpenCV与AI深度学习） 背景介绍 从3.0版本开始OpenCV新增了结构光(Structured-Light)模块。示例代码是一个由两台相机和一台投影仪组成的三维重建程序。...解码 三角測量 如何安装使用的库/软件 运行环境 Win 10（64 位） Visual Studio 2015 OpenCV >= 3.0.0 投影仪 相机 工作和处理流程 相机和投影仪校准 将格雷码图案投射到目标物体上并拍摄...下图从左至右依次为主体、x坐标解码结果可视化图、y坐标解码结果可视化图。解码图像中的像素越亮，投影机坐姿图像的坐标值就越大。...-mask 中指定的图像是指定要在 3D 中恢复的像素的掩码图像。-cam和-proj指定标定得到的相机内参和投影仪内参。格式为 OpenCV yml 或 xml 格式。...-rt 是相机和投影仪之间的外部参数。 -texture 指定要为恢复的 3D点云着色的图像。
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