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两数之和,两数之积

大家好,又见面了,我是你们的朋友全栈君。已知两个1~30之间的数字,甲知道两数之和,乙知道两数之积。 甲问乙:”你知道是哪两个数吗?”乙说:”不知道”; 乙问甲:”你知道是哪两个数吗?”甲说:”也不知道”; 于是,乙说:”那我知道了”; 随后甲也说:”那我也知道了”; 这两个数是什么? 答案: 答案1:为x=1,y=6;甲知道和A=x+y=7,乙知道积B=x*y=6 答案2:为x=1,y=8;甲知道和A=x+y=9,乙知道积B=x*y=8 解: 设这两个数为x,y. 甲知道两数之和 A=x+y; 乙知道两数之积 B=x*y; 该题分两种情况 : 允许重复, 有(1 <= x <= y <= 30); 不允许重复,有(1 <= x < y <= 30); 当不允许重复,即(1 <= x < y <= 30); 1)由题设条件:乙不知道答案 => B=x*y 解不唯一 => B=x*y 为非质数 又∵ x ≠ y ∴ B ≠ k*k (其中k∈N) 结论(推论1): B=x*y 非质数且 B ≠ k*k (其中k∈N) 即:B ∈(6,8,10,12,14,15,18,20…) 证明过程略。 2)由题设条件:甲不知道答案 <=> A=x+y 解不唯一 => A >= 5; 分两种情况: A=5,A=6时x,y有双解 A>=7 时x,y有三重及三重以上解 假设 A=x+y=5 则有双解 x1=1,y1=4; x2=2,y2=3 代入公式B=x*y: B1=x1*y1=1*4=4;(不满足推论1,舍去) B2=x2*y2=2*3=6; 得到唯一解x=2,y=3即甲知道答案。 与题设条件:”甲不知道答案”相矛盾, 故假设不成立,A=x+y≠5 假设 A=x+y=6 则有双解。 x1=1,y1=5; x2=2,y2=4 代入公式B=x*y: B1=x1*y1=1*5=5;(不满足推论1,舍去) B2=x2*y2=2*4=8; 得到唯一解x=2,y=4 即甲知道答案 与题设条件:”甲不知道答案”相矛盾 故假设不成立,A=x+y≠6 当A>=7时 ∵ x,y的解至少存在两种满足推论1的解 B1=x1*y1=2*(A-2) B2=x2*y2=3*(A-3) ∴ 符合条件 结论(推论2):A >= 7 3)由题设条件:乙说”那我知道了” =>乙通过已知条件B=x*y及推论(1)(2)可以得出唯一解 即: A=x+y, A >= 7 B=x*y, B ∈(6,8,10,12,14,15,16,18,20…) 1 <= x < y <= 30 x,y存在唯一解 当 B=6 时:有两组解 x1=1,y1=6 x2=2,y2=3 (∵ x2+y2=2+3=5 < 7∴不合题意,舍去) 得到唯一解 x=1,y=6 当 B=8 时:有两组解 x1=1,y1=8 x2=2,y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 < 7∴不合题意,舍去) 得到唯一解 x=1,y=8 当 B>8 时:容易证明均为多重解 结论: 当B=6时有唯一解 x=1,y=6当B=8时有唯一解 x=1,y=8 4)由题设条件:甲说”那我也知道了” => 甲通过已知条件A=x+y及推论(3)可以得出唯一解 综上所述,原题所求有两组解: x1=1,y1=6 x2=1,y2=8 当x<=y时,有(1 <= x <= y <= 30); 同理可得唯一解 x=1,y=4

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