如何使用numpy einsum函数对3D数组执行矩阵乘法，以获得2D的乘积矩阵？

numpy.einsum函数是一个强大的工具，用于执行爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention），它允许你以一种非常灵活的方式执行各种类型的张量操作，包括矩阵乘法。对于你的问题，我们想要对一个3D数组执行矩阵乘法以获得一个2D的乘积矩阵。

基础概念

• 爱因斯坦求和约定：在张量运算中，爱因斯坦求和约定是一种省略求和符号的方法。当两个指标相同时，就意味着对这两个指标的所有可能值进行求和。
• 3D数组：也称为张量，可以看作是多个2D矩阵的堆叠。
• 矩阵乘法：是一种二元运算，其结果是一个矩阵，记作C。设A为m×p的矩阵，B为p×n的矩阵，则称m×n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB。

相关优势

• numpy.einsum提供了高度的灵活性，允许你精确地指定你想要执行的操作。
• 相比于其他方法，einsum通常更简洁，更容易理解。

类型与应用场景

• 类型：numpy.einsum可以执行多种类型的张量操作，包括矩阵乘法、点积、外积等。
• 应用场景：在物理学、工程学、机器学习等领域，经常需要对高维数据进行各种复杂的张量运算。

示例代码

假设我们有一个形状为(n, m, p)的3D数组A，和一个形状为(p, q)的2D数组B。我们想要得到一个形状为(n, m, q)的3D数组C，其中C[i,j,k] = sum(A[i,j,l] * B[l,k])对于所有的i, j, k。

import numpy as np

# 创建示例数组
A = np.random.rand(2, 3, 4)  # 形状为 (n, m, p)
B = np.random.rand(4, 5)     # 形状为 (p, q)

# 使用 einsum 执行矩阵乘法
C = np.einsum('ijl,lk->ijk', A, B)

print(C.shape)  # 输出 (2, 3, 5)

在这个例子中，'ijl,lk->ijk'是einsum的公式字符串，它精确地描述了我们要执行的操作：

• 'ijl'表示A数组的索引，其中i是第一个维度，j是第二个维度，l是第三个维度（与B的第一个维度相匹配）。
• 'lk'表示B数组的索引。
• 'ijk'表示输出数组C的索引。

可能遇到的问题及解决方法

• 性能问题：对于非常大的数组，einsum可能会比其他专门的矩阵乘法函数（如numpy.matmul或@运算符）慢。在这种情况下，可以考虑使用这些更高效的函数。
• 索引错误：确保你的公式字符串正确地匹配了输入和输出数组的维度。任何不匹配都可能导致索引错误。

参考链接

• numpy.einsum 文档
• numpy.matmul 文档