几个2x2矩阵序列的向量化乘法 - 腾讯云开发者社区

首先我们矩阵如何影响几何变换的： 1，缩放操作观察下面的矩阵乘法 ?...经过矩阵乘法后点（2，5）的Y坐标变成了原来的两倍（2，10）。我们可以总结出这样的结论： ?...但这里并没有总结出向缩放一样的简单结论，但我们可以知道，我们可以使用如下的2X2矩阵： ? 来对点进行线性变换（旋转，缩放。...现在我们需要将几种几何变换揉合在一起，比如平移对象的同时旋转对象等，我们可以将矩阵乘法与加法揉合在一起进行混合运算。...其实我们更希望将仿射变换中的几个矩阵存储到一个矩阵中来，一种较好的方式是将变换用到的2X2矩阵变成3X3矩阵，这也就是为什么我们WPF中的变换矩阵是3X3的。在如下矩阵中： ?

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JPEG 编码过程：为 GPU 处理开路

经过上述颜色空间转换后，我们就能得到Y、U、V三个分量上的三张表。采样 4:1:1采样为例，若在一个2x2的图像中。...这里有两张傅里叶变换的经典图像: 鉴于图像在8x8的范围内相对的连续性，DCT变换能够将能量集中于低频部分，而高频部分信息肉眼不敏感，这样就使得后续对DCT变换后的矩阵进行量化减少高频信息成为可能。...量化数据量化是针对DCT变换后得到的系数矩阵进行精度处理,使用DCT系数矩阵中的每一项分别于对应的量化矩阵位置处的值相除所得到的新矩阵为量化后的结果。...一个8x8DCT变化后数据量化的示例: 针对量化后的数据需要从二维矩阵降维到一维的数组，方便进行数据编码。而由于矩阵呈现右下角数据更小更集中的趋势，在降维时采用了zigzag扫描算法。...zigzag扫描过程: 上面数据经过zigzag扫描后行程这样的序列数据编码经过zigzag扫描后的数据进行横向排布后得到这样的序列: -26,-3,0,-3,-2,-6,2,-4,1,-3,1,0,5,1,2

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清华朱军团队新作：使用4位整数训练Transformer，比FP16快2.2倍，提速35.1%，加速AGI到来！

这种MM形式，可以让我们设计更灵活的量化器，通过利用Transformer中激活、权重和梯度的特定结构，就可以更好地近似于FP32矩阵乘法。...Transformer中的所有线性运算都可以写成矩阵乘法(MM)的形式。为了便于表述，本文考虑以下简单矩阵乘法的加速：这种MM的最主要用例是全连接层。...考虑一个输入形状为(批量大小S，序列长度T，维度D)的Transformer。全连接层可以表述成上边的公式，其中X是N = STtoken的激活，W是权重矩阵。...对于注意力层，可能需要批量矩阵乘法(BMMS)。我们提出的技术可以应用于BMMS。...激活矩阵中的异常值形成了一个特征结构（feature-wise structure）。他们通常集中在几个维度上，也就是说X中只有几列显著大于其他列。

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DeepMind科学家、AlphaTensor一作解读背后的故事与实现细节

几个世纪以来，人们一直认为标准的矩阵乘法算法在效率方面已经达到最佳状态。但在1969年，德国数学家Volken Strassen表明确实存在更好的算法，震惊了数学界。...矩阵乘法的标准算法与Strassen的算法相比，后者在计算两个2x2矩阵相乘时少用了一个标量乘法（共用7次而不是8次）。...矩阵乘法及其算法的描述如上图所示，两个大小为2x2矩阵做乘法，在标准定义下总共需要 8 次标量乘法。...两个2X2矩阵乘法中Strassen算法与标准算法相比只减少了1次乘法，但是依然非常重要，因为超过2X2矩阵大小可以递归地应用该算法。...如上图，以两个2x2矩阵为例，对应的矩阵乘法张量大小为4x4x4。张量中的元素要么是 0 要么是 1，并用1指示具体的乘法。a、b维度表示读，c维度表示写。

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为内存塞不下Transformer犯愁？OpenAI应用AI研究负责人写了份指南

值得注意的是，理论上的最优量化策略与实际在硬件内核上的表现存在着客观的差距。由于 GPU 内核对某些类型的矩阵乘法（例如 INT4 x FP16）缺乏支持，并非下面所有的方法都会加速实际的推理过程。...LLM.int8 () 中的混合精度量化是通过两个混合精度分解实现的：因为矩阵乘法包含一组行和列向量之间的独立内积，所以可以对每个内积进行独立量化。...Per-embedding group (PEG) 激活函数量化的设计动机是观察到离群值仅出现在少数几个维度中。...对每个嵌入层都量化的代价非常昂贵，相比之下，PEG 量化将激活张量沿嵌入维度分成几个大小均匀的组，其中同一组中的元素共享量化参数。...(1) 对矩阵中的列进行排列可以在剪枝过程中提供更多可能，以保持参数的数量或满足特殊限制，如 N:M 稀疏性。只要两个矩阵对应的轴按相同的顺序排列，矩阵乘法的结果就不会改变。

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干货 | 深度学习之CNN反向传播算法详解

3) 卷积层是通过张量卷积，或者说若干个矩阵卷积求和而得的当前层的输出，这和DNN很不相同，DNN的全连接层是直接进行矩阵乘法得到当前层的输出。...在反向传播时，首先会把δl的所有子矩阵矩阵大小还原成池化之前的大小，然后如果是MAX，则把δl的所有子矩阵的各个池化局域的值放在之前做前向传播算法得到最大值的位置。...如果是Average，则把δl的所有子矩阵的各个池化局域的值取平均后放在还原后的子矩阵位置。这个过程一般叫做upsample。用一个例子可以很方便的表示假设池化区域大小是2x2。...δl的第k个子矩阵为: ? 由于池化区域为2x2，我们先讲δkl做还原，即变成： ? 如果是MAX，假设之前在前向传播时记录的最大值位置分别是左上，右下，右上，左下，则转换后的矩阵为： ?...以一个简单的例子说明这里求导后卷积核要翻转。假设l−1层的输出al−1是一个3x3矩阵，第l层的卷积核Wl是一个2x2矩阵，采用1像素的步幅，则输出zl是一个2x2的矩阵。

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面向对象有限元编程|数值计算类

import numpy as np a = np.mat("1,2; 3,4") #字符串生成2x2矩阵 b = np.mat([ [5,6], [7,8] ]) #列表生成2x2矩阵 c =...np.array([ [2,6], [5,8] ]) 生成的数组运算方式不同 np.array生成矩阵，用np.dot()表示矩阵乘法，星号(*)或np.multiply()表示点乘(对应元素相乘...numpy as np a = np.array([ [1, 1], [1, 1] ]) b = np.array([ [2, 2], [2, 2] ]) c = np.dot(a, b) #矩阵乘法...d = np.multiply(a, b) #对应元素相乘 e = a*b #对应元素相乘 np.mat生成矩阵，星号(*)和np.dot()表示矩阵乘法，np.multiply()表示点乘...(a, b) #矩阵乘法 e = np.multiply(a, b) #对应元素相乘矩阵索引用a[0][0]访问矩阵a中第一行第一列元素，注意索引值从0开始。

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4比特量化三倍加速不掉点！清华即插即用的SageAttention迎来升级

量化至 INT8，将 P，V 保持 FP16 精度且采用 FP16 的矩阵乘法累加器来加快 Attention 的速度。...然而，这样做的缺点是：1）INT8 的矩阵乘法只达到了一半的 INT4 矩阵乘法的速度，2）使用 FP16 的乘法累加器的 FP16 的矩阵乘法的加速只在 RTX4090 和 RTX3090 显卡上有效...这极大削减了 QK^⊤矩阵乘法的精度。...这种做法可以有效地避免 FP22 的乘法累加器沿着序列长度累积过多的误差，将 FP22 累加器带来的误差控制在 FlashAttention 分块的粒度中，提高了 FP8 的 PV 乘法的准确度。...还提出一种可选的对矩阵 V 进行平滑处理的技术，可以进一步提高 PV 矩阵乘法的准确度。

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mxnet安装及NDArray初体验

2x2 @cpu(0)> [[ 5. 6.] [ 7. 8.]] 2x2 @cpu(0)> 2.3 矩阵加法 print(x+y) [[ 6. 8....2x2 @cpu(0)> 2.5 矩阵乘法(叉乘) print(nd.dot(x,y)) [[ 19. 22.] [ 43. 50.]]...]] 2x2 @cpu(0)> 上述几个操作的公式图解： ?... 2.8 广播如果2个矩阵A,B进行运算时，行或列的数量不满足运算要求，ndarray会尝试将第2个矩阵B，自动扩容(行或列)，然后进行运算，如下面的代码示例...2x2 @cpu(0)> x是一个2行2列的矩阵，而y是1行1列的矩阵，2个矩阵进行加法运算时，ndarray会将y自动复制扩展成2行2列的矩阵，图解如下： ?

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每日论文速递 | 1-bit LLM时代：所有LLM都在1.58Bit中

提高效率：传统的16位浮点数（FP16或BF16）LLMs在矩阵乘法等操作中涉及大量的浮点加法和乘法，这在许多芯片上是计算性能的瓶颈。...BitNet b1.58通过仅使用整数加法来执行矩阵乘法，大幅节省了能量成本，并且能够实现更快的计算。...A：论文中提到了多项相关研究，这些研究主要集中在以下几个方面：低比特量化：研究如何通过降低模型权重和激活的位宽来减少LLMs的内存占用和计算成本。...传统的16位浮点数（FP16或BF16）LLMs在矩阵乘法等操作中涉及大量的浮点运算，导致能耗高。...在能量消耗方面，BitNet b1.58在7nm芯片上进行矩阵乘法时节省了71.4倍的算术运算能量。未来工作：探索1.58位LLMs在支持长序列、边缘和移动设备部署、新硬件设计等方面的潜力。

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类GPT模型训练提速26.5%，清华朱军等人用INT4算法加速神经网络训练

在本文中，清华朱军等人提出了一种使用 INT4 算法实现所有矩阵乘法的 Transformer 训练方法。模型训练得快不快，这与激活值、权重、梯度等因素的要求紧密相关。...训练 Transformer 所用的成本巨大的线性运算都可以写成矩阵乘法（MM）的形式。MM 形式使研究人员能够设计更加灵活的量化器。...这种量化器通过 Transformer 中的特定的激活、权重和梯度结构，更好地近似了 FP32 矩阵乘法。本文中的量化器还利用了随机数值线性代数领域的新进展。...前向传播在训练过程中，研究者利用 INT4 算法加速所有的线性算子，并将所有计算强度较低的非线性算子设置为 FP16 格式。Transformer 中的所有线性算子都可以写成矩阵乘法形式。...为了便于演示，他们考虑了如下简单的矩阵乘法加速。这种矩阵乘法的最主要用例是全连接层。学得的步长量化加速训练必须使用整数运算来计算前向传播。因此，研究者利用了学得的步长量化器（LSQ）。

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FlattenQuant | 推动低比特量化技术突破，大幅提升大型语言模型的计算效率和部署性能！

然而，这些细粒度的量化方法在张量内部使用不同的缩放因子，这可能会阻止线性层的计算直接使用低比特矩阵乘法，从而降低了推理速度。...然而，随着输入批处理大小和序列长度的增加，计算受限因素变得占主导地位，掩盖了内存受限的影响。在这种情况下，据LightSeq（Wang等人，2020年）报道，矩阵乘法占据了推理时间的多达80%。...因此，减轻计算受限挑战的主要方法是减少矩阵乘法所需的时间。...上述论述强调了通过减少位宽来解决大规模矩阵乘法中的计算限制性难题的可能性。在使用细粒度量化方法时，面临的一个挑战是量化单元与矩阵乘法计算的兼容性问题。...采用逐通道量化（Frantar等人，2022年）的技术，在矩阵乘法计算之前，需要将张量反量化到FP16数据类型。

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从零开始深度学习（七）：向量化

虽然有时写循环(loop) 是不可避免的，但是如果可以使用其他办法去替代计算，程序效率总是更快。来看另外一个例子。如果想计算向量，这时根据矩阵乘法的定义，有。...先回顾一下逻辑回归的前向传播，现有个训练样本，然后对第一个样本进行预测，；激活函数；计算第一个样本的预测值。然后对第二个样本进行预测，第三个样本，依次类推。。。...希望你尽快熟悉矩阵乘法，因为矩阵乘法的要求中有一条是，两个矩阵相乘，左面矩阵的列数需要等于右面矩阵的行数，也是，也是，而是，正好符合的公式，且保证了矩阵乘法的条件。...之前在讲梯度计算的时候（深度学习入门笔记（二）：神经网络基础），列举过几个例子， , , ……等等一系列类似公式。...翻新后的计算如下： ---- 前五个公式完成了前向和后向传播，后两个公式进行梯度下降更新参数。最后的最后，终于得到了一个高度向量化的、非常高效的逻辑回归的梯度下降算法，是不是？

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【科普】什么是TPU?

简单解释：专门用于机器学习的高性能芯片，围绕128x128 16 位乘法累加脉动阵列矩阵单元（“MXU”）设计的加速器。如果这句话能为你解释清楚，那就太好了！...神经网络的数据以矩阵形式排列，即二维向量。因此，我们将构建一个矩阵机(matrix machine)。而且我们真的只关心乘法累加，所以我们会优先考虑处理器通常支持的其他指令。...我们将把大部分芯片用于执行矩阵乘法的 MAC，而忽略大多其他操作。...考虑一个矩阵乘法运算： 2x2 矩阵相乘对于 2x2 输入，输出中的每一项都是两个乘积的总和。没有元素被重复使用，但个别元素被重复使用。我们将通过构建一个 2x2 网格来实现这一点。...可以看到我们已经正确计算了输出矩阵的第一项。同时，在第 2 周期中，我们还在左上角计算 CE，在右上角计算 AF。这些将通过单元格传播，到第 4 周期，将产生整个 2x2 输出。

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HLO:通过 Hadamard 低秩量化快速高效地反向传播，解决了大型多模态模型在理解长视频时所面临的调整！

通过在计算激活和权重梯度的路径上沿着序列长度或批量维度减少秩，它显著降低了反向传播的成本，这通常是前向传播的两倍。...然而，请注意，通过将空间维度视为序列长度或用替换，卷积层也可以使用相同的技巧进行优化。在前向传播中，当给定一个输入和一个权重时，输出是通过矩阵乘法产生的。...此外，哈达玛矩阵的元素要么是，要么是，这使得通过加法或减法操作简化了矩阵乘法。...通过在维度上的HLA投射到低秩频域空间。2. 投射的被量化为int8精度。3. 通过在维度上的HLA投射到低秩频域空间。4. 投射的被量化为int8。5. 执行int8矩阵乘法。6....通过在维度上的FWH投射到频域空间。4. 投射的被量化为int4精度。5. 执行int4矩阵乘法。6. 将输出反量化为fp32。

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BitNet b1.58: 革命性的1比特语言模型，性能媲美全精度Transformer

图中的下半部分给出了一个计算示例，比较了FP16模型和1比特模型在处理矩阵乘法时的差异： - 在FP16模型中，权重矩阵（W）包含16比特的浮点数，输入（X）与权重矩阵相乘，产生输出...- 在1比特模型中，权重矩阵只包含三个可能的值{-1, 0, 1}，这大大简化了乘法运算，因为这些乘法实际上变成了带符号的加法或减法（或者在乘以0时不做任何操作）。...例如: 对于矩阵中的所有元素重复这个过程，我们得到量化后的权重矩阵。步骤4：量化激活函数输出根据文档，激活函数输出的量化不需要像权重那样缩放，但是我们需要将它们缩放到特定的范围。...•能源消耗：BitNet b1.58在矩阵乘法操作上比LLaMA LLM节省71.4倍的能源。...•1.58比特LLMs可以减少部署MoE模型所需的设备数量，并显著减少网络传输激活的开销。 LLMs对长序列的原生支持 •处理长序列能力是LLMs的关键需求。

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北大&华为诺亚提出Vision Transformer的后训练量化方法

在几个基准数据集上的实验结果表明，本文的算法比现有的后训练量化方法获得了更好的性能。...H和W是原始图像的高度和宽度，（P，P）是每个图像块的分辨率，是Transformer的有效序列长度。...将MLP的输入表示为，则输出计算为：基于上面的计算，第l层Transformer的前向传播可以表示为：其中LN表示层归一化。...视觉Transformer的最大计算开销在于MSA和MLP模块中的大矩阵乘法。按照CNN的量化方法，作者对矩阵乘法中涉及的所有权重和输入进行量化。...除了这些权重，作者还量化了所有线性层和矩阵乘法运算的输入，但是不量化softmax操作和LN层，因为这些操作中包含的参数可以忽略不计，并且量化它们可能会带来显著的精度降低。

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Numpy库

线性代数函数：矩阵乘法、行列式计算、特征值分解等。...向量化操作：利用NumPy的向量化操作来替代循环，这将显著提升性能。例如，使用NumPy的np.add 、np.multiply 等函数进行数组操作，而不是逐个元素地进行加法或乘法运算。...此外，NumPy还能够进行向量化操作，如使用square进行平方计算，以及使用dot进行矩阵乘法。这些操作可以显著提升数据预处理的效率，进而提高整个模型训练过程的效率和效果。...在深度学习框架中，NumPy也被广泛应用于神经网络的训练过程中。例如，在训练神经网络时，每轮训练包括前向计算、损失函数（优化目标）和后向传播三个步骤。...像素化：将连续的像素值离散化为离散的几个颜色级别，从而实现像素化效果。

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加速AGI落地！使用4-bit整数训练Transformer，比FP16快2.2倍，提速35.1%

然而，现有的4-bit训练方法需要定制的数字格式，这是当代硬件所不支持的。 01 概要简介在这项工作中，研究者提出了一种用INT4算法实现所有矩阵乘法的transformers的训练方法。...对于前向传播，我们识别了异常值的挑战，并提出了一种Hadamard量化器来抑制异常值。对于反向传播，我们通过提出比特分割和利用分数采样技术来精确量化梯度，从而利用梯度的结构稀疏性。...在我们的训练过程中，我们使用INT4算法加速所有线性算子，并将所有计算密集度较低的非线性算子保留为16位浮点（FP16）格式。变压器中的所有线性运算都可以写成矩阵乘法（MM）形式。...Hadamard Quantization 我们提出了一种Hadamard量化器（HQ）来解决异常值问题。它的主要思想是在另一个具有较少异常值的线性空间中量化矩阵。...激活矩阵中的异常值形成了一个特征结构。它们通常集中在几个维度上，即只有少数X列比其他列大得多。Hadamard变换是一种线性变换，可以将异常值摊销为其他条目。

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卷积神经网络的压缩和加速

：如果我们不急着删去参数，而是将那些没用的参数设为0，当整个参数矩阵中有很多的0时，稀疏矩阵闪亮登场，于是矩阵的乘法可以用稀疏矩阵的乘法来代替，从而起到模型压缩和加速的效果。...此时我们仍需要回到图1左侧的示意图：对输入矩阵我们无法做分解，因为不同的前向传递中矩阵是变化的，但是参数矩阵是固定的呀，那么何不分解参数矩阵呢？...模型量化无论是网络裁枝，还是低秩估计，我们从矩阵乘法入手(图1很重要)，想方设法将参与计算的矩阵变小，直观地减少参数量和计算量。...如果我们可以用有限的几个参数来估计连续的实数域，那么就不用每个位置都存参数了，我们只需要存储有限的几个参数，和每个位置对那几个参数的索引不就行了么？...总结本文介绍了比较常见的4种卷积神经网络压缩和加速方法，其中网络裁枝与低秩估计的方法从矩阵乘法角度，着眼于减少标量乘法和加法个数来实现模型压缩和加速的；而模型量化则是着眼于参数本身，直接减少每个参数的存储空间

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清华朱军团队新作：使用4位整数训练Transformer，比FP16快2.2倍，提速35.1%，加速AGI到来！

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