代表球运动方向的向量是 太空中的球位置从初始点开始，然后在 τ 时间内移动，因此直线惯性空间的轨迹为 我们可以绘制这些轨迹。请看下面左侧图中的线。 更有趣的是观察旋转坐标系中的轨迹。...在本节结束时，您会理解我为什么选择这个路径。...我的困惑往往源于我们使用具有实际力作用的物理系统这一事实。就像在飓风的情况下一样，有一部分空气远离旋转轴（赤道附近），有一部分接近旋转轴（赤道以北或北）。这对我来说似乎不是“虚构”的。...总结 在我们这里发现的方程T中还有很多需要探索和理解的地方。例如，回到上面的“旋转和非旋转”操纵对象，再次运行这条线，并输入τ = 0.3。在旋转坐标系中你会发现一个很有趣的结果。...我在Mathematica和现实生活中用我的身体深入研究了这些方程。
在数字世界的边缘，有一座神奇的城市，这座城市由无数个数据点和向量构成，街道上流淌着数不清的数组和矩阵。在城市的中心，耸立着一座巨大的科学计算塔，它的外墙是由数学符号和代码构成，散发着闪烁的数字光芒。...它提供了高效的数组对象和各种操作数组的函数，是很多其他科学计算库和数据分析库的基础。...在许多机器学习算法中，特征缩放是一个重要的步骤，目的是将数据特征进行归一化处理，使得不同特征之间具有相似的数值范围，从而提高算法的性能和收敛速度。 假设我们有一个数据集，其中包含两个特征：年龄和收入。...NumPy在物理建模中的应用 有时候，在现实世界中的一些物理规律，我们需要通过有规则的线条来表示出来，那么就也需要用到NumPy这个库了，比如我们需要知道摆锤的运动过程，随时间变化的过程中摆角一些变化规律...这里NumPy的主要作用就是初始化了两个数组theta 和omega，分别用于存储摆锤的角度和角速度。当然需要用到matplotlib这个第三库，来输出摆锤的运动轨迹。以下是这个程序的输出：
早期的应用主要集中在物理学和工程学中，随着计算机科学的发展，多重积分在机器学习和数据科学中的应用变得越来越广泛。...2.1.2 偏微分方程（PDE） 偏微分方程涉及多个自变量，且包含未知函数的偏导数。偏微分方程在物理学、工程学和机器学习中有重要应用。...(2x) + C_2 \sin(2x) 实例分析： 特征方程法在振动分析、电路理论等领域有广泛应用，特别是在处理具有周期性解的方程时非常有效。...这体现了动态系统的稳定性，即系统在经过一段时间后，状态趋于稳定的平衡点。 通过这个实战项目，我们深入了解了多重积分与微分方程的计算方法及其在机器学习中的应用。...以上就是关于【机器学习】因微知著，穷数通灵：微积分与机器学习的量化之美内容啦，各位大佬有什么问题欢迎在评论区指正，或者私信我也是可以的啦，您的支持是我创作的最大动力！❤️
： 我们使用subplots例程创建一个新的图和每个子图中的所有Axes对象的引用，这些子图在一个行和两个列的网格中排列。...它们在工程和物理学中非常常见，并且自然地出现。一个经典的（非常简单）微分方程的例子是牛顿提出的冷却定律。物体的温度以与当前温度成比例的速率冷却。...3.3中： 图 3.3：在显示一般行为的 quiver 图上绘制的解轨迹 它是如何工作的… 用于一组常微分方程的方法与单个常微分方程完全相同。...箭头的长度表示梯度的大小；箭头越长，解决方案曲线在该方向上移动得越“快”。 当我们在这个方向场上绘制解的轨迹时，我们可以看到曲线（从该点开始）遵循箭头指示的方向。...x) 从物理上讲，这个函数代表了杆上每个点的外部热源（或者热池）。
最后我们都可以将系统的动力学方程写成如上 的形式。后续我们并不会很关注如何获取这个系统动力学方程，而是更多关注有了这个方程之后，我们可以做什么。...当然杨硕博士也举了三个动力学方程的例子，来展示动力学方程具体是怎么获得的。 第一个是下落的球： 这两个例子不用细说，大家仔细看一下题目和公式，有高中物理学知识就能看明白。...我们在它的不稳定平衡点，即竖直点做一个线性化，即状态取[0,0,pi,0]，此时 ，把这个小量等式代入动力学方程，化简就可以得到如下图的线性化方程，原方程中的二次项因为sinpi = 0而消失。...微分动态规划的优点有：能获得最优轨迹，也能获得最优的反馈控制器；局部LQR问题的求解可以并行化，能达到非常高的求解速度；据说（我自己并没有实验验证过），比其他方法有更好的数值精度。...因子图中的每一个因子都是一个高斯分布，因为每个因子都是条件概率，所以所有因子总共的概率为因子的积。由下图中的推导，由于是高斯分布，我们可以把这个情况下的最大后验概率转化成一个矩阵的最小二乘问题。
比值的周期是根据物理过程确定的。这个方法我就不具体展开了，大家如果感兴趣可以看我们 2021 年发表的论文 TgDLF。...如果数据量不足，或者数据不准确，或者在外推的情况下，控制方程的作用就非常重要了。但是，方程的作用也不是孤立的。如果给了个方程，实际上如同给了一个轨迹，一个很复杂的轨迹，而且是满天飘的不确定的。...我们还必须有边界条件或者初始条件，才能把方程限定在一个正确的轨道上面。如果没有这些边界条件，初始条件，那么这个轨迹便是飘飘忽不定的。 我们举个例子说明知识的重要性。...但是如果知道边界条件和控制方程，结合最开始时间的数据，就可以进行预测，且实际效果很好，如图中的对比结果。...比如我们如何利用机器学习的方法从数据中直接挖掘模型，即从数据到模型。 我们原来的控制方程都是怎么来的？比如万有引力定律是怎么来的？第谷花了近 40 年的时间来观察火星的轨迹，得到了大量的数据。
在匹配时，首先提取当前扫描中的角点和平面点，对于角点，可以认为是物理世界中直线元素的采样，所以计算到上一次扫描中对应直线的距离；而对于平面点，认为是物理世界平面元素的采样，所以计算到上一次扫描中对应平面的距离...作者认为，可以有如下假设：角点是雷达某个线束与物理世界两个平面夹角相交时的采样，那么这个线束相邻的雷达扫描线束也会与这个平面夹角相交，所以这个平面夹角的直线可以用前后两次扫描的角点进行标识。 ?...b) 在激光雷达的一次扫描过程中，由于运动，采集到的点云会有运动畸变，所以在LOAM中点云会通过预估的运动参数去畸变进行对齐 c) 雷达扫描到的一些数据点是不稳定的，作者认为有两种不稳定数据点，如下图所示...图中，分别表示前k次扫描的轨迹（蓝色曲线）和地图（黑色直线），而最新的轨迹为。...对于当前扫描的一个角点，提取对应子地图中多个近邻角点，通过奇异值分解求出这些角点的主方向，从而的到直线方程，从而计算点到直线距离；对于平面点，通过寻找最小特征值对应的向量得到拟合平面的法向量，从而计算点到平面距离
一、用前馈神经网络来做时序信号预测有什么问题？ 依赖受限：前馈网络是利用窗处理将不同时刻的向量并接成一个更大的向量。以此利用前后发生的事情预测当前所发生的情况。如下图所示： ?...物理视角 共享特性给网络带来了诸多好处，但也产生了另一个问题： 三、为什么可以共享？ 在物理视角中，YJango想给大家展示的第一点就是为什么我们可以用这种共享不同时刻权重矩阵的网络进行时序预测。...下图可以从直觉上帮助大家感受日常生活中很多时序信号是如何产生的。 例1：轨迹的产生，如地球的轨迹有两条线索决定，其中一条是地球自转，另一条是地球围绕太阳的公转。下图是太阳和其他星球。...其中乐器的物理特性就相当于 ，同一乐器在各个时刻物理特性在各个时刻都是共享的。其内在也有一个隐藏的主旋律基准 ，旋律信息 与音乐信息 共同决定下一时刻的实际声音。...例：下图中就是在双向递归层的前后分别又加入了两个前馈隐藏层。也可以堆积更多的双向递归层，人们也会在其前面加入“深层”二字，提高逼格。 ? 注：层并不是图中所画的圆圈，而是连线。
从本节开始，为了控制ZMP的轨迹，我们需要把它作为控制系统的输出，因此将上个章节最后的那个公式重写为ZMP方程： 上面这个方程在后文中将被多次提到，后面凡是使用ZMP方程的地方都是指这个方程。...并且，我们可以发现，这个公式与前面的ZMP方程是等价的。 3....基于ZMP产生步行模式 我们的总体目标是要给定ZMP来求解质心的运动过程，前面的ZMP方程已经给出了ZMP点和质心运动之间的关系，求解这个微分方程可以使用快速傅里叶变换（FFT）在频域内解决，然后再使用...在进行支撑腿切换的时刻，ZMP点有一个位置上的突变，COM的运动在此之前已经开始了，如图中Output箭头所指的位置。从前面的控制框图可以看出，我们必须要引入未来的信息来影响当前的状态。这是什么意思？...下图展示的是采用更短预观时间（0.8秒）的COM轨迹预测和ZMP轨迹跟踪结果： 从图中我们可以看到，ZMP的跟踪轨迹不如前面采用更长预观时间的算法结果，这里不能很好地跟踪ZMP的参考轨迹。
——Pierre Vandergheynst，洛桑联邦理工学院通过用微分方程表示的物理系统动力学重新构建图上的学习，是 2021 年的另一个趋势。...传统的数字信号处理定义在低维欧式空间上，图信号处理将其定义在了复杂得多、但是结构化的对象上。我们可以用图（例如，网络、网格曲面）来表示这些对象。...Kim Stachenfeld：「我的研究背景是计算神经科学，我首次在研究中用到图是因为我希望表示任何动物如何学习结构。」...Cristian Bodanr：「我们很可能会看到采用更奇特的数学对象，这些数学对象迄今为止还鲜为探索。我相信这些拓扑方法降维分析和理解 GNN 提供一套新的数学工具。」...Rose 认为，COVID-19 预测、交通预测、轨迹建模等应用需要捕获高度结构化的时序数据的复杂动力学。图机器学习有能力捕获时间序列、空间依赖之间的交互，以及动力学中的相关性。
2021 年以来还有一个新的趋势是将微分方程引入神经网络。2021 年有研究通过物理系统的动力学重新设计图学习模型，其中的动力学往往由微分方程来表达。...另外，图神经网络还可以与微分方程的求解方式相结合，偏微分方程可以对图上信息的传播进行建模，很多标准的图神经网络架构可以看作是求解微分方程的数值迭代解，这个和 2019 年 NeurlPS 上的最佳论文...过去有构建线性变换来揭示信号特性的传统，特别是有些物理学家在设计基于群作用下的不同对称性的等变变换方面，会采用仿射群的连续小波变换等，这些技术都有可能用到图机器学习或几何深度学习里。...实践中，在分子属性的预测问题以及轨迹追踪问题中都取得了很好的结果。我预计这些方法将在 2022 年扩展为更为激动人心的新应用，比如用于计算大数据拓扑，关系预测和计算机通信学领域的难题中。...另外，基于细胞图（cell graph）的 GNN 在软物质（或凝聚态物理）研究中的应用将进一步发展。 最后，我简单介绍一下图神经网络与量子机器学习的结合。
现在，神经网络被称为通用函数逼近器，也就是说，它们有能力表示这个宇宙中任何复杂的函数。计算这个具有数百万个参数的通用函数的想法来自优化的基本数学。...方法 为了了解每个算法在实际中是如何工作的，我们将使用一个凸二次函数。我们将对每个算法进行固定次数的迭代(20次)，以比较它们在达到最优点时的收敛速度和轨迹。...下面给出了为此任务选择的函数的方程，以及使用Matplotlib绘制的函数的三维图和级别集。 ? ?...使用指数平均的原因是为了给最近更新的梯度权重大于最近更新的梯度。下面的方程式显示了Rmsprop的更新规则。 ?...)*(m_hat_v2/math.sqrt((s_hat_s2)+c)) print(x1,x2) if abs(x1)<=0.1 and abs(x2)<0.1: break 在收敛期间的轨迹汇总
:", value)在这个例子中，我们使用正态分布对象norm来生成符合指定均值和标准差的连续值。...使用随机游走模拟连续过程随机游走是一种连续过程模型，常用于模拟股票价格、物理粒子运动等场景。在随机游走中，每一步的移动是随机的，但整体趋势可能具有一定规律。...通过在单位正方形内随机生成点，并统计落在单位圆内的点的比例，然后根据比例估计圆周率。15. 使用随机微分方程模拟连续过程随机微分方程是描述随机过程的一种数学工具，常用于模拟具有随机性的连续过程。...下面是一个简单的随机微分方程模拟的例子，用于模拟布朗运动：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef brownian_motion(num_steps...通过在每个时间步长内生成一个服从正态分布的随机增量，并将这些增量累加起来，从而模拟布朗运动的轨迹。总结本文介绍了在Python中基于一定概率进行选择的多种方法，并展示了不同方法的代码实例及其应用场景。
蒙特卡洛模拟 蒙特卡洛模拟是一种通过随机样本模拟复杂系统的方法，广泛应用于物理学、金融、工程等领域。...总结 在这一部分中，我们探讨了NumPy在科学计算中的具体应用，包括数值积分、求解微分方程、随机过程模拟和机器学习中的基本算法实现。...如果你有任何特定的需求或问题，欢迎告诉我，我将为你提供更详细的解答和指导。 请告诉我是否需要继续撰写下一部分内容，或对现有内容有任何调整或扩展的需求。我将确保内容详尽无误，适合实际应用。...如果你还有其他方面的需求或者需要深入探讨某些具体应用，欢迎告诉我。我可以继续为你撰写相关内容，确保内容详尽且实用。 请告诉我是否需要继续撰写其他部分内容，或者对现有内容有任何调整或扩展的需求。...我将确保内容详尽无误，适合实际应用。 第八部分：NumPy在高级数值计算中的应用 1.
在机器人运动任务上，该方法优于多个强基线，包括领域随机化。 一个可学习的混合模拟器传统的物理模拟器是一个程序，用来解决微分方程，在虚拟世界中模拟运动或相互作用的物体。...对于这项工作，有必要建立不同的物理模型来代表不同的环境——如果一个机器人在床垫上行走，床垫的变形需要考虑在内(例如，与有限元分析一起)。...因此，在如此有限的模拟器中训练的机器人在现实世界中更有可能失败。 为了克服这一复杂性，文中构造了一个混合模拟器，结合了可学习的神经网络和物理方程。...混合模拟器的另一部分由物理方程组成，确保模拟遵循物理学的基本定律，如能量守恒，使其更接近真实世界，从而减少模拟与真实世界的差距。 在之前的床垫例子中，可学习的混合模拟器能够模拟床垫的接触力。...可以成功地部署在此模拟器中改进的控制策略。为了达到这个目的，我们在经典物理模拟器的基础上增加了可学习的组件，并使用对抗性的强化学习语言来训练这个混合模拟器。
每一个轨迹点包含位置，速度，加速的等信息。 下面我来介绍一下Lattice规划算法的工作流程。我们以右图中的场景为例。...在这个过程中，我们每次会先挑选出cost最低的轨迹，对其进行物理限制检测和碰撞检测。如果挑出来的轨迹不能同时通过这两个检测，就将其筛除，考察下一条cost最低的轨迹。...于是只能放弃这条轨迹，考虑下一条cost最低的。 这样的过程循环继续下去，假设我们现在挑选出右图中靠左边的深红色轨迹，它既符合汽车的物理性状，也不会有碰撞风险。...那么这个场景对应的S-T图就会缩短。 有了S-T图的概念，我们观察左图中的两条规划轨迹。红色的是一条跟车轨迹，绿色的是超车轨迹。这两条轨迹反映在S-T图中，就如右图所示。...左图中的两条轨迹，反映在右图S-T图中，我们可以发现红色的轨迹和蓝色障碍车在S-T图中的阴影区域有重叠，说明有碰撞风险，那么它的碰撞cost就会相对较高。
蒙特卡洛模拟 蒙特卡洛模拟是一种通过随机样本模拟复杂系统的方法，广泛应用于物理学、金融、工程等领域。...总结 在这一部分中，我们探讨了NumPy在科学计算中的具体应用，包括数值积分、求解微分方程、随机过程模拟和机器学习中的基本算法实现。...总结 在这一部分中，我们探讨了NumPy在信号处理、图像处理中的应用，以及NumPy与其他科学计算库（如SciPy、Pandas、Matplotlib）的集成使用。...从数值积分、微分方程求解到傅里叶变换和卷积操作，再到主成分分析（PCA）和朴素贝叶斯分类器的实现，每一个内容都展示了NumPy在处理复杂计算任务时的强大能力。...以上就是关于【Python篇】深度探索NumPy（下篇）：从科学计算到机器学习的高效实战技巧的内容啦，各位大佬有什么问题欢迎在评论区指正，或者私信我也是可以的啦，您的支持是我创作的最大动力！❤️
质点运动学 质点位置的确定 质点：一个有质量的几何点，忽略其大小、形状及内部结构的影响，在空间只占据一个点的位置。它是对实际研究对象的简化，理想模型。...3、自然法 上图中，蓝色曲线为P点的运行轨迹，我们在该轨迹上任取一点O作为自然坐标的原点，我们视P点运行的方向为正方向(如上图中的橙色箭头方向)，则P点相对O点沿正方向的轨迹曲线长度s作为自然坐标的坐标值...加速度：描述质点速度变化快慢的物理量 我们通常会说汽车百公里加速为几秒，是指速度加的有多快。 ，Q点的速度为 ，则Δt内速度的增量就为 这里的 就为上图中紫色的虚线箭头。...万有引力的功 在上图中，m与M具有万有引力，m沿着ab轨迹运动。在位移元 上的元功为 ，如果直接使用积分求解整个ab轨迹的功，我们得知道ab轨迹的轨迹函数，但现在我们是不知道的。...二、斜碰 碰前后的两球不在一条直线，可采用矢量分析。 刚体力学 研究对象：刚体 有大小、形状而无形变的物体。 实际研究对象的简化，理想模型。
下图是算法的示意图: 算法同时估计相机位姿和场景中的移动对象，场景中的地图结构(图中为道路平面)会约束对象的移动。...这其实与现实世界并不符合，比如说，大部分汽车只有3个自由度，2个自由度在平移(道路平面)，1个自由度在旋转(汽车自身法向量)。所以消除与物理意义不对应的自由度也是有必要的。...对于具有z轴的平面关节，Fl定义为: 要使对象的位移在物理上精确，twist必须位于Fl空间内。为此，将twist从其原始空间投影到Fl。...，通过这个约束，可以修改重投影方程: 上述重投影方程只在关节坐标系成立，如果要到世界坐标系，那么就加上伴随投影，所以最终的世界坐标系的3自由度重投影方程定义为: 通过上述的重投影方程，可以构建出与动态对象点对应的...twist的优化项: 然后帧中的动态对象点位姿可以更新为 9.动态BA 动态BA有多个目标。
结合之前得出的运动方程 image.png 得出 image.png 接下来就是解这个微分方程了。...是的，三次贝塞尔曲线是在模拟这个计算结果，而我们刚刚的计算真实的还原了质量为 1、劲度系数为 180、摩擦系数为 12 时的弹簧运动轨迹。...### 简谐运动 说到上述的这个运动轨迹，其本质就是一个简谐运动。...，物体在平衡位置震荡，但振幅减小，最终回到平衡位置 - 临界阻尼 (critical damping)：图中红线为临界阻尼情况，物体以最快速度回到平衡位置。...image.png image.png 可以看到每一帧 `translateX` 的值在发生变化，同时 framer-motion 出于性能的考虑，又增加了 `translateZ(0px)` 这个属性
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