比如你想要木头桌子,那么制造桌子的工厂就是“一套算法”。提供(输入)木头,就会得到(输出)桌子。
设 c 为一个合数,令 x 为 c 的最小非 1 因数,令 ,显然 。
埃拉托斯特尼筛法,也称为埃氏筛法(Sieve of Eratosthenes),是一种用于计算素数的古老而经典的算法。它由古希腊数学家埃拉托斯特尼(Eratosthenes)在公元前3世纪提出。
解1:小学数学没有学好,先来一下质数定义。质数又称素数。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数。暴力拆解,时间复杂度达不到,数很大时,耗时长。看解2。
今天的内容实用而且简单!素数问题是从来都是数学家热衷探索的领域,也是程序设计竞赛和 LC 中,解决数论相关问题的基础,下面本文介绍如何更科学地筛素数和一些相关的小知识。
今天这篇是算法与数据结构专题的第23篇文章,我们继续数论相关的算法,来看看大名鼎鼎的埃式筛法。
源码:https://github.com/fuzhengwei/java-algorithms
除了自身之外,无法被其它整数整除的数称之为质数,要求质数很简单,但如何快速的 求出质数则一直是程式设计人员与数学家努力的课题,在这边介绍一个着名的 Eratosthenes求质数方法。
欧拉恒等式用Pi把5个最重要的数连在一起。海森堡测不准原理包含圆周率,它表明物体的位置和速度不能同时精确测量。在许多公式中Pi是一个正态常数,包括高斯/正态分布。Reimann zeta函数取2时,收敛到一个因子Pi。
关于搜寻一定范围内素数的算法及其复杂度分析 ——曾晓奇 关于素数的算法是信息学竞赛和程序设计竞赛中常考的数论知识,在这里我跟大家讲一下寻找一定范围内素数的几个算法。看了以后相信 对大家一定有帮助。 正如大家都知道的那样,一个数 n 如果是合数,那么它的所有的因子不超过sqrt(n)--n的开方,那么我们可以用这个性质用最直观的方法 来求出小于等于n的所有的素数。 num = 0; for(i=2; i<=n; i++) { for(j=2; j<=sqrt(i); j++) if( j%i==0 ) break; if( j>sqrt(i) ) prime[num++] = i; //这个prime[]是int型,跟下面讲的不同。 } 这就是最一般的求解n以内素数的算法。复杂度是o(n*sqrt(n)),如果n很小的话,这种算法(其实这是不是算法我都怀疑,没有水平。当然没 接触过程序竞赛之前我也只会这一种求n以内素数的方法。-_-~)不会耗时很多. 但是当n很大的时候,比如n=10000000时,n*sqrt(n)>30000000000,数量级相当大。在一般的机子它不是一秒钟跑不出结果,它是好几分钟都跑不 出结果,这可不是我瞎掰的,想锻炼耐心的同学不妨试一试~。。。。 在程序设计竞赛中就必须要设计出一种更好的算法要求能在几秒钟甚至一秒钟之内找出n以内的所有素数。于是就有了素数筛法。 (我表达得不清楚的话不要骂我,见到我的时候扁我一顿我不说一句话。。。) 素数筛法是这样的: 1.开一个大的bool型数组prime[],大小就是n+1就可以了.先把所有的下标为奇数的标为true,下标为偶数的标为false. 2.然后: for( i=3; i<=sqrt(n); i+=2 ) { if(prime[i]) for( j=i+i; j<=n; j+=i ) prime[j]=false; } 3.最后输出bool数组中的值为true的单元的下标,就是所求的n以内的素数了。 原理很简单,就是当i是质(素)数的时候,i的所有的倍数必然是合数。如果i已经被判断不是质数了,那么再找到i后面的质数来把这个质 数的倍数筛掉。 一个简单的筛素数的过程:n=30。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 第 1 步过后2 4 ... 28 30这15个单元被标成false,其余为true。 第 2 步开始: i=3; 由于prime[3]=true, 把prime[6], [9], [12], [15], [18], [21], [24], [27], [30]标为false. i=4; 由于prime[4]=false,不在继续筛法步骤。 i=5; 由于prime[5]=true, 把prime[10],[15],[20],[25],[30]标为false. i=6>sqrt(30)算法结束。 第 3 步把prime[]值为true的下标输出来: for(i=2; i<=30; i++) if(prime[i]) printf("%d ",i); 结果是 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 这就是最简单的素数筛选法,对于前面提到的10000000内的素数,用这个筛选法可以大大的降低时间复杂度。把一个只见黑屏的算法 优化到立竿见影,一下就得到结果。关于这个算法的时间复杂度,我不会描述,没看到过类似的记载。只知道算法书上如是说:前几年比 较好的算法的复杂度为o(n),空间复杂度为o(n^(1/2)/logn).另外还有时间复杂度为o(n/logn),但空间复杂度为O(n/(lognloglogn))的算法。 我水平有限啦,自己分析不来。最有说服力的就是自己上机试一试。下面给出这两个算法的程序: //最普通的方法: #include<stdio.h> #include<math.h>
LeetCode原题和维基百科都有解释用到的Sieve of Eratosthenes算法。 该算法可在O(nloglogn)时间内,求出小于n的全部质数;空间复杂度为O(n). 随着n的增大。当空间有限时。维基百科还提出了一种分段筛选(segmented sieve)方法。在时间复杂度不变的情况下,将空间复杂度降为O(n^0.5).
话虽如此,我决定在CSDN新星计划挑战期间将我所了解的数据结构和算法集中起来。本文旨在使 DSA 看起来不像人们认为的那样令人生畏。它包括 15 个最有用的数据结构和 15 个最重要的算法,可以帮助您在学习中和面试中取得好成绩并提高您的编程竞争力。后面等我还会继续对这些数据结构和算法进行进一步详细地研究讲解。
还是要优化,首先分析为什么超时,发现主要的原因是从2开始每一个数都进行了素数的判断,所以说浪费了时间,在上一篇素数的判断,我们提到可以使素数*相同的倍数,来减少判断的次数。 从而引出了Eratosthenes筛选
数组 二分查找 704. 二分查找 方法1 注意: 边界控制。 前提是有序数组。 循环控制 解释: 这里使用我最好理解的一种方式。 使用mid控制下标访问,nums[mid]大于target,+1更新左边界,反之,-1更新右边界。相等即找到目标数。 while循环条件left<=right,left=right仍有需要判断的数。即目标数的索引在数组的 边界。 防止left+right过大会溢出,所以写成(right-left)/2,等同于(right+left)/2 // 时间复杂
关于素数的算法是信息学竞赛和程序设计竞赛中常考的数论知识,在这里我跟大家讲一下寻找一定范围内素数的几个算法。看了以后相信
现在的面试官,是无数开发者的梦魇,能够吊打面试官的属实不多,因为大部分面试官真的有那么那几下子。但在面试中,我们这些小生存者不能全盘否定只能单点突破—从某个问题上让面试官眼前一亮。这不,今天就来分享来了。
综上,计数排序在特定场景下(如数据范围不大、整数类型)是一种快速且高效的排序选择,但其适用场景相对有限,且空间效率较低。
不要觉得素数的定义简单,恐怕没多少人真的能把素数相关的算法写得高效。本文就主要聊这样一个函数:
这是 LeetCode 上的「786. 第 K 个最小的素数分数」,难度为「中等」。
使用一个二维数组 dp 存储点数出现的次数,其中 dp[i][j] 表示前 i 个骰子产生点数 j 的次数。
在一个长度为 n+1 的数组里的所有数字都在 1 到 n 的范围内,所以数组中至少有一个数字是重复的。请找出数组中任意一个重复的数字,但不能修改输入的数组。例如,如果输入长度为 8 的数组 {2, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 7},那么对应的输出是重复的数字 2 或者 3。
在Java编程中,对于数据存储和操作,选择正确的数据结构至关重要。在许多情况下,开发人员需要在LinkedList和ArrayList之间做出选择。虽然它们都可以存储集合元素,但它们之间存在一些重要的区别,这些区别会影响到程序的性能和行为。在本文中,我们将深入探讨LinkedList和ArrayList之间的差异,以便您能够更好地理解何时使用每种数据结构。
时间复杂度:O(N^2),其中N是数组中的元素数量。最坏情况下数组中所有数都需要被匹配 空间复杂度:O(1)
根据素数定义可知,若某个数能被其他素数整除,则其一定不为素数,因此可以依次筛掉1 ~ N中不是素数的数,剩下的即为所求。
所谓高阶函数,简单点说就是将一个函数作为另一个函数的传入参数,这样我们就称这个组合函数为高阶函数。 举个例子: map()函数能接收两个参数,一个为函数,一个为Interable。 函数f(x)=x*3,运用此函数将列表[1,2,3,4,5,6]中的元素扩大3倍。 #高阶函数 deff(x): returnx*3 y =map(f,[1,2,3,4,5,6]) print(list(y)) 输出是: [3, 6, 9, 12, 15, 18] 如果不使用“list()”,会怎样呢? #高阶函数 deff(x
面试过程通常从最初的电话面试开始,然后是现场面试,检查编程技能和文化契合度。几乎毫无例外,最终的决定因素是还是编码能力。通常上,不仅仅要求能得到正确的答案,更重要的是要有清晰的思维过程。写代码中就像在生活中一样,正确的答案并不总是清晰的,但是好的推理通常就足够了。有效推理的能力预示着学习、适应和进化的潜力。好的工程师一直是在成长的,好的公司总是在创新的。
算法的时间复杂度和空间复杂度是度量算法好坏的两个重要量度,在实际写代码的过程中,我们完全可以用空间来换时间,比如说,我们要判断某某年是不是闰年,大家可能第一时间想到的都是写一个算法来判断每次输入的年份符不符合闰年的条件.但其实还有种方法是,我们可以事先建立一个有2050个元素的数组(年数比现实略多一点),然后把所有年份按下标数字对应,如果是闰年,此数组项的值设为1,否则设为0.这样,判断某年是否是闰年,就只需要查找一下对应数组项的值就可以了.这样求闰年的时间复杂度为O(1).既然空间复杂度这么好用,接下来我们就来一起学习它的基本内容吧.
本文为简书作者郑永欣原创,CDA数据分析师已获得授权 查找和排序都是程序设计中经常用到的算法。查找相对而言较为简单,不外乎顺序查找、二分查找、哈希表查找和二叉排序树查找。排序常见的有插入排序、冒泡排序、归并排序和快速排序。其中我们应该重点掌握二分查找、归并排序和快速排序,保证能随时正确、完整地写出它们的代码。同时对其他的查找和排序必须能准确说出它们的特点、对其平均时间复杂度、最差时间复杂度、额外空间消耗和稳定性烂熟于胸。 1、内排序: 插入排序:直接插入排序(InsertSort)、希尔排序(ShellSo
在实际开发中常常遇到如下需求:判断当前元素是否存在于已知的集合中,将已知集合中的元素维护一个HashSet,使用时只需耗时O(1)的时间复杂度便可判断出结果,Java内部或者Redis均提供相应的数据结构。使用此种方式除了占用内存空间外,几乎没有其它缺点。
package main import "fmt" /** 题目如下: 给定一个整数数组 nums 和一个目标值 target,请你在该数组中找出和为目标值的那 两个 整数,并返回他们的数组下标。 你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是,数组中同一个元素不能使用两遍。 示例: 给定 nums = [2, 7, 11, 15], target = 9 因为 nums[0] + nums[1] = 2 + 7 = 9 所以返回 [0, 1] */ /** 题目思路分析: 从这个题目我们来看其实是找
题目 给定一个整数数组 nums 和一个整数目标值 target,请你在该数组中找出 和为目标值 的那 两个 整数,并返回它们的数组下标 你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是,数组中同一个元素在答案里不能重复出现 你可以按任意顺序返回答案 示例 1: 输入:nums = [2,7,11,15], target = 9 输出:[0,1] 解释:因为 nums[0] + nums[1] == 9 ,返回 [0, 1] 。 示例 2: 输入:nums = [3,2,4], target = 6 输出:[1,2
冒泡排序是一种相当简单的排序算法,它会一遍又一遍地比较相邻的元素,并且不断地交换它们,让较大的元素逐渐“冒泡”到数组的末尾。虽然说,相比起其他高级排序算法(比如快速排序或归并排序),冒泡排序在性能上是稍逊一筹的。但其实,它还是有一些特定的应用场景,特别是在局域网监控软件中也会显示出一些优势。
具体的,我们可以使用两个优先队列(堆)来维护整个数据流数据,令维护数据流左半边数据的优先队列(堆)为 l,维护数据流右半边数据的优先队列(堆)为 r。
筛法是一种简单检定素数的算法。据说是古希腊的埃拉托斯特尼(Eratosthenes,约公元前274~194年)发明的,又称埃拉托斯特尼筛法(sieve of Eratosthenes)。
前文 归并排序算法详解 通过二叉树的视角描述了归并排序的算法原理以及应用,很多读者大呼精妙,那我就趁热打铁,今天继续用二叉树的视角讲一讲快速排序算法的原理以及运用。
渐进时间复杂度(asymptotic time complexity)的概念,官方的定义如下:
Eratosthenes筛法,又名埃氏筛法,对于求1~n区间内的素数,时间复杂度为n log n,对于10^6^ 以内的数比较合适,再超出此范围的就不建议用该方法了。 筛法的思想特别简单: 对于不超过n的每个非负整数p, 删除2p, 3p, 4p,…, 当处理完所有数之后, 还没有被删除的就是素数。
在本文中,我们学习 Merge Sort 背后的逻辑,并用 JavaScript 实现。最后,在空间和时间复杂度方面将归并排序与其他算法进行比较。
Algorithm, in mathematics and computer science, is a series of well-defined specific calculation steps, which are commonly used in calculation, data processing and automatic reasoning. As an effective method, the algorithm is used to calculate functions. It contains a series of well-defined instructions, which can be clearly expressed in limited time and space. The instruction in the algorithm describes a calculation. When it is running, it can start from an initial state and initial input (possibly empty), and then through a series of limited and clearly defined states, it produces output and stops in a final state. The transition from one state to another is not necessarily deterministic. Some algorithms, including randomization algorithm, contain some random inputs
打好牢固的基础,是成就高楼万丈的基石头。在学习算法之前,我们先了解算法是什么?如何设计算法?什么才是“好”算法?如何优化算法?
程序中所有的数载计算机内存中都是以二进制存储的,位运算就是直接对整数在内存中的二进制进行操作,由于直接在内存中进行操作,不需要转成十进制,因此处理速度非常快
方法一:暴力法 暴力法很简单。遍历每个元素 xxx,并查找是否存在一个值与 target−xtarget – xtarget−x 相等的目标元素。 复杂度分析:
hashmap[num] = i #这句不能放在if语句之前,解决list中有重复值或target-num=num的情况 不过方法四相较于方法三的运行速度没有像方法二相较于方法一的速度提升。运行速度在 70ms 多
给定一个整数数组 nums 和一个整数目标值 target,请你在该数组中找出和为目标值 target 的那两个整数,并返回它们的数组下标。
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