图的定义 图G是由集合V和E组成，记成 G =（V，E）。其中：V为顶点集，不可为空；E为边集，可为空。边是顶点的有序对或无序对，它反映了两顶点之间的关系。 (1). 有向图：边是顶点的有序对的图。...弧：有向图中，顶点 Vi 到顶点 Vj 的边，记作，Vj为弧头箭头端；Vi弧尾无箭头端。 3. 完全图 (1). 无向完全图：边数=n*(n-1)/2的无向图，其中n为顶点数。...路径 图中顶点Vp至Vq的路径是顶点序列 { Vp,Vi1,Vi2,…,Vin,Vq }， 且对无向图，边(Vp,Vi1),(Vi1,Vi2),…,(Vin,Vq)属于VR(G)； 或对有向图，弧<Vp...路径长度：路径上边或弧的数目。 11. 简单路径：除第一个和最后一个外，其余各顶点均不 相同的路径。 12. 回路：第一个和最后一个顶点相同的路径，也称环，回路中可以有多个圈。 13....简单回路：第一个和最后一个顶点相同的简单路径，简单回路只能有一个圈。 14. 连通：无向图中，若从顶点Vi到Vj顶点有路径，则称Vi和Vj是连通的。 15. 连通图和连通分量 ? 16.
图还可以细分为无向图和有向图，其实很好区分，如果AB两个点之间的连线是无向的，那就默认代表A可以到达B，B也可以到达A，那这样的图就是无向图，如果AB两个点之间的连线是有向的，比如A指向B，那就代表只能...最小生成树通常针对的其实是无向连通图，而求解最小生成树已知的两种算法是kruskal和prim算法，理解完两种算法的思想和实现方式之后，再来讨论为什么最小生成树通常针对于无向连通图，如果应用到有向连通图上呢...最小生成树其实就是将图中的所有顶点通过边连通起来，我们当然可以选择任意条不超过图中边总数的边来将各个顶点连接起来，但最小生成树指的是在无向连通图中选择顶点个数-1条边将所有顶点连接起来，同时这些边的权值之和是连通所有顶点需要边的权值之和中最小的...(先不谈是有向还是无向)，因为如果不是连通图，顶点是一定没有办法通过边来连通起来的，一定会有顶点是孤立的岛，所以最小生成树算法的使用前提是连通图必须是连通图，通常是用于无向的连通图，有向连通图也可以使用...，例如接下来随机或者轮询的选择某一个未确定的顶点作为新的出发点，然后继续向后选边，实现起来可能稍微要比无向连通图麻烦一些。
简介 有向图：若E是有向边（也称为弧）的有限集合时，则称为G为有向图 无向图：若E是无向边（简称边）的有限集合时，则图G为无向图 完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称为该图为无向完全图...路径、路径长度和回路：路径上边的数据称为路径的长度。第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。如果一个图有n个顶点，并且有大于n-1条边，则图一定有环。...因此，在实际存储邻接矩阵时只需要存储上（或下）三角矩阵的元素即可 对于无向图，邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数正好是第i个顶点的度；对于有向图，邻接矩阵的第i行（或第i列）非0元素的个数正好是第...又生成树T中所有边可以看做一个等价类，每次添加新的边的过程类似于求解等价类的过程，由此可以采用并查集的数据结构来描述T，从而构造T的时间复杂度为O(|E|log₂|E|) ，因此克鲁斯卡尔算法适合边稀疏而顶点多的图...拓扑排序：在图论中，由一个有向无环图的顶点组成的序列，当且仅当满足以下条件时，称为该图的一个拓扑排序。
欧拉图的判定法： 无向图是欧拉图当且仅当：非零度顶点是连通的；顶点的度数都是偶数。 无向图是半欧拉图当且仅当：非零度顶点是连通的；恰有 2 个奇度顶点。...有向图是欧拉图当且仅当：非零度顶点是强连通的；每个顶点的入度和出度相等。...有向图是半欧拉图当且仅当：非零度顶点是弱连通的；至多一个顶点的出度与入度之差为 1；至多一个顶点的入度与出度之差为 1；其他顶点的入度和出度相等。 2....可发现节点 2 有未遍历的边，则从 2 出发开始遍历，找到一个包含 2 的新回路，将结果序列中的一个 2 用这个新回路替换，此时结果序列仍然是一个回路。这是和Fleury算法最大区别。...总结 Hierholzer和Fleury算法的基本思路差不多，在DFS时找环。Fleury使用分段策略，找到一条环后，以环中某一个还存在邻接边的节点重新开始使用DFS找环，直到找到所有环。
边可以有方向也可以没有方向，有方向的边又可分为单向边和双向边。 如下图（顶点1）到（顶点2）之间的边只有一方向（箭头所示为方向），称为单向边。类似现实世界中的单向道。...如上图中的 (V1, V2, V3, V1) 就是一个环。 图的类型： 综上所述，图可以分为如下几类： 有向图： 边有方向的图称为有向图。 无向图： 边没有方向的图称为无向图。...加权图： 边上面有权重信息的图称为加权图。 无环图： 没有环的图被称为无环图。 有向无环图： 没有环的有向图，简称 DAG。...addertex( vert )：向图中添加一个新节点，参数应该是一个节点类型的对象。 addEdge(fv，tv )：在 2 个项点之间建立起边关系。...无权重边的添加： /* * 添加顶点与顶点之间的关系 * 无向图 */ template void Graph::addEdge(T from,T to) { //检查结点是否存在
E中的元素称为有向边 图的属性 通常用G表示无向图，用D表示有向图。...如果该图只有一个顶点，则称它为1阶零图，也称为平凡图 环 在无向图G中，如果存在e={v1,v2}，则称v1和v2相邻，且v1,v2是e的端点。如果v1=v2，则称e为环。...它在图中的直观体验就是走了一圈又走回来了。如果Γ中出现重复的边，则Γ又被称为复杂通路或复杂回路 在无向图中，如果顶点u,v之间存在通路，则称u，v是连通的。...中没有回路，但是在任意两个不同的顶点之间加一条边后所得的图中有唯一的一个含新边的圈 森林 如果一个无向图G的所有连通分支都是树，则称G为森林。...一棵树也是森林 有向树 如果一个有向图的基图是无向树，则称这个有向图为有向树 根树 如果有向树中有且只有一个顶点的入度为0，其它顶点的入度都是1，则称这个有向树为根树 在根树中，如果存在边e=<u,
在图的概念中，点的空间位置，边的区直长短都无关紧要，重要的是其中有几个点以及那些点之间有变相连。 图1：图示例 2有向图和无向图 最基本的图通常被定义为“无向图”，与之对应的则被称为“有向图”。...两者唯一的区别在于，有向图中的边是有方向性的。 图2：有向图和无向图 注：上图左边为无向图，右边为有向图。黑色加粗部分表示边的方向。比如：1—>2便是边是1到2这个方向。 ...比如上图2：左边无向图顶点2的度是3.右边有向图点点2的出度是2，入度是1. 4图的连通性 在图G中，若顶点u，v之间有路（即找到有u到v之间相连的边）则称u，v连通。...如果路径上的第一个顶点与最后一个顶点重合，这样的路径称为回路(cycle)或环或圈。比如下图中：（1，2，3，4，5，1），（1，2，3，1），（1，3，4，5，1）等都是简单路径。 ...如果边的节点不存在，则添加新节点 G.add_edges_from([(2, 1), (5, 1), (0, 4), (3, 4)]) #添加多条边基于上面添加的节点和边绘制有向图和无向图如下： 注
方向起始的顶点称为起点或尾（弧尾）。方向指向的顶点称为终点或头（弧头）。 如果图中的边没有方向性，即每条边都是顶点的无序偶对，称之为无向图（undirected graph）。 ?...对于有向图路径也是有向的，路径的方向只能是从起点到终点，且与它经过的每一条边的方向一致。 路径上的边或弧的数目称之为该路径的长度。 除始点和终点外，其他各顶点均不同的路径称之为简单路径。...(e); //在图中删除特定的边 insert(v); //在图的顶点集中添加一个新顶点 insert(e); //在图的边集中添加一条新边 areAdjacent(u,v); //...无向图不支持此操作 criticalPath(); //求有向无环图的关键路径。...此时D(|V|)[i][j]即为带权图中任意两个顶点vi到vj的最短距离。 6、拓扑排序 有向无环图（directed acyclic graph）是指一个无环的有向图，简称DAG。
边可以有方向也可以没有方向，有方向的边又可分为单向边和双向边。 如下图（项点1）到（顶点2）之间的边只有一方向（箭头所示为方向），称为单向边。类似现实世界中的单向道。...可以说路径是由边连接的顶点组成的序列。因路径不只一条，所以，从一个项点到另一个项点的路径描述也不指一种。 在图结构中如何计算路径？ 无权重路径的长度是路径上的边数。...如上 (V1, V2, V3, V1) 就是一个环。 图的类型： 综上所述，图可以分为如下几类： 有向图： 边有方向的图称为有向图。 无向图： 边没有方向的图称为无向图。...加权图： 边上面有权重信息的图称为加权图。 无环图： 没有环的图被称为无环图。 有向无环图： 没有环的有向图，简称 DAG。...add_vertex( vert )：向图中添加一个新节点，参数应该是一个节点类型的对象。 add_edge(fv，tv )：在 2 个项点之间建立起边关系。
图主要包括： 无向图，结点的简单连接 有向图，连接有方向性 加权图，连接带有权值 加权有向图，连接既有方向性，又带有权值 图是由一组顶点和一组能够将两个顶点相连的边组成。...简单有向环：一条不含有重复顶点和边的环。 路径或环的长度就是他们包含的边数。 图的连通性在有向图中表现为可达性，由于边的方向性，可达性必须是通过顶点出发的边的正确方向，与另一个顶点可连通。...下面代码实现一个有向图数据结构，并添加常用有向图属性和功能。...Tremaux搜索 完全探索一个迷宫的规则是：从起点出发，不走重复路线，走到终点走出迷宫。具体流程： 每当第一次到达一个新的顶点或边时，标记上。...有向无环图 不包含有向环的有向图就是有向无环图，DAG，Directed Acyclic Graph。
1，图的组成 图的基本组成是顶点(vertex)和边(edge). 2，图的分类 有向图和无向图：根据边是否有方向，图可以分成为有向图和无向图。有向图的边从源顶点出发，指向目标顶点。...在无向图中，一个顶点上的边的数量叫做这个顶点的度。在有向图中，一个顶点上出发的边的数量叫做这个顶点的出度，汇集到一个顶点上的边的数量叫做这个顶点的入度。...有环图和无环图：如果有向图中存在一些边构成闭合的环，称为有环图，反之为无环图。有环图上设计算法需要考虑终止条件，否则算法可能会沿着环永远循环下去。...我们考虑使用迭代算法计算每个顶点和离它最远的源顶点的距离。假设图是无环图。 算法基本过程如下： 1，给每个顶点赋初始属性值0。 2，每条边向其目标顶点发送消息，消息值为该边源顶点的属性值+1。...pregel在迭代的每一步都会生成一个新的图，直到没有新的消息产生或达到最大迭代次数退出。 重点讲解一下activeDirection，它是边的活跃状态的控制参数。
bool ever[N];//当前节点最短路有没有确定 int n,m; void AddEdge(int x,int y,int z)//添加新的边和节点：x到y边长z { cc++;...]=dis[edge[j].a]+edge[j].c; } } } 5.A*算法： 这玩意儿我是没看懂，等以后我看懂了再更吧（无奈脸）~ 七、拓扑排序： 对一个有向无环图...强连通图：有向图中，任意一对点都满足强连通，则这个图被称为强连通图。 强联通分量：有向图中的极大强连通子图，就是强连通分量。...欧拉回路：在欧拉路径的基础上回到起点的路径（从起点出发一笔画遍历每一条边）。 欧拉路径存在： 无向图：当且仅当该图所有顶点的度数为偶数 或者 除了两个度数为奇数外其余的全是偶数。...有向图：当且仅当该图所有顶点 出度=入度 或者 一个顶点 出度=入度+1，另一个顶点 入度=出度+1，其他顶点 出度=入度 欧拉回路存在： 无向图：每个顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。
简单路径：没有重复顶点的路径 环：至少含有一条边，并且起点和终点都是同一个顶点的路径 简单环：不含有重复顶点和边的环 无环图：是一种不包含环的图 连通图：如果一个图中，从任意顶点均存在一条路径可以到达另一个任意顶点...例如，地图应用中必须存储单行道的信息，避免给出错误的方向。如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，这个图就是有向图。如果有一个非有向无环图，且A点出发向B经C可回到A，形成一个环。...将从C到A的边方向改为从A到C，则变成有向无环图，即DAG。 按照数学上的定义，DAG是一个没有有向循环的、有限的有向图。...可以根据拓扑排序来计算有向无环图（的单源最短路径），因为拓扑排序正好是建立在无环的基础上，在这个图中没有负权重边以及回路边。...拓扑排序的特点如下：（1）所有可以到达顶点v的顶点u都位于顶点v之前；（2）所有从顶点v可以到达的顶点u都位于顶点v之后。 另外，只有有向无环图才存在拓扑排序，一个图的拓扑顺序不唯一。
一个有向无环图（或 DAG）是一个没有有向循环的有向图。 有向图数据类型。 我们实现了以下有向图 API。 关键方法 adj() 允许客户端代码遍历从给定顶点邻接的顶点。...给定一个有向图，设计一个算法来找到具有最少边数的有向循环（或报告图是无环的）。你的算法在最坏情况下的运行时间应该与E V成正比。...混合图是具有一些有向边和一些无向边的图。设计一个线性时间算法来确定是否可以定向无向边，使得结果有向图是无环的。...通过将问题制定为带权有向无环图中的最长路径问题，可以解决此问题：创建一个带权有向无环图，其中包含一个源 s，一个汇 t，以及每个作业的两个顶点（一个起始顶点和一个结束顶点）。...通过按拓扑顺序放松顶点，我们可以在时间复杂度为 E + V 的情况下解决带权有向无环图的单源最短路径和最长路径问题。 一般带权有向图中的最短路径。
当然，在无向图中，这也意味着顶点 u u u与顶点 v v v邻接。 关联(incidence)：关联是边和顶点之间的关系。...无向图中，顶点的度就是与顶点相关联的边的数目，没有入度和出度。...说白了，这一趟路里没有出现绕了一圈回到同一点的情况，也就是没有环。 图1-3：四顶点的有向带环图3 环：包含相同的顶点两次或者两次以上。...无环图：没有环的图，其中，有向无环图有特殊的名称，叫做DAG(Directed Acyline Graph)（最好记住，DAG具有一些很好性质，比如很多动态规划的问题都可以转化成DAG中的最长路径、最短路径或者路径计数的问题...数据成员： 边的数量 顶点的数量 由vector和set构成的图结构 功能： 添加边 删除边 添加顶点 删除顶点 判断是否有邻接关系 返回顶点的邻接集：不推荐直接使用这个，建议用迭代器 迭代器begin
# 图 在计算机科学中，一个图就是一些顶点的集合，这些顶点通过一系列边结对（连接）。顶点用圆圈表示，边就是这些圆圈之间的连线。顶点之间通过边连接。...有向图 - 如果给图的每条边规定一个方向，那么得到的图称为有向图。 无向图 - 边没有方向的图称为无向图。...入度（In-degree）和出度（Out-degree） - 对于有向图来说，一个顶点的度可细分为入度和出度。...一个顶点的入度是指与其关联的各边之中，以其为终点的边数；出度则是相对的概念，指以该顶点为起点的边数。 自环（Loop） - 若一条边的两个顶点为同一顶点，则此边称作自环。...桥（Bridge） - 若去掉一条边，便会使得整个图不连通，该边称为桥。 如果图的边没有方向性，则被成为无向图。
有向无环图：一个有向图中不存在环，则称为有向无环图，简称DAG图。...AOV网：如果用DAG图表示一个工程，其顶点表示活动，用有向边表示活动Vi必须先于活动Vj进行的这样一种关系，则将这种有向图称为顶点表示活动的网络，记为AOV网。...拓扑排序：在图论中，由一个有向无环图的顶点组成的序列，当且仅当满足下列条件时，称为该图的一个拓扑排序。 ①每个顶点出现且只出现一次。...或者定义为： 拓扑排序是对有向无环图的顶点的一种排序，它使得如果存在一条从顶点A到顶点B的路径，那么在排序中顶点B出现在顶点A的后面。每个DAG图都有一个或多个拓扑排序序列。...对一个DAG图进行拓扑排序的算法： ①从DAG图中选择一个没有前驱的顶点并输出。 ②从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。 ③重复①和②直到DAG图为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。
虽然有圈图没有拓扑序列，但是我们可以利用拓扑排序的算法来判断一个有向图是否有圈。 算法描述如下： 1. 将所有入度为0的顶点放入队列； 2....若某个相邻顶点入度为0，将其放入队列中，返回第2步； 5. 若counter == N也就是所有顶点均访问到，说明排序完成。否则，说明总 有顶点入度不为0，没有放入队列中，即该有向图有圈。...DFS 关于DFS的介绍请戳我，通过稍微修改DFS，利用递归的特点，也可以判断有向图是否有圈。...图解如下（好吧，画的有点丑，将就看吧(●'◡'●)）： 样例一（有环）： 3 3 1 2 2 3 3 1 ? 样例二（无环）： 3 3 1 2 2 3 1 3 ?...\n"); } return 0; } 上述利用DFS判断有向图是否有圈实际上是利用了深度优先生成树的性质：有向图无圈当且仅当其深度优先生成树没有回退边， 而上述算法中的vis[graph
problem-solving-with-algorithms-and-data-structure-using-python 中文版 7 图和图的算法 顶点 边 权重 路径 循环 没有循环的图形称为非循环图...没有循环的有向图称为有向无环图或DAG。...图抽象数据类型如下： graph()创建一个新的空图 addVerter(vert)向图中添加一个顶点实例 addEdge(fromVert,toVert)向链接两个顶点的图加一个新的有向边 addEdge...(fromVert,toVert,weight)向连接两个顶点的图添加一个新的加权的有向边 getVertex(vertKey)在图中找到名为vertKey的顶点 getVertices()返回图中所有顶点的列表...拓扑排序采用有向无环图，并且产生所有其顶点的线性排序，使得如果图 G 包含边（v，w），则顶点 v 在排序中位于顶点 w 之前。定向非循环图在许多应用中使用以指示事件的优先级。
第三代，DAG(有向无环图，属于数学中的图论部分)。...DAG——有向无循环图，图论/算法中有时也称有向无环图为DAG ( Directed Acyclic Graph)。所谓有向无环图是指：任意一条边有方向，且不存在环路的图。...首先它是一个图，然后它是一个有向图，其次这个有向图的任意一个顶点出发都没有回到这个顶点的路径，是为有向无环； DAG不一定能转化为树，但是树一定是一个DAG； DAG可以执行拓扑排序。...不存在全局的区块链， 这里是一个 DAG（有向无环图），也称之为 Tangle（缠结）。通过节点发出的所有交易构成了这个有向无环图 DAG 的集合。...并且参与者越多，整个系统也会变得越来越安全和快速，确认时间会缩短，交易也完成的越来越快。 共识机制：区块链中添加下一个区块需要多方进行竞争，并获取区块奖励或交易手续费。
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