大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。...一、一维梯度下降 算法思想： 我们要找到一个函数的谷底，可以通过不断求导，不断逼近，找到一个函数求导后为0，我们就引入了一个概念 学习率（也可以叫作步长），因为是不断逼近某个x，所以学习率过大会导致超过最优解...二、多维梯度下降 算法思想： 和一维梯度下降算法思想类似，只是导数由原来的一维变成现在的多维，算法思想本质没有变化，在计算导数的过程发生了变化，主要就是高数中的偏导数知识，然后通过一个方向向量，由于我们需要最小值...，在数据集较大的情况，学习率会选择比较大，为了求出梯度，我们在每次迭代的时候通过随机均匀采样计算出梯度，求其平均值，就是最后的梯度 版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。...发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/197871.html原文链接：https://javaforall.cn
对于求解函数的 局部极小值点 x*, 我们通过迭代产生一系列点，不断的逼近 x* ? 对于一个 stationary point 满足如下关系 ?...3） 还有一种收敛的描述以及对应的 停止迭代准则，因为在局部极小值位置，函数对应的一阶导数为 0， 所以收敛序列的一阶导数应该逼近 0 ?...这个超平面将空间一分为二，一半空间对应 uphill，一半对应 downhill。 我们寻找的 一半空间：向量 -f’(x)指向 downhill 对应的半空间 ?...上面的下降方法收敛的结果分三种情况：1） 找到一个 stationary point，停止于位置 xk with f’(xk )=0；2）fall into the hole；3）收敛于一个 stationary...本章介绍的下降方法和第五章介绍的牛顿方法，步长的方向根据当前位置 f(x) 属性来确定。
小样本利器2.文本对抗+半监督 FGSM & VAT & FGM代码实现上一章我们聊了聊通过一致性正则的半监督方案，使用大量的未标注样本来提升小样本模型的泛化能力。...这一章我们结合FGSM，FGM，VAT看下如何使用对抗训练，以及对抗训练结合半监督来提升模型的鲁棒性。...不过因为梯度本身是对当前位置拟合曲线的线性化，所以需要控制步长来保证局部的线性，反向传播中我们用learning rate来控制步长，这里则需要控制扰动的大小。...作者基于万能逼近定理【简单说就是一个线性层+隐藏层如果有unit足够多可以逼近Rn上的任意函数0】指出因为输出层本身不满足万能逼近定理条件，所以对输出层（linear-softmax layer)扰动一般会导致模型...以上的虚拟扰动r无法直接计算，于是泰勒展开再次登场，不过这里因为把y替换成了模型预估p，所以一阶导数为0，于是最大化KL近似为最大化二阶导数的部分而以上r的求解，其实就是求解二阶海森矩阵的最大特征值对应的特征向量
它利用目标函数的一阶和二阶导数信息，通过在当前点处近似目标函数为二次函数，逐步逼近函数的极小值。牛顿法因其快速收敛和高精度，常用于高精度问题求解。...总结： 牛顿法通过利用目标函数的一阶和二阶导数信息，能够快速逼近函数的极小值或根。在非线性系统求解竞赛中，利用牛顿法可以高效地求解复杂的非线性方程组。...通过利用目标函数的一阶和二阶导数信息，在当前点处近似目标函数为二次函数，逐步逼近函数的根。牛顿法因其快速收敛和高精度，常用于高精度问题求解。...总结： 牛顿法通过利用目标函数的一阶和二阶导数信息，能够快速逼近函数的根。在非线性系统求解竞赛中，利用牛顿法可以高效地求解复杂的非线性方程组。...总结： 割线法通过利用两个初始猜测点，逐步逼近非线性方程的根，能够在无需导数信息的情况下高效求解。在非线性方程求解竞赛中，利用割线法可以找到方程的精确解。
线性回归中 带入到Sigmoid函数中，即得到二元逻辑回归模型的一半形式： 其中 为逻辑回归的返回的标签值。假设已经训练好一组权值向量 。...形似几率取对数的本质就是线性回归，实际上是在对线性回归模型的预测结果取对数几率来让其的结果无限逼近0和1。...---- 数学基础知识准备 一元函数的导数与泰勒级数 在微积分中，函数 在点 上的导数定义: 其几何意义为函数 在点 上的切线方向 ?...步长调节损失函数下降的速率 参数迭代是靠梯度向量的大小 * 步长 来实现的，而 的降低又是靠 调节来实现的，所以步长可以调节损失函数下降的速率。...而步长太小，虽然函数会逐渐逼近我们需要的最低点，但迭代的速度却很缓慢，迭代次数就需要很多。 ?
简单来说，梯度是函数在某一点的变化率，它指向函数值上升最快的方向。而梯度下降算法则是沿着梯度的反方向，也就是函数值下降最快的方向，不断地更新当前的点，逐步逼近函数的最小值。...假设我们有一个需要优化的目标函数，对于这个函数中的每一个参数，我们都可以计算出它的偏导数，这些偏导数组成的向量就是梯度。...在多变量的情况下，原理也是类似的，只不过我们需要计算每个变量的偏导数，组成梯度向量来指导移动方向。二、海森矩阵的神秘面纱海森矩阵是一个二阶偏导数矩阵，它包含了目标函数对所有变量的二阶偏导数信息。...如果函数的曲率较小，说明函数图像相对平坦，梯度下降算法可以采取较大的步长；如果曲率较大，函数图像陡峭，步长就需要相应减小，否则可能会错过最优解甚至导致算法不收敛。...海森矩阵在判断函数的凸性方面发挥着关键作用。如果海森矩阵在函数的定义域内处处是正定矩阵，那么这个函数就是严格凸函数；如果海森矩阵是半正定矩阵，函数就是凸函数。在梯度下降算法中，知道函数的凸性非常重要。
离散化定义域： 将定义域 [a, b] 分割为若干小步，即选择合适的步长 h 。通常，较小的步长能够提高数值解的精度，但也增加计算成本。...数值方法 欧拉方法（Euler Method）： 基本思想：根据微分方程的定义，使用离散步长逼近导数，进而逼近下一个点的函数值。...公式： y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) 其中， y_n 是第 n 步的函数值， h 是步长， f(t_n, y_n) 是在点 (t_n, y_n) 处的导数。...这个过程形成了一个逐步逼近微分方程解的序列。 几何解释： 在几何上，Euler 方法的求解过程可以解释为在积分曲线上通过连接相邻点的折线来逼近微分方程的解，因而被称为折线法。...Euler 方法的误差主要来自于 h 的一阶项，因此选择较小的步长可以提高方法的精度。
离散化定义域： 将定义域 [a, b] 分割为若干小步，即选择合适的步长 h 。通常，较小的步长能够提高数值解的精度，但也增加计算成本。...数值方法 欧拉方法（Euler Method）： 基本思想：根据微分方程的定义，使用离散步长逼近导数，进而逼近下一个点的函数值。...公式： y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) 其中， y_n 是第 n 步的函数值， h 是步长， f(t_n, y_n) 是在点 (t_n, y_n) 处的导数。...X_n)}{h} = f(X_n, y(X_n)) 这个近似通过将差商等于导数的思想，将微分方程转化为递推关系式。...向后 Euler 方法的解需要通过迭代求解非线性方程，通常，可以使用迭代法，如牛顿迭代法，来逐步逼近方程的解。
关于梯度的引入，可以分为四个概念：导数 -》偏导数 -》方向导数 -》 梯度。 导数：当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数曲线上的切线斜率。 ?...偏导数：偏导其实就是多元函数一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定。因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。...那么在机器学习中逐步逼近、迭代求解最优化时，经常会使用到梯度，沿着梯度向量的方向是函数增加的最快，更容易找到函数的最大值，反过来，沿着梯度向量相反的地方，梯度减少的最快，更容易找到最小值。...调优 从算法的执行步骤来看，需要调优的地方包括： 步长：不同的场景中步长的选择需要实验和权衡，步长越长，迭代越快，有可能错过最优解，步长太小，迭代速度太慢，很长时间算法都不能结束。...随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent SGD） 不使用全量的样本来计算梯度，而使用单一样本来近似估计梯度，可以极大地减少计算量，提高计算效率。
1.2 梯度 直观理解： 首先我们来回顾一下高等数学中导数的概念，一个函数在某一点的导数是这个函数在这一点附近的变化率。如果这个变化率属于某指定方向的，则是方向导数。...是下一步到的地方， 是现在所在的地方， 是步长，不能不宜过小或过大，太小走到天黑都还没下山，太大一脚下悬崖。 那么梯度的计算公式是怎么来的呢？...： 上式可理解为二阶导数近似等于其二阶差分。...由拉普拉斯矩阵为半正定矩阵可以定义其二次型^[5] 我们称 为图信号的总变差，其将各边上信号的差值求和，相当于刻画了图信号整体的平滑度。...有了图傅里叶变换定义后，再改写一下总变差： 是特征值， 是图信号对应的傅里叶系数，所以上式表达的是总变差相当于权重为图的傅里叶系数的平方的所有特征值的线性组合。
SGD通过不断地迭代更新参数，以期望逐渐逼近全局最优解或局部最优解。牛顿法的基本原理牛顿法是一种基于二阶导数的优化算法，它通过构造一个二次函数来近似目标函数，并求解这个二次函数的极小值点来更新参数。...通过不断地迭代这个过程，我们可以逐渐逼近目标函数的最小值点。需要注意的是，牛顿法要求目标函数的二阶导数存在且连续，同时初始点也要足够接近最优解，以保证算法的收敛性。...这些算法通常使用梯度的一阶矩（即梯度的平均值）和二阶矩（即梯度的平方的平均值）来估计参数的更新方向和步长。通过这些统计量，算法可以自动调整学习率，使其在不同参数和不同时间点上具有不同的值。...与二阶导数的关系：自适应学习率算法与二阶导数有密切的关系。具体来说，二阶导数反映了损失函数在当前参数值下的曲率信息，即损失函数在不同方向上的变化率。...然而，SGD算法不会考虑二阶导数f''(x)=2的信息，因此可能会在不同的x值上产生不同的更新步长，导致收敛速度较慢或震荡较大。
我们知道想要走与导数相反的方向(因为我们试图避开误差) ，并且希望步长与导数成比例。这个步长由一个称为学习率的参数控制。...新权重是旧权重和新步长的和，步长由损失函数以及相关参数对学习率的影响程度决定。 较快的学习速度意味着对导数赋予较大的权重，这样算法的每次迭代都可以进行较大的步长。...较小的学习速度意味着对导数的权重较小，因此每次迭代可以采用较小的步长。 如果步长过小，则算法需要较长时间收敛，如果步长过大，则算法将不断错过最优参数的选择。...更复杂的网络 双节点神经网络对大多数应用都不适用。通常，我们会用神经网络去逼近一个难以用传统方法描述的复杂函数。 神经网络要遵循万能近似定理，这一点十分特殊。...我们所要设计的网络架构，要凭借最少的数据，用相对较少的计算能力，就能实现高精度。 更令人吃惊的是，仅仅一个隐藏层就足以逼近任意精确度的任意函数。
这里 t 相当于层级 l 的连续化，如果 l 趋向于无穷小，那么按照导数的定义，z_l+1 与 z_l 两层之间的差就趋向于 z 对 t 的导数。...FractalNet 以自相似性为基准设计架构，它会重复引用简单的扩展规则，从而生成结构为截断分形（fractal）的深度网络。...他表明加上这种结构，残差网络只需要一半的参数量就能达到相同的训练效果，这表示新结构使卷积网络的训练更高效与稳定，希望了解的读者可查阅董老师的原论文。...ODENet 就采用了一种适应性 ODESolver 代替前向传播过程，它不像欧拉法移动固定的步长，相反它会根据给定的误差容忍度选择适当的步长逼近真实解。...图源：arXiv: 1806.07366 所以 ResNet 采用的是固定的步长 1，适应性 ODESolver 可以自动估计不同的步长，它的自由度和误差控制都更强一些。
图像导数实战） ?...ROF模型的数学基础和处理技巧非常高深，有兴趣的读者可以自学深入了解，本文只是做一个简单介绍。 ROF模型 一副图像I的全变差（Total Variation,TV）定义为梯度范数之和。...在连续表示的情况下，全变差表示为： ? 在离散表示的情况下，全变差表示为： ? 其中，上面的式子是在所有图像坐标x=[x,y]上取和。...（b） 图中（a）为经过高斯模糊的图像，（b）为经过ROF模型去噪后的图像 在上面代码中，输入为含有噪声的灰度图像、U 的初始值、TV 正则项权值、步长、停业条件；输出：去噪和去除纹理后的图像、纹理残留...顾名思义，在一个坐标轴上，它循环“滚动”数组中的元素值。该函数可以非常方便地计算邻域元素的差异，比如这里的导数。
学得模型对应了关于数据的某种潜在的规律，因此亦称“假设”(hypothesis)；这种潜在规律自身，则称为“真相”或“真实”(groun truth)，学习过程就是为了找出或逼近真相。...当H(x)最优映射接近identity时，很容易捕捉到小的扰动。右边这种结构称为残差网络的残差块，用此模型堆叠能保证模型深度更深，同时收敛快，梯度消失能更好的解决?...在进行梯度下降优化的时候，需要对x求偏导?因此在此小模块上导数永远大于1，梯度消失是因为导数接近于零无法继续传播，如果每层梯度都大于1，乘积一定大于1。...因此这么操作后F(x)只拟合出残差函数，这样即使F(x)的导数很小时，强制让网络去拟合小的梯度扰动，网络很轻松的就能拟合，具体的残差块如下图?...全是3x3的卷积核，卷积步长2取代池化，使用Batch Normalization，取消max pooling、全练级、Dropout，整个网络为??
三、微分学 微分学的核心思想: 逼近. 1、函数导数： 如果一个函数 f(x) 在 x0 附近有定义，而且存在极限。 ? 那么 f(x) 在 x0 处可导且导数 f ′ (x0) = L. ...无穷小量表述: 线性逼近。 ? Definition (函数的高阶导数) 如果函数的导数函数仍然可导，那么导数函数的导数是二阶导 数，二阶导数函数的导数是三阶导数. 一般地记为 ? 或者进一步 ?...导数是对函数进行线性逼近，高阶导数是对导数函数的进一步逼 近，因为没有更好的办法，所以数学家选择继续使用线性逼近. Example (初等函数的导数) ? 2、微分学：多元函数 ?...6.总结 微分学的核心思想是逼近. 一阶导数：线性逼近 二阶导数：二次逼近 导数计算：求导法则 四、泰勒级数 1、泰勒/迈克劳林级数: 多项式逼近。 ? 2、泰勒级数: 例子 ?...把如上定义中的 ≤ 换成 <, 那么这个函数就叫做严格凸函数。 2、(凸函数判断准则) ? 如果 f 是多元函数,x 是个向量, 那么 f 是凸函数的条件变为Hf 是一个半正定矩阵。
最优化算法的一种，解决无约束优化问题，用递归来逼近最小偏差的模型。...关于梯度的概念可参见以前的文章： 从方向导数到梯度 梯度下降法迭代公式为： image.png x为需要求解的 值，s为梯度负方向，α为步长又叫学习率 缺点：靠近极小值的时候收敛速度比较慢...；可能会”之字形”的下降；不太 适合处理比较复杂的非线性函数问题。...实例： 用梯度下降的迭代算法，来逼近函数y=x**2的最值 代码如下： import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib...，步骤如下： image.png 如何选择梯度下降的步长和初始值 不同的步长得表现： image.png image.png
BP网络函数逼近 题目选择2) 流程图如下 源代码 // //题目函数逼近（2）z=sin（x）sin（y） // ///头文件 #include #include #include #include #include #include //本BP网络采用三层神经网络，并且隐含层的结点数为...3.样本数量为225 /定义全局变量// double step=0.5,f,ne;//定义学习步长、平均误差 int pass=0,i,j,k; double sigmoid(double x);//...作用函数为S型函数 double DER_sigmoid (double z);//作用函数的导数 double x[225][2]={0.0};//样本输入 double X[225][3]={0};...double O2[225][3]={0.0};//第二层的输出 double X2[225][4
已经证明，只要激活函数选择得当，神经元个数足够多，使用3层即包含一个隐含层的神经网络就可以实现对任何一个从输入向量到输出向量的连续映射函数的逼近，这个结论称为万能逼近（universal approximation...，通过它们构造函数F(x)作为函数f的逼近： ? 对任意的 ? 满足： ? 万能逼近定理的直观解释是可以构造出上面这种形式的函数，逼近定义在单位立方体空间中的任何一个连续函数到任意指定的精度。...文献[11]中定义了激活函数饱和性的概念，并对各种激活函数进行了分析，给出了改进措施。如果一个激活函数满足： ? 即在正半轴函数的导数趋向于0，则称该函数为右饱和。类似的如果满足： ?...即在负半轴函数的导数趋向于0，则称该函数左饱和。如果一个激活函数既满足左饱和又满足右饱和，称之为饱和。如果存在常数c，当x>c时有： ? 则称函数右硬饱和；当x<c时有： ? 则称函数左硬饱和。...该函数在0点出不可导，如果忽略这一个点其导数为sgn。函数的导数计算很简单，而且由于在正半轴导数为1，有效的缓解了梯度消失问题。在ReLU的基础上又出现了各种新的激活函数，包括ELU、PReLU等。
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。...差商即均差，一阶差商是一阶导数的近似值。对等步长(h)的离散函数f(x)，其n阶差商就是它的n阶差分与其步长的n次幂的比值。...例如n=1时，若差分取向前的或向后的，所得一阶差商就是函数的导数的一阶近似；若差分取中心的，则所得一阶差商是导数的二阶近似。...对一个f(x)可以构造差商表来递推的给出差商 计算的公式就是这样，因为是重复同一种范式，所以程序实现可以使用递归 事实上我们应该给出一点更加规范的论证(不就是个导数） 有了上面的定义，作用是给出每一项的系数...二阶的前向差分后和后向差分都在这里了 牛顿插值作为一种常用的数值拟合方法，因其计算简单，方便进行大量插值点的计算。
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