以平面杆单元为例，共旋坐标法的基本思想可由图1来描述。其中有两个坐标系和三个构型。...共旋坐标法分别是整体坐标系Xg-Yg和局部坐标系xe-ye，整体坐标系始终固定不动，而局部坐标系始终固定在杆轴方向上，即随着杆件一同转动。...节点在整体坐标系下的坐标用（x，y）表示，位移用（u，v）表示。单元运动由刚体平动、刚体转动以及单元变形三部分组成。 ?...共旋坐标法的基本思想为：将单元从初始构型到当前构型的大位移，小应变运动分解为从构型Ⅰ到构型Ⅱ刚体运动叠加上从构型Ⅱ到构型Ⅲ的小变形运动。
刚体运动和坐标变换-1 基础代数 外积： 和 两个向量的外积代表一个垂直这两个向量的向量，大小为 其中, 是互相正交的基底向量。...我们可以将外积的形式写成矩阵乘以向量的形式，即：a的反对称矩阵左乘b 反对称矩阵 ，满足 欧式变换 两个坐标系之间的变换，可以被解释成旋转加上平移。...旋转矩阵 ：旋转矩阵可以表示向量的旋转，其本质是两个坐标系基底之间的内积构成的矩阵 SO(n) 是特殊正交群， 这个集合包含所有n维的旋转矩阵，行列式为1，并且都是正交矩阵。...正交矩阵，即 平移可以用一个向量 来表示 整个欧式变换，可以理解成： 齐次坐标和变换矩阵 为了将平移和旋转融合成一个式子，我们将欧式变换写成如下形式： 其中，我们扩展了向量...变成四维，称之为 齐次坐标，矩阵 称之为 变换矩阵 同样的，变换矩阵构成的集合，称之为 特殊欧式群 变换矩阵的逆，也可以简单求出，即： Rodrigues's Formula
共旋坐标法( Co-Rotational Formulation )最早由Wempner、Belytschko和Hsieh在20世纪70年代提出，用以处理实际过程中经常遇到的大转动、小应变问题。...20世纪90年代前后，非线性有限元大牛，英国学者Crisfield教授在共旋坐标法的研究中做了大量的工作，先后推导了空间梁单元、实体单元、壳单元等的共旋列式，并同TL法( Total-Lagrange...经过多年发展，共旋坐标法已经被证明在大转动、小应变分析时具有更高的计算效率。
目录 一 图像变换与平面坐标系的关系 二 平面坐标系与齐次坐标系 三 单应性变换 四 深度学习在单应性方向的进展 ?...仿射变换（正方形-平行四边形） 可以看到，相比刚体变换（旋转和平移），仿射变换除了改变目标位置，还改变目标的形状，但是会保持物体的“平直性”。 不同 ? 和 ?...矩阵对应的各种基本仿射变换： ? 投影变换（单应性变换） ? ? 投影变换（正方形-任意四边形） 简单说，投影变换彻底改变目标的形状。...注：上图“投影变换”应该是“任意四边形” 我们来看看完整投影变换矩阵各个参数的物理含义： ? 其中 ? 代表仿射变换参数， ? 代表平移变换参数。 而 ?...XIAOMI9拍摄，有镜头畸变 OpenCV已经提供了相关API，代码和变换结果如下。
Matrix 什么是齐次坐标 用[n+1]维数组表示n维坐标的方法叫齐次坐标法(Homogenous coordinate)。 首先，许多图形应用涉及到几何变换，主要包括平移、旋转、缩放。...以矩阵表达式来计算这些变换时，平移是矩阵相加，旋转和缩放则是矩阵相乘，综合起来可以表示为p' = m1 * p + m2 注：因为习惯的原因，实际使用时一般使用变化矩阵左乘向量。...其中，m1旋转缩放矩阵， m2为平移矩阵，p为原向量 ，p'为变换后的向量。 引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵运算中的乘法和加法，表示为p' = p*M的形式。...即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。 其次，它可以表示无穷远的点。...n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。
针孔相机模型 相似三角形原理 ? 成像平面到像素坐标： 代入： 得到： ? ? 同一直线上的投影点仍是同一个 ?...除内参外，相机坐标系与世界坐标系还差一个变换 先把P从世界坐标变到相机坐标系下 这里称为外参 右侧式子隐含了一次非齐次到齐次的变换 外参是SLAM估计的目标 投影顺序： 世界-相机-归一化平面...-像素 畸变 主要畸变类型：径向畸变和切向畸变 ?...1.png 小结 首先，世界坐标系下有一个固定的点P,世界坐标为 ? 由于相机在运动，它的云顶由 ? 或变换矩阵 ? 描述。P的相机坐标为： ? 这是的 ? 仍有 ?...三个量，把他们投影到归一化平面Z=1上，得到P的归一化相机坐标： ? 最后，P的归一化坐标经过内参后，对应到它的像素坐标： ? 双目相机 ? RGB-D相机 ?
说完矩阵的一些相关的定义和运算之后，我们来说一下矩阵和我们的坐标变换有什么关系。...有了这些基础知识后，我们就可以来讨论完整的坐标变换应该怎么做了。...文章开头已经提到，在空间中的顶点坐标变换分为三步。...模型变换 模型空间到世界空间是比较简单的情况，它其实就是一些基础的变换或者是基础变换的组合，将物体的顶点从模型中定义的坐标系移动到世界坐标系中，例如一个正方体的盒子的一个顶点在 (1,\ 1,\ 1)...此时从侧面看过去，我们可以看到一个相似三角形4： ?
这次我们仍然以它为切入点，来了解PDF的坐标系统以及坐标变换的相关知识 图形学中二维图形变换 中学我们学习了平面直角坐标系，x轴沿着水平方向从左往右递增，Y轴沿着竖直方向，从下往上坐标递增。...而PDF的坐标系与数学中的坐标系相同。...下面我们来介绍基本的2D图形变换 平移 假设一个点原始坐标是(x1, x2)，那么沿着x轴平移a，y轴平移b，那么平移之后点的坐标为 (x1 + a, x2 + b) ，转换成矩阵就是 \begin{...0 obj % 页面内容流 > stream % 流的开始 200 200 100 100 re S %原始矩形 0.7 0.7 -0.7 0.7 200 -80 cm%进行坐标变换...，在变换前和变换后，得到不一样的图形，这就说明我们的坐标系统被改变了。
共旋坐标法的最大优势在于能将现有的性能优异的线性单元应用于非线性分析中。...共旋法是将由大的刚体运动引起的几何非线性完全包含于线性刚度矩阵和内力矢量从局部坐标系向总体坐标系转换的转换矩阵中。...与拉格朗日法相比，共旋法的另一优势是对于具有相同几何形状和结点自由度的不同单元， 其局部到总体的转换矩阵完全相同，即共旋有限元方程的建立过程与局部坐标系中线性单元的选取无关。
叉积一个很常见的应用则是判断一个点是否在三角形内部：确定三角形的三个顶点坐标，分别记为 P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3)。...如果三个叉积向量的方向全部相同，则点 `P` 在三角形内部。 5. 如果三个叉积向量的方向有任何不同，则点 `P` 在三角形外部。...齐次坐标变换矩阵扩展到 后，为了实现变换（矩阵乘法），向量也需要扩展到四维向量，也就是齐次坐标(homogeneous coordinate)。...通常在检测到一个镜像变换的时候，都会进行一些特殊处理，例如一个顶点顺序为逆时针的三角形经过镜像变换之后变为顺时针，顶点顺序的改变会导致错误的光照效果和背面剔除。...注意，上面的矩阵用于沿着坐标轴缩放，如果要沿着任意方向进行缩放，则需要先进行一个变换改变朝向，使得缩放轴与坐标轴一致，之后进行缩放，最后使用一个逆变换将朝向变回来。
像素坐标系中坐标轴的单位是像素（整数） 图像坐标系 像素坐标系不利于坐标变换，因此需要建立图像坐标系XOY 其坐标轴的单位通常为毫米，原点是相机光轴与相面的交点（称为主点），即图像的中心点 X轴，Y轴分别与...畸变一般可以分为：径向畸变，切向畸变 径向畸变 实际摄像机的透镜总是在成像仪的边缘产生显著的畸变，这种现象来源于“筒形”或“鱼眼”的影响 光线在远离透镜中心的地方比较靠近中心的地方更加弯曲。...有三种 桶形畸变 枕形畸变 胡子畸变 切向畸变 切向畸变是由于透镜制造上的缺陷使得透镜本身与图像平面不平行而产生的 切向畸变可分为：薄透镜畸变，离心畸变 切向畸变图示： 当透镜不完全平行于图像平面时候产生切向畸变...确定相机内部的几何和光学特性（内部参数） 摄像机在三维世界坐标关系（外部参数） 标定方法分类 传统的摄像机标定方法 在一定摄像机模型下，基于特定的实验条件如形状、尺寸已知参照物，进行图像处理，数学变换...3.对于拍摄的期盼图片，检测图片中所有棋盘格的特征点（角点，也就是下图中黑白棋盘交叉点，中间品共色的圆圈内就是一个角点）。
谢谢！
世界坐标系到相机坐标系 从世界坐标系到相机坐标系， 这是一个刚体变换，只需对世界坐标系的三维点作用一个旋转R和平移t（R，t即为相机的外参），变换过程可以通过一下公式完成： ?...此时，假设相机坐标系中有一点M，则在理想图像坐标系下（无畸变）的成像点P的坐标为（可由相似三角形原则得出）： ? f为焦距，整理，得： ? 成像平面坐标系到像素坐标系 ?...分别为m和M对应的齐次坐标。 畸变模型 我们在摄像机坐标系到图像坐标系变换时谈到透视投影。...径向畸变 顾名思义，径向畸变就是沿着透镜半径方向分布的畸变，产生原因是光线在原理透镜中心的地方比靠近中心的地方更加弯曲，这种畸变在普通廉价的镜头中表现更加明显，径向畸变主要包括桶形畸变和枕形畸变两种。...以下分别是枕形和桶形畸变示意图： ? 实际情况中我们常用r=0处的泰勒级数展开的前几项来近似描述径向畸变，矫正径向畸变前后的坐标关系为： ?
世界坐标系到相机坐标系 从世界坐标系到相机坐标系， 这是一个刚体变换，只需对世界坐标系的三维点作用一个旋转R和平移t（R，t即为相机的外参），变换过程可以通过一下公式完成： ?...此时，假设相机坐标系中有一点M，则在理想图像坐标系下（无畸变）的成像点P的坐标为（可由相似三角形原则得出）： ? f为焦距，整理，得： ? 成像平面坐标系到像素坐标系 ?...[](https://img-blog.csdnimg.cn/20190828193303123.png)分别为m和M对应的齐次坐标。 畸变模型 我们在摄像机坐标系到图像坐标系变换时谈到透视投影。...径向畸变 顾名思义，径向畸变就是沿着透镜半径方向分布的畸变，产生原因是光线在原理透镜中心的地方比靠近中心的地方更加弯曲，这种畸变在普通廉价的镜头中表现更加明显，径向畸变主要包括桶形畸变和枕形畸变两种。...以下分别是枕形和桶形畸变示意图： ? 实际情况中我们常用r=0处的泰勒级数展开的前几项来近似描述径向畸变，矫正径向畸变前后的坐标关系为： ?
坐标空间转换一定涉及到一个相对的父坐标系与子坐标系，坐标变换就是在父空间与子空间之间对点和矢量进行变换。...，而我们正好学过如何将平移变换与线性变换合成为一个变换： 而这个变换矩阵已经很明显了： 这里并没有要求用于表示子坐标空间坐标轴的向量\mathbf{[x_c, y_c, z_c]} 一定是单位向量，因为如果存在缩放变换...因为对向量做平移变换没有意义，所以需要对向量进行坐标变换时，仅需要提取坐标变换矩阵地前三行前三列即可，也就是： 我们常用这个矩阵对法线方向、光照方向进行空间变换。...要将物体从世界坐标转换到观察坐标，需要进行视图变换（view transform）。构建变换矩阵需要我们知道原点坐标轴等信息。...完成上面的计算后，我们已经知道观察坐标系在世界空间的原点和坐标轴，那么我们就可以得到观察坐标系转换到世界坐标系的变换矩阵，那么它的逆矩阵就是视图变换的矩阵。
，左边的矩阵称为平移变换矩阵，若把2、3、4换成x、y、z，则用它乘以一个齐次坐标表示的向量，就可以将该向量平移(x,y,z). 旋转变换和缩放变换都像平移变换一样可用一个矩阵来表示。...这里可以不用理会这些矩阵长什么样，只需清楚它们乘以一个齐次坐标表示的向量，就可以使该向量发生需要的变换。 ...理解这个顺序很重要，这样，所有变换都可以用一串矩阵的相乘来表示。 代码解释： 代码中glBegin到glEnd是绘制三角形。首先对三角形起作用的是旋转，然后是移动。...明确了作用顺序后，还有一个让人困惑的就是坐标轴是否改变。因为glTranslatef的变换是以当前位置来变换的，也就是说用的是相对坐标而不是绝对坐标。...OpenGL窗口的中心，通过两次glTranslatef(-1.5f,0.0f,-6.0f)，坐标轴到了(-3.0f,0.0f,-12.0f); 所以三角形首先按向量(0.0f,1.0f,0.0f)移动
在获得空间坐标后，利用Rodrigues公式，以每轴0.5的间隔对旋转度进行采样，对畸变角的空间坐标进行旋转，得到新的空间坐标，形成新的空间四边形。...当新的空间四边形的线与标准透视角点得到的标准空间四边形平行时，我们就可以得到相机运动的最佳位姿。第四步是形成无畸变的新图像。...得到最佳位姿后，利用对角点像素点进行同样操作，将有畸变的图像中的每个像素转化为新的像素坐标。然后通过应用逆向变换，最终可以消除透视失真。...第三步是计算旋转和平移矩阵，以形成检测到的按钮角点的新空间坐标点。在获得空间坐标点D之后，利用Rodriguez公式旋转具有畸变角的空间坐标，以获得它们的新空间坐标点并形成新的空间四边形。 ?...也就是说，希望获得最佳的旋转和平移矩阵，以获得新的空间坐标点，这些空间坐标点构成新的四边形，其中两条线都平行于由标准坐标系的空间坐标点组成的四边形中的线。
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首先，它将所有顶点数据从眼睛坐标（相机坐标系）转换为裁剪坐标系。然后，裁剪坐标系转换到标准设备坐标系（NDC）通过除以裁剪坐标系的w分量。...请注意：视图坐标系（相机坐标系或者眼睛坐标系）定义的是右手坐标系，但是NDC（标准设备坐标系）使用的是左手坐标系。...，利用相似三角形比例计算，Xe被映射到Xp From the side view of the frustum, yp is also calculated in a similar way; 翻译：...翻译：因此，我们能够将裁剪坐标的w分量设置为-Ze，并且，把投影矩阵第四列变换成(0, 0, -1, 0)。...找到Zn和Xn、Yn有一点不同，因为在视图坐标中总是投影到-n的近平面。我们需要为唯一的z值做裁剪和深度测试，另外，我们应该能够对他取消投影（逆变换）。
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