如您所见，以矩阵形式编写所有内容可以更简洁地描述正在发生的事情。但是我们如何乘以矩阵呢？别担心，它既简单又直观。 矩阵乘法 首先让我们地思考一下；我们只是想将每个 EV 与其相应的权重相乘。...我们有 n 个房屋/示例，因此从逻辑上讲，我们应该将设计矩阵中的每一行与列向量 W 相乘。为简洁起见，我们将考虑一个包含两个示例和三个解释变量的简单示例： 矩阵和列向量相乘将产生另一个列向量。...现在让我们考虑将两个矩阵相乘。不要忘记矩阵相乘，第一个矩阵的列数应该与第二个矩阵的行数相同。...假设有多个列向量，相乘的过程与将矩阵与向量相乘的过程相同，但是我们要将得到的列向量并排堆叠成一个矩阵。 PyTorch 和张量 这里我们使用 PyTorch 并将它们用于矩阵乘法。...学习有关如何在矩阵和张量中表示数据的基础知识，将使您对底层的理论有更好的理解。
图中所表示的层级关系解读如下： 标量只是某个具体的数字， 向量由多个标量组成 矩阵由多个向量组成 张量由多个矩阵组成 张量是向量和矩阵的推广，PyTorch 中的张量就是元素为同一数据类型多维矩阵。...点积（dot product） 点积是指两个矩阵之间的相乘，矩阵相乘的标准方法不是将一个元素的每个元素与另一个元素的每个元素相乘（这是逐个元素的乘积），而是计算行与列之间的乘积之和。...对角矩阵与向量的互转 由于对角矩阵只有对角线有值，可以由向量生成对角矩阵。当然也可以将对角矩阵的向量提取出来。...将一个对角矩阵与其倒数相乘便可以得到单位矩阵 一个数与自身的倒数相乘结果为1，在对角矩阵中也是这个规率。...（2）令第1个矩阵的1维（值为3）与第2个矩阵的1维（值为3）进行相乘并相加。 （3）取第1个矩阵的2为（值为10），作为结果的1维。 （4）忽略掉第2个矩阵的0维（值为2）。
PyTorch是一个开源的深度学习框架，由Facebook的人工智能研究团队开发，专为深度学习研究和开发而设计。PyTorch 中的张量就是元素为同一种数据类型的多维矩阵。...； 阿达玛积是对两个矩阵或张量对应位置上的元素进行相乘，这种操作在神经网络中常用于权重的调整或其他逐元素的变换。...在深度学习中，阿达玛积常用于激活函数的计算、权重更新以及在一些特定的层中，如注意力机制中的权重计算等。与矩阵乘法不同，阿达玛积不是基于矩阵的行和列的乘法，而是基于单个元素的乘法。...标量乘法：一个标量可以与任何阶的张量相乘，结果是将原张量的每个元素乘以该标量。 点积（内积）：两个张量的点积通常是指它们之间的逐元素乘法后求和。...外积：两个向量的外积会产生一个矩阵，其中每个元素是第一个向量的元素与第二个向量的元素的乘积。 张量积（Kronecker积）：用于组合两个张量来创建一个新的高阶张量。
三维矩阵的相关知识是学习OpenGL最重要的课程之一。 线性代数 学习OpenGL三维投射知识之前，我们得事先了解下一些基础的线性代数知识，如向量运算，矩阵运算。...向量加减 向量的加（减）法定义是分量的相加（减），即将一个向量中的每一个分量加上（减去）另一个向量的对应分量： ? 向量相乘 点乘 ? 叉乘 ?...矩阵运算 矩阵简介 数学上，一个 m x n 的矩阵是一个m行n列元素排列成的矩形阵列。以下是一个由6个数字元素构成的3行3列的矩阵： ? 矩阵运算规则 矩阵的加减 矩阵与标量之间的加减： ?...矩阵与矩阵之间的加减： ? 矩阵乘法 矩阵数乘 ? 矩阵相乘 ? 单位矩阵 在OpenGL中，由于大部分的向量都是4分量 （x,y,z,w）,所以我们通常使用 4x4 的变换矩阵。...通常情况下，我们会根据画布（屏幕）的大小设定一个坐标范围，在顶点着色器中将这些坐标转换为标准化设备坐标。
这些算子与矩阵相乘紧密相关：全连接算子和 1×1 卷积直接映射到矩阵相乘，具有较大内核的卷积可以分解成一种名为 im2col 的内存布局转换和矩阵相乘的组合。...MxK 矩阵 A 与 KxN 矩阵 B 相乘得到 MxN 矩阵 C。C 中的每个元素都可以认为是 A 行与对应 B 列的点积。 在点积基元上实现整个矩阵相乘是可能的，但这样的实现过于低效。...打包对微内核效率的影响与当前所有移动处理器支持的 SIMD 向量指令的使用密切相关。这些指令加载、存储或者计算小型的固定大小元素向量，而不是单个标量（scalar）。...在矩阵相乘中，充分利用向量指令达到高性能很重要。在传统的 GEMM 实现中，微内核把 MR 元素重新打包到向量暂存器里的 MR 线路中。...QNNPACK 中的默认微内核广泛使用了两种 NEON 特定类型的指令：「长」指令，产生的元素向量是其输入的两倍宽；向量暂存器与另一向量暂存器中的元素相乘。
今天我将通过结合论文原理与PyTorch源码API，深度解析Transformer的设计思路与实现细节。如有遗漏，欢迎交流。...训练时序列长度不一致，短样本的后续位置无效，通过softmax中将无效位置值转为负无穷，使这些位置概率归零。...六、注意力机制核心PyTorch的实际实现进行了更多优化，但核心思想与论文版本一致：直观理解，attention函数建立query与key-value对之间的连接，最终产生输出。...注意力计算由Q、K、V三个向量构成。首先进行query和key的矩阵相乘（单样本为向量内积，批量为矩阵相乘），然后除以√d_K进行缩放，得到每个位置上的内积结果后进行归一化处理。...首先将q与k的转置进行矩阵相乘，得到向量后添加mask。mask将等于0的位置填充为极小的负数（负无穷），经Softmax归一化后概率变为0，使不重要位置概率赋值为0。
向量运算 【深度学习】Pytorch 系列教程（三）：PyTorch数据结构：2、张量的数学运算（1）：向量运算（加减乘除、数乘、内积、外积、范数、广播机制） 2....矩阵运算 【深度学习】Pytorch 系列教程（四）：PyTorch数据结构：2、张量的数学运算（2）：矩阵运算及其数学原理（基础运算、转置、行列式、迹、伴随矩阵、逆、特征值和特征向量） 3....向量范数、矩阵范数、与谱半径详解 【深度学习】Pytorch 系列教程（五）：PyTorch数据结构：2、张量的数学运算（3）：向量范数（0、1、2、p、无穷）、矩阵范数（弗罗贝尼乌斯、列和、行和、谱范数...、核范数）与谱半径详解 4....一维卷积运算 【深度学习】Pytorch 系列教程（六）：PyTorch数据结构：2、张量的数学运算（4）：一维卷积及其数学原理（步长stride、零填充pad；宽卷积、窄卷积、等宽卷积；卷积运算与互相关运算
1、爱因斯坦求和约定基础 我们从一个经典案例入手：矩阵乘法。在线性代数中，两个矩阵A和B相乘的标准定义是计算A中每一行与B中每一列的点积。图形化表示如下： 图1：标准矩阵乘法示意图。...为了建立直观理解，我们来分析几个基本示例： 外积 外积是线性代数中的基本运算，它通过将第一个向量的每个元素与第二个向量的每个元素相乘，生成一个二维矩阵。 图5：einsum()表示的外积运算。...这表明第一个向量中的每个元素都与第二个向量中的每个元素相乘，形成结果矩阵。 批处理外积 批处理外积是外积的扩展应用，适用于同时计算多对向量的外积情况。 图6：einsum()表示的批处理外积。...由于i在第一个输入的第一个轴上，可以推断输出是一个列向量，与图示一致。 简单转置 矩阵转置是线性代数中最基本的操作之一，它将矩阵的行和列互换。...它支持与einsum()类似的语法，并提供额外功能，如模式匹配、打包和解包、多字母索引名等，还为PyTorch和TensorFlow实现了相应的层。
在 Python 中定义矩阵的操作： 矩阵加法 矩阵可以与标量、向量和其他的矩阵相加。这些运算都有严格的定义。这些技巧在机器学习和深度学习中会经常用到，所以值得熟练运用这些技巧。 ?...矩阵-标量相加 将给定的标量加到给定矩阵的所有元素。 ? 矩阵-标量相乘 用给定的标量乘以给定矩阵的所有元素。 ? 矩阵乘法 矩阵 A 与矩阵 B 相乘得到矩阵 C。 ? ?...矩阵转置 通过矩阵转置，你可以将行向量转换为列向量，反之亦然。 A=[aij]mxn AT=[aji]n×m ? ? 张量 张量的更一般的实体封装了标量、向量和矩阵。...我们使用像 tensorflow 或 Pytorch 这样的 Python 库来声明张量，而不是用嵌套矩阵。 在 Pytorch 中定义一个简单的张量: ?...有关张量和 Pytorch 的更多文档请点击此处（https://pytorch.org/tutorials/beginner/deep_learning_60min_blitz.html）。
Scalar用来表示标量值，如学习率、损失值等。 Vector：是一个特殊类型的Tensor，有一维或两维。 Vector用来表示向量值，如梯度、特征值等。...Matrix用来表示矩阵值，如权重矩阵、输出矩阵等。 比如说 1.0、2 这些都是标量，在各种编程语言中都以基础数据类型提供了支持，例如 C# 的基元类型。...那么在平面中，我们已知向量的坐标，求向量与 x 、y 轴的夹角，可以这样求。...Pytorch 相乘，则是每个位置的数值相乘，这种乘法称为 Hadamard 乘积： var A = torch.tensor(new double[,] { { 1.0, 2.0 } });...**A ⊗ B ** 矩阵的乘法比较麻烦，在前面，我们看到一个只有行的矩阵和一个只有列的矩阵相乘，结果只有一个值，但是对于多行多列的两个矩阵相乘，矩阵每个位置等于 A 矩阵行和 B 矩阵列相乘之和。
而且，现在许多主流的深度学习框架，例如 PyTorch、TensorFlow 也都是基于 Python。...函数 Function 与类 Class Python 中的函数以关键字 def 来定义，例如： ?...向量化和矩阵 深度学习神经网络模型包含了大量的矩阵相乘运算，如果使用 for 循环，运算速度会大大降低。Python 中可以使用 dot 函数进行向量化矩阵运算，来提高网络运算效率。...显然，两个矩阵相乘，使用 for 循环需要大约 100 ms，而使用向量化矩阵运算仅仅需要大约 1 ms，效率得到了极大的提升。...值得一提的是，神经网络模型有的矩阵维度非常大，这时候，使用矩阵直接相乘会更大程度地提高速度。所以，在构建神经网络模型时，我们应该尽量使用矩阵相乘运算，减少 for 循环的使用。
1、爱因斯坦求和约定基础我们从一个经典案例入手：矩阵乘法。在线性代数中，两个矩阵A和B相乘的标准定义是计算A中每一行与B中每一列的点积。图形化表示如下：图1：标准矩阵乘法示意图。...为了建立直观理解，我们来分析几个基本示例：外积外积是线性代数中的基本运算，它通过将第一个向量的每个元素与第二个向量的每个元素相乘，生成一个二维矩阵。图5：einsum()AI写代码1表示的外积运算。...这表明第一个向量中的每个元素都与第二个向量中的每个元素相乘，形成结果矩阵。批处理外积批处理外积是外积的扩展应用，适用于同时计算多对向量的外积情况。图6：einsum()AI写代码1表示的批处理外积。...由于iAI写代码1在第一个输入的第一个轴上，可以推断输出是一个列向量，与图示一致。简单转置矩阵转置是线性代数中最基本的操作之一，它将矩阵的行和列互换。...它支持与einsum()AI写代码1类似的语法，并提供额外功能，如模式匹配、打包和解包、多字母索引名等，还为PyTorch和TensorFlow实现了相应的层。
除了图像处理，卷积神经网络也可以应用于其他领域，如自然语言处理和时间序列分析。通过将文本或时间序列数据转换成二维形式，可以利用卷积神经网络进行相关任务的处理。 1. 一维卷积 a....假设我们有一个长度为n的输入向量和一个长度为m的卷积核。一维卷积的计算过程如下： 将卷积核与输入向量的第一个元素对齐，进行元素相乘并求和。这个求和结果将作为卷积操作的输出值的第一个元素。...将卷积核向右移动一个位置，再次进行相乘求和的操作。重复这个过程，直到卷积核覆盖完整个输入向量。 输出向量的长度将是 M - K + 1，其中 M 是输入向量的长度，K 是卷积核的长度。...在每个位置上，滤波器与输入数据的对应元素进行逐元素相乘，然后将所有乘积相加，得到输出的一个元素。通过滑动滤波器，我们可以在输入数据上执行卷积操作，并生成输出特征图。...以计算特征图第三个元素为例，计算过程如下： 输入矩阵的子矩阵： 1 1 1 -1 0 -3 2 1 1 将卷积核的左上角放在输入特征图的第三个元素处，进行逐元素相乘并求和： (1 * 1) +
\mathbf{X} 与矩阵的转置 \mathbf{X}^\top 相乘， \mathbf{X} 中的每一行与 \mathbf{X}^\top 的每一列相乘得到目标矩阵的一个元素， \mathbf{X...下面以词向量矩阵为例，这个矩阵中，每行为一个词的词向量。矩阵与自身的转置相乘，生成了目标矩阵，目标矩阵其实就是一个词的词向量与各个词的词向量的相似度。 词向量矩阵相乘 如果再加上Softmax呢？...相似度矩阵的归一化 在这个基础上，再进一步： Softmax(\mathbf{X}\mathbf{X}^\top)\mathbf{X} ，将得到的归一化的权重矩阵与词向量矩阵相乘。...权重矩阵中某一行分别与词向量的一列相乘，词向量矩阵的一列其实代表着不同词的某一维度。...输入为词向量矩阵X，每个词为矩阵中的一行，经过与W进行矩阵乘法，首先生成Q、K和V。q1 = X1 * WQ，q1为Q矩阵中的行向量，k1等与之类似。
书接前文，我们了解了 —— # 刹车与油门：PyTorch Autograd 的赛车之旅，如文所说，自动微分是 PyTorch 深度学习框架的核心。既然是核心，就需要敲黑板、划重点学习。...PyTorch中的自动微分与雅可比向量积 自动微分（Automatic Differentiation，AD）是深度学习框架中的关键技术之一，它使得模型训练变得更加简单和高效。...雅可比向量积（Jacobian Vector Product） 雅可比矩阵描述了一个向量值函数的导数。在深度学习中，我们通常不需要完整的雅可比矩阵，而是只对雅可比向量积感兴趣。...雅可比向量积是一个向量和一个向量的乘积，其中第一个向量是函数的导数，第二个向量是任意向量。 PyTorch中的autograd模块提供了autograd.grad函数，使我们能够计算雅可比向量积。...通过这篇博客，我们深入了解了如何在PyTorch中使用自动微分，并了解了雅可比向量积的基本概念和应用。 这些技术使得模型训练更加简单和高效，为深度学习的发展提供了强大的支持。
因此，在实际的应用中将这些操作装进一个单独的门单元中将会非常有用。 实现提示：分段反向传播。上面的代码展示了在实际操作中，为了使反向传播过程更加简洁，把向前传播分成不同的阶段将是很有帮助的。...用向量化操作计算梯度 上述内容考虑的都是单个变量情况，但是所有概念都适用于矩阵和向量操作。然而，在操作的时候要注意关注维度和转置操作。...矩阵相乘的梯度：可能最有技巧的操作是矩阵相乘（也适用于矩阵和向量，向量和向量相乘）的乘法操作。...小结 对梯度的含义有了直观理解，知道了梯度是如何在网络中反向传播的，知道了它们是如何与网络的不同部分通信并控制其升高或者降低，并使得最终输出值更高的。 讨论了分段计算在反向传播的实现中的重要性。...只需要将表达式分成不同的可以求导的模块（模块可以是矩阵向量的乘法操作，或者取最大值操作，或者加法操作等），然后在反向传播中一步一步地计算梯度。
）：两个向量的叉积向量， 大小等于以这两个向量为邻边的平行四边形面积，方向与这两个向量所在平面垂直 mul = np.cross(x, y) print(mul) 输出结果： <class 'list'...： 矩阵加法 矩阵可以与标量、向量和其他矩阵相加。...-标量相加 将给定的标量与给定矩阵中的所有元素相加。...-标量相乘 将给定的标量与给定矩阵中的所有元素相乘。...-矩阵相乘 矩阵A（m行n列）与矩阵B（n行p列）得到矩阵C（m行p列），如下图所示： ?
同样，注意力有三个矩阵，分别是查询矩阵(Q)、键矩阵(K)和值矩阵(V)。它们中的每一个都具有与输入嵌入相同的维数。模型在训练中学习这些度量的值。...我们可以假设我们从每个单词中创建一个向量，这样我们就可以处理信息。对于每个单词，生成一个512维的向量。所有3个矩阵都是512x512(因为单词嵌入的维度是512)。...对于每个标记嵌入，我们将其与所有三个矩阵(Q, K, V)相乘，每个标记将有3个长度为512的中间向量。 接下来计算分数，它是查询和键向量之间的点积。...查询键和矩阵的计算方法如下 同样的方法可以计算键向量和值向量。 最后计算得分和注意力输出。...当我们在一个head中有了小查询、键和值(64 dim的)之后，计算剩下的逻辑与单个head注意相同。最后得到的64维的向量来自每个头。
DistMultDistMult 是 Yang 等人在 2014 年提出的一种双线性模型，旨在通过矩阵分解的方式表示实体与关系之间的相互作用。...该模型的得分函数定义为：f(h, r, t) = h^T \cdot R \cdot t 为了减少计算复杂度，DistMult 中 R 被设定为一个对角矩阵，这意味着关系 r 是通过每个维度上对头实体和尾实体向量进行逐元素相乘来实现的...DistMult的优点：模型的表达能力较强，能够捕捉头实体与尾实体之间的内在联系。由于关系矩阵是对角矩阵，计算效率较高，适合中大型知识图谱。...复数的共轭操作使得它能够表示复杂关系，如“员工与雇主”的关系。ComplEx的优点：具有更强的表达能力，可以同时处理对称、反对称和非对称关系。能够表示复杂的关系结构，如多对多的关系类型。...我们将使用 PyTorch 和 DGL（Deep Graph Library）来实现知识图谱嵌入的训练与推理。1 数据准备我们使用一个简单的知识图谱数据集进行演示，数据集包含了一组实体和关系三元组。
人们普遍认为，机器学习之所以能够快速发展，是因为研究者们使用了第三方框架（如PyTorch、TensorFlow）来解析ML代码。...正向模式 给定一个函数 f: θ∈R n，v∈R n，正向模式的AD会计算 f(θ) 和雅可比向量乘积Jf (θ) v，其中Jf (θ) ∈R m×n是f在θ处评估的所有偏导数的雅可比矩阵，v是扰动向量...值得注意的是，正向模式在一次正向运行中同时评估了函数 f 及其雅可比向量乘积 Jf v。此外，获得 Jf v 不需要计算雅可比向量Jf，这一特点被称为无矩阵计算。...将标量方向导数∇f(θ)-v与矢量v相乘，得到g(θ)，即正向梯度。 图 1 显示了 Beale函数的几个正向梯度的评估结果。...3 实验 研究者在PyTorch中执行正向AD来进行实验。他们发现，正向梯度与反向传播这两种方法在内存上没有实际差异（每个实验的差异都小于0.1%）。
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