2.3 随机图 随机图就像它的名字一样：一个随机生成的节点和边的图。当然，有许多随机过程可以生成图，所以有许多种类的随机图。...我们可以将s标记为“已访问”，然后我们可以标记它的邻居。然后我们标记邻居的邻居，依此类推，直到你无法再到达任何节点。如果访问了所有节点，则图是连通图。...否则，我们将节点添加到seen，并将其邻居添加到栈。 当栈为空时，我们无法再到达任何节点，所以我们终止了循环并返回。...图 2.6：连通性的概率，n是多个值，p是一个范围。 对于n和p的给定值，我们想知道G(n, p)连通的概率。我们可以通过生成大量随机图，来计算有多少个来估计它。...但是节点可能多次被添加到栈，具体取决于它们有多少邻居。如果节点具有k个邻居，则它会被添加到栈k次。当然，如果它有k个邻居，那意味着它拥有k个边。
◎ 随机数法：选择一个随机函数，取关键字的随机函数值作为其散列地址，即h(key)=random(key)。...5.二叉查找树 满足以下条件的树： ◎ 若左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值； ◎ 若右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于或等于它的根节点的值； ◎ 左、右子树也分别为二叉排序树...（1）在待删除的节点没有子节点时，直接删除该节点，即在其父节点中将其对应的子节点置空即可。要删除的节点 14 没有子节点，则直接将其删除即可。 ?...，直到图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中未曾被访问的一个顶点作为起始点重复上述过程，直至图中所有顶点均被访问。...深度优先遍历 假设从图中的某个顶点 V 出发，在访问 V 节点后依次从 V 未被访问的邻接点出发以深度优先的原则遍历图，直到图中所有和 V 节点路径连通的顶点都被访问；若此时图中尚有顶点未被访问，则另选一个未曾访问的顶点作为起始点重复上述过程
它的基本思想是将图的所有边按照权重从小到大进行排序，然后依次选择最小权重的边，并将其添加到生成树中，同时要确保生成树不形成环路。直到生成树中包含了所有的节点，算法结束。...割是将图的所有节点划分成两个非空的子集S和V-S（其中V是图中所有节点的集合，S和V-S是两个非空的互斥子集），简言之就是通过割可以将一副连通图变为一副非连通图（或者说两幅图） Cutset：割边集，割集...直到所有的边都被着色。 这意味着我们在图中找到了所有没有形成环路的边，并且选择了最小的割边，将它们标记为蓝色。 最终，所有形成最小生成树的边都被标记为蓝色。...完成： 重复步骤3，直到最小生成树中的边数等于顶点数减1（因为一个生成树有V-1条边，其中V为顶点数）。 Kruskal算法确保加入的边不会在生成树中引起循环，这使得它成为一种安全的选择。...Kruskal算法高效，其时间复杂度为O(E log E)，其中E为图中的边数。这主要归因于排序步骤，它需要O(E log E)时间，而后续步骤需要额外的线性时间。
本文将详细介绍图的基本概念、不同的表示方法，以及如何在 Python 中实现它们。 ❤️ ❤️ ❤️ 1. 什么是图？ 图是由节点（顶点）和它们之间的边组成的抽象数据结构。...无向图中的边没有方向，可以双向移动。 度：节点的度是与该节点相关联的边的数量。在有向图中，通常分为入度和出度。 路径：路径是连接图中节点的边的序列。...连通图和非连通图：如果在图中任意两个节点之间都存在至少一条路径，那么图是连通的。否则，它是非连通的。 环路：图中的环路是一个节点序列，从一个节点出发，经过一些节点，最终回到出发节点。 3....如果节点 i 与节点 j 之间存在边，则在矩阵中的 ( i , j ) 和 ( j , i ) 位置上将包含相应的信息，如权重。否则，这些位置将包含空值或零。...使用示例 让我们通过一个简单的示例来演示如何在 Python 中表示图。我们将创建一个无向图，并使用邻接表表示法。
DFS（深度优先搜索）是一种图的遍历算法，从起始节点开始，尽可能深入探索每个分支，直到无法再继续，然后回溯到上一个节点，继续探索其他分支。它适用于有向图和无向图。 2....DFS 的应用 路径搜索：可以用于寻找图中从一个节点到另一个节点的路径。 图的连通性：判断图中的连通分量。 拓扑排序：用于有向无环图（DAG）的节点排序。 检测环：可以检测图中是否存在环。 5....最小生成树是一个图的子集，包含图中的所有节点，并且是连通的，同时边的总权重最小。最小生成树的特点是没有回路，并且连接了图中的所有节点。 2....它通过选择边的方式逐步构建最小生成树，优先选择权重最小的边，并确保不形成回路。 2. 算法步骤 克鲁斯卡尔算法的基本步骤如下： 排序边：将图中的所有边按权重从小到大排序。...初始化：创建一个空的生成树，并初始化一个并查集（Union-Find）结构，用于检测图中的环。 选择边： 从权重最小的边开始，依次考虑每条边。
连通网：带权值的连通图叫做连通网。 生成树：将图中所有顶点以最少的边连通的子图。生成树包含全部n个顶点，有且仅有n-1条边，在添加边则必定成环。...重复上述步骤，直到所有顶点都被访问到。 如果还有顶点未被访问到，则随机选择一个作为起始点，重复上述过程，直到图中所有顶点都被访问到。...算法思想： 从 DAG 图中选择一个 没有前驱（即入度为0）的顶点并输出。 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。 重复以上步骤，直到当前图中不存在无前驱的顶点。...每删除一条有向边，该边的终结点的入度-1，如果入度为0，将终结点加入队列。 重复以上步骤，直到当前图中不存在无前驱的顶点。...，如果构成该边的两个节点在图中已经连通，再添加边则必成环，所有这条边就是我们所要的结果。
然后，执行以下操作，直到源队列为空： 从队列中移除一个源并标记它。 减少入度数组中与已移除顶点的边的目标顶点对应的条目。...但我们必须做更多的事情：连接刚刚添加的顶点到已经在优先队列中的树顶点的任何边现在变得不合格（它不再是跨越边，因为它连接了两个树顶点）。...使用 Aldous 和 Broder 的以下显著定理：从任意顶点 s 开始，并进行随机游走，直到每个顶点都被访问过（在所有相邻边中均匀随机选择一条出边）。...它处理负边权重。 它解决了相关问题，如查找最长路径。 该算法将顶点放松与拓扑排序结合起来。...如果悬挂后缀是一个编码词，则编码不是唯一可解码的；否则，将悬挂后缀添加到列表中（前提是它尚未存在）。重复此过程直到没有剩余的新悬挂后缀为止。
3图的度 度是相对于图中点的概念，图中任意一点v的度是指：与v相连的边的条数。在有向图中与顶点v出关联的边的数目称为出度，与顶点v入关联的边的数目称为入度。...队列为空。此时1， 2， 3， 4， 都已经变成黑色。还剩节点5，再从5开始搜索，结束。...模块度： 模块度是评估一个社区网络划分好坏的度量方法，它的物理含义是社区内节点的连边数与随机情况下的边数只差，它的取值范围是 [−1/2,1)其公式如下： 其中，Aij节点i和节点j之间边的权重，网络不是带权图时...公式中Aij−kikj2m=Aij−kikj2m，节点j连接到任意一个节点的概率是kj2m，现在节点i有ki的度数，因此在随机情况下节点i与j的边为kikj2m. ...，社区间的边权重转化为新节点间的边权重； 5）重复1）直到整个图的模块度不再发生变化。
在无向图中，从一个顶点到另一个顶点之间有路径，则称这两个顶点是连通的。 如果图中任意一对顶点之间都是连通的，则称此图为连通图。 非连通图中的每一个连通部分叫连通分量。...在图中任意一个顶点都可以看成是图的第一个顶点，对任何一个顶点而言，它的邻接点之间也不存在顺序关系。为了方便存储和操作，需要将图中的顶点按一定的序列排列起来。...（2）任意两个顶点之间有且仅有一条路径，如再增加一条边就会出现一条回路。 （3）有遍历连通图G时，所经过的边和顶点构成的子图是G的生成树。...（2）扩展一个数的集构成一棵生成树，如：Kruskal算法。 （3）创建并扩展一棵树，为它添加新的树枝。如Prim算法。 （4）创建并扩展一棵树，为它添加新的树枝，也可能从中删除一些树枝。...，则舍去此边，这是因为每个连通分量都是一棵树，此边添加到树中将形成回路。
它从图中的某个节点开始，然后递归地访问该节点的所有邻接节点，直到所有可达的节点都被访问一次。然后，返回到上一个节点，尝试访问它的其他邻接节点，直到遍历完整个图。...重复这个过程，直到栈为空。2、广度优先搜索（BFS）：BFS使用队列来实现。它从图的某个节点开始，首先将该节点入队列，然后访问该节点的所有邻接节点，并将其入队列。...接下来，从队列中取出一个节点并访问它的所有邻接节点，将它们入队列。重复这个过程，直到队列为空。DFS和BFS都可以用来遍历无向图和有向图。...克鲁斯卡尔算法：将图中的所有边按照权值从小到大排序；依次选择权值最小的边，并判断该边的两个顶点是否属于不同的连通分量。...如果属于不同的连通分量，则将该边加入最小生成树，否则舍弃该边；重复步骤2，直到最小生成树的边数等于图的顶点数减一。
无向图中的极大连通子图称为连通分量。注意连通分量的概念，它强调： 要是子图； 子图要是连通的； 连通子图含有极大顶点数； 具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。...所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。...若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称强连通图。图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。 无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。...• 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结构的值； • 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； • 它的左、右子树也分别为二叉排序树。...除留余数法： 随机数法：选择一个随机数，取关键字的随机函数值为它的散列地址。也就是f(key)=random(key)。这里random是随机函数。
这些算法常被用以回答一些与图相关的问题，诸如图是否是连通的，图中两个顶点间的最短路径是什么等等。...再去找节点遍历，以此类推，直到图中所有节点都被遍历过。可以看出图的深度优先遍历可以借助堆栈实现。 把节点 v 放入堆栈，标记 v 。 若堆栈为空则结束，否则取出栈顶节点 u 。...如果无向连通图是一个网，那么它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，称这颗生成树为最小生成树。 最小生成树是通过贪心算法来构建，通过局部最优来达到整体最优。设 ?...在Kruskal算法中，A 是一个森林，将权值进行排序，选取权值最小的边，若选取的边不形成回路，则为安全边，把它添加到正在生长的森林中。...不过，它针对的是非负权值边。其主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率较低。
addEdge 函数用于向图中添加边，将一个顶点的邻接顶点添加到其对应的邻接表中。 DFS 函数实现了深度优先遍历。它接受一个顶点索引 v 和一个用于记录访问状态的向量 visited。...应用场景 图的连通性判断：可以判断一个图是否是连通图，或者找出图中的连通分量。 拓扑排序（对于有向无环图）：在对有向无环图进行拓扑排序时，深度优先遍历是一种常用的基础算法。...它从给定的起始顶点开始，按照与起始顶点的距离远近，一层一层地向外扩展遍历图中的顶点，直到图中的所有顶点都被访问。...addEdge 函数用于向图中添加边，将一个顶点的邻接顶点添加到其对应的邻接表中。 BFS 函数实现了广度优先遍历。它接受一个起始顶点索引 start。...在循环中，只要队列不为空，就取出队首顶点，访问该顶点，然后遍历它的邻接顶点。对于未被访问的邻接顶点，标记为已访问并放入队列。
文心一言： 在连通无向图中找到一条路径，使得每条边都被正反各遍历一次，这个问题可以通过欧拉回路（Eulerian Circuit）的求解方法来解决。...• 如果此时你不在起始节点上，但存在未访问的边，那么这些边一定构成了一个环。将这个环添加到当前路径的开头（这保证了边被反向遍历）。 • 递归或迭代地处理剩余的边，直到所有边都被处理。...重复步骤1，直到所有顶点都被添加到结果路径中。...一个欧拉路径是一条通过图中的每条边恰好一次的路径。如果一个图是连通的，并且每条边的度数都是偶数，那么这个图就有一个欧拉路径。...欧拉路径是一条路径，它通过图中每条边恰好一次，如果这个路径是闭合的，即起点和终点是同一个顶点，则称为欧拉回路。对于无向图来说，要存在欧拉路径或回路，必须满足以下条件： 1.
1.3 线性表中把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素叫做顶点。 1.4 在线性表中可以没有数据元素，称为空表。 树中可以没有结点，称之为空树。 但是在图中不能没有顶点。...（也就是每个顶点除了它自身之外都要有一条边与其它顶点相连） 如下图所示： 含有n个顶点的无向完全图有n*(n-1)/2 个边。 上图也就是有43/2 =6 条边。...连通图的基本概念 4.1连通图：在无向图中，如果从顶点v到顶点v1有路径，则称为v和v1是连通的。如果图中任意两个顶点vi,vj 属于E，vi和vj都是连通的。则称图G是连通图。...有向图的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。 上面这个图就不是强连通图，因为在A和D之间，D到A就没有路径。 此图就是强连通图，它是上一个图的极大强连通子图，即是它的强连通分量。...4.4 无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。 有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为·1的叫做有向树。 一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。 ----
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。...1.3最小生成树的定义： 如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。...他们都利用了最小生成树的性质 1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。时间复杂度O(N^2) 假设G＝（V，E）为连通图，其中V 为网图中所有顶点的集合，E 为网图中所有带权边的集合。...的顶点再入堆栈； 4、重复②～④，直到栈为空为止。...关键路径(AOE网) 3.1AOE网：（Activity on edge network） AOE网示意图若在带权的有向图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，边上的权值表示活动的开销（如该活动持续的时间
重复步骤2，直到无法再深入。 回溯到上一层，重复步骤2和步骤3，直到遍历完整个图。 DFS常用于解决连通性问题，例如查找图中的路径或判断图中是否存在环。...重复步骤2，直到队列为空。 如果图中还有未访问节点，选择一个未访问节点，重复步骤1至步骤3。 BFS常用于解决最短路径问题，例如查找两个节点之间的最短路径。...4.1 Prim算法 Prim算法是一种贪心算法，它通过不断选择与当前生成树相邻的最短边，逐步构建最小生成树。以下是Prim算法的基本步骤： 算法步骤： 初始化一个空的生成树。...4.2 Kruskal算法 Kruskal算法是一种基于并查集的贪心算法，它通过按边权重递增的顺序选择边，将其加入生成树，同时保持生成树的连通性。...以下是Kruskal算法的基本步骤： 算法步骤： 将图中的所有边按照权重从小到大排序。 初始化一个空的生成树。 依次选择排序后的边，将其加入生成树，保持生成树的连通性。
最小生成树是一个连通图的生成树，其边的权重之和最小。 一、原理 克鲁斯卡尔算法的核心思想是按照边的权重从小到大逐渐选择连通图的边，直到所有顶点都被连接为止。...在每一步中，选择当前权重最小的边，若该边的两个顶点尚未连接，则将其添加到最小生成树的边集合中，并将这两个顶点归为同一个连通分量。通过不断地选择权重最小的边，保证了最小生成树的边权重之和最小。...二、步骤 下面是克鲁斯卡尔算法的具体步骤： 创建一个空的最小生成树的边集合。 将图中的所有边按权重从小到大进行排序。 遍历排序后的边集合，依次选择权重最小的边。...若该边的两个顶点尚未在最小生成树的边集合中相连(即添加该边不会形成环)，则将该边添加到最小生成树的边集合中，并将这两个顶点归为同一个连通分量。...需要注意的是，克鲁斯卡尔算法通常适用于稀疏图，即边的数量相对于顶点数量较少的情况。在密集图中，即边的数量接近顶点数量的平方时，使用其他算法(如普里姆算法)可能更有效率。
图的遍历概述 在图中，遍历是指通过一定的方式访问图中的所有节点。图的遍历是一种常见的问题，例如查找图中是否存在某个节点，查找两个节点之间的路径，或者查找图中的连通分量等。...深度优先搜索（ DFS ） 深度优先搜索是一种递归的图遍历算法，其基本思想是从起始节点开始，沿着一条路径访问图中的节点，直到无法继续访问为止，然后回溯到上一个节点，继续访问其他的路径，直到遍历完所有节点...在函数中，我们首先检查当前节点是否已经被访问过，如果没有，则将其添加到已访问列表中，并递归地访问它的所有邻居节点。...2.2 DFS 的应用场景 深度优先搜索在许多场景中都有应用，例如： 查找图中两个节点之间是否存在路径； 查找图中的连通分量； 判断图中是否存在环等。 3....在函数中，我们使用一个队列 queue 来保存待访问的节点，从起始节点开始，依次将其邻居节点加入队列中，并继续访问邻居节点的邻居节点，直到队列为空。
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