本章含盖 7.1 分类 7.2 假设陈述 7.3 决策界限 7.4 代价函数 7.5 简化代价函数与梯度下降 7.6 高级优化 7.7 多元分类：一对多 分类 ? 如何开发一个分类算法？ ? ?...如果，我们能够最小化函数J里面的这个代价函数，它也能工作。但实际上，如果我们使用这个代价函数，它会变成参数 Θ 的非凸函数。...如果我们能够使用这些算法来计算 J(θ) 和 它的偏导数，那么这些算法就是为我们优化代价函数的不同方法。 BFGS —— 共轭梯度法 和 L-BFGS 就是其中一些更高级的优化算法。...它们需要一种方法来计算 J(θ) ，还需要一个计算导数项的方法。然后使用比梯度下降法更复杂的算法来最小化代价函数 ?...Conjugate gradient、BFGS、L-BFGS 这三种算法有很多优点。 1，使用其中任何一个算法，你通常不需要手动选择 学习率α。
为什么不用线性回归的代价函数表示，因为线性回归的代价函数可能是非凸的，对于分类问题，使用梯度下降很难得到最小值，上面的代价函数是凸函数 ? 的图像如下，即y=1时： ? 可以看出，当 ?...趋于1，y=1,与预测值一致，此时付出的代价cost趋于0，若 ? 趋于0，y=1,此时的代价cost值非常大，我们最终的目的是最小化代价值 同理 ? 的图像如下（y=0）： ?...2、梯度 同样对代价函数求偏导： ? 可以看出与线性回归的偏导数一致 推到过程 ? 3、正则化 目的是为了防止过拟合 在代价函数中加上一项 ?...注意j是重1开始的，因为theta(0)为一个常数项，X中最前面一列会加上1列1，所以乘积还是theta(0),feature没有关系，没有必要正则化 正则化后的代价： # 代价函数 def costFunction...中的fmin_bfgs函数 调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno costFunction是自己实现的一个求代价的函数，
CG：适用于高维无约束问题的低内存优化 BFGS：简单的无约束的准牛顿方法 L-BFGS-B：用于边界约束问题的优化 SANN: 模拟退火法 Brent: 用于一维问题（实际上是调用optimize()...使用自适应约束算法，在线性不等式约束下最小化一个函数（调用optim()）。...# 不等式约束(ui %*% theta >= ci): x 0.1constrOptim(c(.5, 0) nlm(): 这个函数使用牛顿式算法进行目标函数的最小化...最小二乘法 – 让我们从一个简单的LS例子开始：最小化 当然，我们可以使用R的基础线性模型拟合函数lm()。...然而，如果问题不属于任何类别，那么就必须使用非线性优化的一般求解器。在这个意义上，如果一个局部的解决方案就够了，那么可以用许多求解器的包。
二、逻辑回归的代价函数 1. 公式： ? 综合起来为： ? 其中 ? 2. 公式推导过程： 代价函数的推导分两步进行： 寻找一个合适的预测函数，一般表示为h函数。...寻找预测函数 Logistic Regression虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，用于两分类问题（即输出只有两种），显然，预测函数的输出必须是两个值（分别代表两个类别），所以利用了Logistic...构造代价函数 ? 上面的n改成m，笔误。 三、梯度下降法求J(θ)的最小值 ?...)) #直接使用最小化的方法，效果不好 '''调用scipy中的优化算法fmin_bfgs（拟牛顿法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno） - costFunction...是自己实现的一个求代价的函数， - initial_theta表示初始化的值, - fprime指定costFunction的梯度 - args是其余测参数，以元组的形式传入，最后会将最小化
这门课基本上算是入门的入门，概要地介绍了机器学习的各方面算法以及实际的简单运用，几乎不需要什么额外的数学知识（意思是你大概是本科学历学过高数线代概率论之类的这种）就能听懂，所以我也就做一个更简单的目录式的概要...然后一个重点概念是代价函数(cost function)，用来判断你的预测函数和正真的值的差距，而拟合的最终结果就是让这个代价函数最小化。...之后就谈到最小化的方法梯度下降法(gradient descent)，利用代价函数对于Θ的偏导数来更新Θ，以得到最小的代价函数值。...第三章 矩阵知识 主要科普矩阵的知识，包括矩阵的运算，转置之类的，基本上都是课堂学过的。...最后一节介绍了诸如Conjugate Gradient(共轭梯度)、BFGS、L-BFGS之类的方法。
代价函数 现在我们来看看softmax回归算法(在下面的公式中：1{.}表示示性函数)。定义代广义价函数如下： ? logistics回归代价函数为： ?...可以看到，Softmax 代价函数与 logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的 k 个可能值进行了累加。...在Softmax 回归中将 x 分类为类别 j 的概率为： ? 对于 J(θ) 的最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。...此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为是凸函数，梯度下降法和 LBFGS等算法可以保证收敛到全局最优解。为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 J(θ) 的导数，如下： ?...此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为是凸函数，梯度下降法和 LBFGS等算法可以保证收敛到全局最优解。为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 J(θ) 的导数，如下： ? ?
2 牛顿法凸优化 上一部分介绍牛顿法如何求解方程的根，这一特性可以应用在凸函数的优化问题上。 机器学习、深度学习中，损失函数的优化问题一般是基于一阶导数梯度下降的。...现在，从另一个角度来看，想要让损失函数最小化，这其实是一个最值问题，对应函数的一阶导数 f'(x) = 0。...所以，目前神经网络损失函数的优化策略大多都是基于梯度下降。 值得一提的是，针对牛顿法的缺点，目前已经有一些改进算法。这类改进算法统称拟牛顿算法。比较有代表性的是 BFGS 和 L-BFGS。...BFGS 算法使用近似的方法来计算 Hessian 矩阵的逆，有效地提高了运算速度。但是仍然需要将整个 Hessian 近似逆矩阵存储起来，空间成本较大。...L-BFGS 算法是对BFGS 算法的改进，不需要存储 Hessian 近似逆矩阵， 而是直接通过迭代算法获取本轮的搜索方向，空间成本大大降低。
一般来说，可以用下面的式子来表示，其中C表示代价函数。 这一项用于约束全局代价最小化。但是代价函数中通常含有噪声和错误，直接最小化求得的结果也会有很多问题，所以还需要第2项平滑项。...数码相机内的图像处理-更多图像滤波中的内容： 高斯滤波只使用了空间距离来衡量像素的权重，而双边滤波则在空间距离的基础上，加入了像素亮度距离。...利用双边空间优化全局代价函数 我们看看下面Jon构建的代价函数，加号前面一项是平滑项，后面一项是数据项，我们就是要最小化这个式子， 全局匹配代价函数 4.1 平滑项 平滑项 平滑项中的di和dj是一幅视差图中不同位置的像素的视差值...作者选择它并非因为它有什么神奇的地方，仅仅是因为它非常高效，特别是当我们需要最小化之前提到的全局代价函数时这一点尤为重要。...所以这里采用了线性插值的方法，将在双边空间中离散的g函数变为连续的，原论文公式如下： 双边空间中的全局代价函数 最优化问题有很多求解方法，作者采用的是一种叫做L-BFGS的方法，这是一种在有限的内存空间中进行的优化算法
主要讲解的内容包含： 逻辑回归 代价函数 线性回归和逻辑回归的比较 正则化问题 逻辑回归 分类问题 假设预测的变量y是离散的值，需要使用逻辑回归Logistic Regression，LR的算法，实际上它是一种分类算法...；说明此时：直线x1+x2=3就是决策边界 复杂的模型边界问题 代价函数Cost Function 如何拟合LR模型的参数θ 1....线性模型中代价函数是模型误差的平方和 ： 如果直接使用线性模型中的代价函数，即误差平方和，得到的代价函数是个非凸函数，但是实际上我们期望看的是凸函数（右边） 重新定义逻辑回归的代价函数 将上面的两个式子进行合并...其他求解代价函数最小的算法 共轭梯度conjugate gradient 局部优化法Broyden fletcher goldfarb shann,BFGS 有限内存局部优化法LBFGS 多类别分类...经过正则化处理后的模型和原模型的对比： 如果λ过大，所有的参数最小化，模型变成了hθ(x)=θ0，造成了过拟合 正则化线性回归Regularized Linear Regression 正则化线性回归的代价函数
01 — 笔记 本节讲的高级优化是相对于上一节的梯度下降法来说的，相对于上一节的梯度下降法本节的优化算法速度更快，更适合解决大型的机器学习问题。是什么样的高级算法呢？ 除了梯度下降法还有？...上图中，使用梯度下降法的时候每一步我们都需要编码做两件事（1）求偏导数；（2）求代价函数的值。 为了实现上面的两个小目标，除了梯度下降法，还有几种更加高级、复杂的算法可选。如下图： ?...共轭梯度、BFGS、L-BFGS就是其中三个比较常用的。这三种算法的优点：不需要手动设置学习率\alpha；收敛速度比较快。这三种算法，比较复杂，需要花好多天的时间才能弄明白，这里吴老师没有详细介绍。...上图中的costFunction有两个返回，一个jVal即代价函数、一个gradient数组即theta向量每个分量上的偏导数。 其次，我们使用optimset函数创建一个最优化参数选项。...总结 总结一下，我们使用梯度下降一类的方法对有n+1个维度的参数向量的代价函数进行优化的关键是定义一个如下图所示的函数，函数中要给出代价函数的求法、每个维度上的偏导数的求法，即：返回代价函数、各个方向上的梯度
在考虑这些方法的应用时会出现一个自然的问题：“什么时候以及为什么使用一种算法比另一种更有意义？” 在本文中，我们将讨论在什么情况下需要使用哪种方法。在我们讨论之前首先需要了解这些方法是如何相互关联的。...对于高斯过程，边缘似然目标往往更非凸，因此，通常使用二阶梯度下降算法（例如 L-BFGS [5]）进行优化以避免局部最小值。...总结：GPs一般采用二阶优化方法，如L-BFGS[5]，使用目标函数的Hessian; dnn一般采用一阶优化方法，如SGD[8]，使用目标函数的梯度。...与 DNN 一样，GP 也会努力最小化函数（通常是具有内核正则化项的负对数似然），就像神经网络努力最小化损失函数一样。 总结：DNN 和 GP 都通过一阶和二阶优化方法改进他们的模型。...因此，如果定义 GP 的数据集是动态的则需要重新拟合/添加新的数据点，这将涉及重新计算协方差矩阵的逆，这是一项代价高昂的操作。
吴恩达机器学习-3-逻辑回归与正则化问题 第三周主要讲解的内容包含： 逻辑回归 代价函数 线性回归和逻辑回归的比较 正则化问题 逻辑回归 分类问题 假设预测的变量y是离散的值，需要使用逻辑回归Logistic...复杂的模型边界问题 ? 代价函数Cost Function 如何拟合LR模型的参数$\theta$ ? 1. 线性模型中代价函数是模型误差的平方和 ： ?...如果直接使用线性模型中的代价函数，即误差平方和，得到的代价函数是个非凸函数，但是实际上我们期望看的是凸函数（右边） ? 重新定义逻辑回归的代价函数 ? 将上面的两个式子进行合并： ? ?...因此，即使更新参数的规则看起来基本相同，但由于假设的定义发生了变化，所以逻辑函数的梯度下降，跟线性回归的梯度下降实际上是两个完全不同的东西。...其他求解代价函数最小的算法 共轭梯度conjugate gradient 局部优化法Broyden fletcher goldfarb shann,BFGS 有限内存局部优化法LBFGS 多类别分类one-vs-all
2.22.png 2.6 OWL-QN算法 2.6.1 L1 正则化 在机器学习算法中，使用损失函数作为最小化误差，而最小化误差是为了让我们的模型拟合我们的训练数据，此时， 若参数过分拟合我们的训练数据就会有过拟合的问题...简单来讲，OWL-QN算法是指假定变量的象限确定的条件下使用L-BFGS算法来更新，同时，使得更新前后变量在同一个象限中(使用映射来满足条件)。...2.6.2 OWL-QN算法的具体过程 1 次微分 设$f:I\rightarrow R$是一个实变量凸函数，定义在实数轴上的开区间内。...2 伪梯度 利用次梯度的概念推广了梯度，定义了一个符合上述原则的伪梯度，求一维搜索的可行方向时用伪梯度来代替L-BFGS中的梯度。 其中 我们要如何理解这个伪梯度呢？...，第四步要求估计Hessian矩阵时依然使用损失函数的梯度。
机器学习基本概念 统计机器学习整个流程就是：基于给定的训练数据集，由实际需求，需要解决的问题来选择合适的模型;再根据确定学习策略，是最小化经验风险，还是结构风险，即确定优化目标函数;最后便是采用什么样的学习算法...; -hinge损失函数，对应SVM; 这里所说的策略就是指：当目标函数仅含有损失函数时，对应经验风险最小化策略，即选择的最优模型在训练集上的平均损失最小;而当目标函数由损失函数项和正则化项构成时...，对应结构风险最小化策略，即选择的最优模型不仅在训练集上平均误差比较小，同时在测试集上也能有不错的表现，也就是说得到的模型 要有较好的泛化能力。...当样本集数目足够大时，由于样本的覆盖量足够大，能较好地体现实际数据的分布，直接采用经验风险最小化策略就能保证有很好的学习效果;但当样本 容量不够充足时，并不能很好的体现真实的数据分布，因此过于追求减小模型在训练集上的误差...常见的迭代优化算法有梯度下降，牛顿法，拟牛顿，高斯-牛顿，BFGS，L-BFGS。。。 1)梯度下降 梯度下降也称为最速下降法，属于一阶优化算法。
简介 scipy.optimize.minimize() 是 Python 计算库 Scipy 的一个功能，用于求解函数在某一初始值附近的极值，获取 一个或多个变量的标量函数的最小化结果 ( Minimization...注意：**这个函数常用于非线性规划的极值求解，只给出一个极值，并且不保证全局最优 函数定义 函数格式 scipy.optimize.minimize(fun, x0, args=(), method...指定 tol 后，所选的最小化算法会将一些相关的特定于求解器的公差设置为 tol。 要进行详细控制，请使用特定于求解器的选项。 options dict, optional 求解器选项字典。...除 TNC 外的所有方法都接受以下通用选项:maxiter **int：**要执行的最大迭代次数。 根据方法，每次迭代可能使用多个函数评估。disp bool： 设置为 True 可打印消息。...fun callable 定义约束的函数。
再假设我们已经用代码实现了计算 J(θ)导数的函数 ，接着我们使用 θ ：=θ-a*g(θ)来实现梯度下降算法。那么我们如何检验 的实现是否正确呢？ 回忆倒数的数学定义： ?...迄今为止，我们的讨论都集中在使用梯度下降法来最小化J(θ) 。如果你已经实现了一个计算J(θ) 和 J(θ) 差值的函数，那么其实还有更精妙的算法来最小化J(θ) 。...此类算法的详细讨论已超出了这份讲义的范围，但是L-BFGS算法我们以后会有论述（另一个例子是共轭梯度算法）。你将在编程练习里使用这些算法中的一个。...使用这些高级优化算法时，你需要提供关键的函数：即对于任一个 θ ，需要你计算出J(θ) 和J(θ) 偏差 。...之后，这些优化算法会自动调整学习速率/步长值 a的大小（并计算Hessian近似矩阵等等）来自动寻找 J(θ) 最小化时 θ 的值。诸如L-BFGS和共轭梯度算法通常比梯度下降法快很多。
风格迁移 风格迁移算法经历多次定义和更新，现在应用在许多智能手机APP上。 风格迁移在保留目标图片内容的基础上，将图片风格引用在目标图片上。 ?...风格损失函数 内容损失函数仅使用单个上层，但是Gatys定义的风格损失函数使用多个convnet层：尝试捕获由convnet提取的所有空间比例的样式参考图像的外观，而不仅仅是单个比例。...流程： 设置一个网络，同时为风格参考图像，目标图像和生成图像计算VGG19图层激活函数值； 使用在这三个图像上计算的图层激活值来定义前面描述的损失函数，可以将其最小化以实现风格迁移； 设置梯度下降过程以最小化此损失函数...Gatys论文中使用L-BFGS算法。...L-BFGS算法包含在SciPy包中，在SciPy实现中有两个限制： 要求的损失函数值、梯度函数值作为两个独立的函数传递； 必须flat展开向量，而图片数组是3D。
为了求可行方向r，可以使用two-loop recursion算法来求。该算法的计算过程如下，算法中出现的y即上文中提到的t： ? 算法L-BFGS的步骤如下所示。 ?...2.6 OWL-QN算法 2.6.1 L1 正则化 在机器学习算法中，使用损失函数作为最小化误差，而最小化误差是为了让我们的模型拟合我们的训练数据，此时， 若参数过分拟合我们的训练数据就会有过拟合的问题...简单来讲，OWL-QN算法是指假定变量的象限确定的条件下使用L-BFGS算法来更新，同时，使得更新前后变量在同一个象限中(使用映射来满足条件)。...2.6.2 OWL-QN算法的具体过程 1 次微分 设 ? 是一个实变量凸函数，定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的，例如绝对值函数 ? 。...2 伪梯度 利用次梯度的概念推广了梯度，定义了一个符合上述原则的伪梯度，求一维搜索的可行方向时用伪梯度来代替L-BFGS中的梯度。 ? 其中 ? ? 我们要如何理解这个伪梯度呢？
左：SGBM算法结果 右：今日介绍的算法结果 那么如此神奇的效果，是如何做到的呢？ 我在上一篇文章79....上一篇文章所讲的Fast Bilateral-Space Stereo，解决的是立体匹配问题——它将立体匹配当成下面的全局匹配代价最小化问题进行解决。...首先是其匹配代价函数过于简单，上面公式中第二项是就是匹配代价项，也即是数据项。...Fast Bilateral-Space Stereo算法的另外一个问题是，作者把上述代价映射到了双边空间，用一种叫做L-BFGS的方法进行求解，这是Broyden,Fletcher,Goldfarb,...BFGS四人帮 同时，Fast Bilateral-Space Stereo的求解方法也无法应用到深度学习过程中，因为其代价函数也无法求导进行反向传播。这一点我之后再谈。
内容包括拟牛顿法的目标函数、梯度、L2正则化、L-BFGS优化、概率图构建、前向后向算法、维特比算法等。背景知识请参考《条件随机场》。 训练 先从训练开始说起吧 ? 该函数解析命令行之后调用： ?...然后计算每个节点和每条边的代价（也就是特征函数乘以相应的权值，简称代价）： ?...用此id就能在alpha向量中取到最终的权值，将权值累加起来，乘以一个倍率（也就是所谓的代价参数cost_factor），得到最终的代价cost。...控制着惩罚因子的强度。可见要最小化目标函数，正则化项 ? 也必须尽量小才行。模型参数的平方和小，其复杂度就低，于是就不容易过拟合。关于L1、L2正则化推荐看Andrew Ng的ML公开课。...[k] += alpha[k] / C; L-BFGS优化 梯度和损失函数有了，之后就是通用的凸函数LBFGS优化了。
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