为了求解一个规模为n/2的子问题，第3行和第4行，各需要T(n/2)的时间，所以一共需要2T(n/2)的时间来求解2个子问题。...将每行的执行时间相加： T(n) = 2T(n/2) + D1(n) + D2(n) + C(n) (当n > 1) T(n)的表达式中又包含了T，所以上式称为T(n)的递归式。...根据分析进行简化可得到： T(n) = 2T(n/2) + Θ(n) (当n > 1) 求解递归式 求解递归式，即得到描述T(n)与输入规模n关系的函数表达式的过程。...重写递归式为：T(n) = 2T(n/2) + cn (当n > 1)，然后手绘出“递归”层层展开的样子——递归树： 图(a)为T(n)，是未进行递归时的表达； 图(b)为扩展成一棵描绘递归式的等价树，...关于Θ(nlgn) 现在知道时间复杂度中的lgn是如何产生的了：是基于递归的原因。
# 三、使用数学归纳法证明:当n刚好是2的幂时，以下递归式的解是 T(n)=nlgn。若n=2，T(n)=2；若n=2^k,k>1，T(n)=2T(n/2)+n。...现假设对于所有的 k递归式 T(n)=nlgn 成立，即当 n 刚好是 2 的幂时，T(n)=nlgn。 考虑当 n=2^m 时，如何证明 T(n)=nlgn。...根据递归式，有： T(n) = 2T(n/2) + n 将 n=2^m 带入上式，可以得到： T(2^m) = 2T(2^(m-1)) + 2^m 由于 2^(m-1) 是 2 的幂，根据归纳假设，可以得到...： T(2^(m-1)) = (2^(m-1)) * lg(2^(m-1)) = (m-1)2^(m-1) 带回原式，得： T(2^m) = 2T(2^(m-1)) + 2^m = 2((...因此，插入排序的递推式为： T(n) = T(n-1) + (n-1) 展开递归式，可以得到： T(n) = T(n-2) + (n-2) + (n-1) = T(n-3) + (n-3) +
快速排序分为这么几步： 第一步，先做一次partition； partition使用第一个元素t=arr[low]为哨兵，把数组分成了两个半区： 左半区比t大 右半区比t小 第二步，左半区递归； 第三步...void swap(int& a, int& b){ int t=a; a=b; b=t; } 分析：通过了一个中间变量t，进行了3次操作，交换了a...第三大类，递归求解 简单规则和组合规则可以用来求解非递归的算法的时间复杂度。对于递归的算法，该怎么分析呢？ 接下来，通过几个案例，来说明如何通分析递归式，来分析递归算法的时间复杂度。...，这一点在分治法与减治法一章节已经详细讲述过； 【式子B】不断的展开， f(n)=n+2*f(n/2) f(n/2)=n/2+2*f(n/4) f(n/4)=n/4+2*f(n/8) … f(n/2^(.../4+2*f(n/8)]=3n+8f(n/8) =… =m*n+2^m*f(n/2^m) 再配合【式子A】： f(1)=1 即，n/2^m=1时, f(n/2^m)=1, 此时m=lg(n), 这一步
算法的递归方程为： T(n) = T(n - 1) + O(1); 迭代展开： T(n) = T(n - 1) + O(1) = T(n... 例：如下递归方程： T(n) = 2T(n/2) + 2, 且假设n=2的k次方。...T(n) = 2T(n/2) + 2 = 2(2T(n/2*2) + 2) + 2 = 4T(n/2*2) + 4 + 2 = 4...3> 例：如下递归方程： T(n) = 2T(n/2) + O(n), 且假设n=2的k次方。...T(n) = 2T(n/2) + O(n) = 2T(n/4) + 2O(n/2) + O(n) = ...
快速排序分为这么几步： 第一步，先做一次partition； partition使用第一个元素t=arr[low]为哨兵，把数组分成了两个半区： 左半区比t大 右半区比t小 第二步，左半区递归； 第三步...void swap(int& a, int& b){ int t=a; a=b; b=t; } 分析：通过了一个中间变量t，进行了3次操作，交换了a...第三大类，递归求解 简单规则和组合规则可以用来求解非递归的算法的时间复杂度。对于递归的算法，该怎么分析呢？ 接下来，通过几个案例，来说明如何通分析递归式，来分析递归算法的时间复杂度。...，这一点在分治法与减治法一章节已经详细讲述过； 【式子B】不断的展开， f(n)=n+2*f(n/2) f(n/2)=n/2+2*f(n/4) f(n/4)=n/4+2*f(n/8) … f(n/2^(.../4+2*f(n/8)]=3n+8f(n/8) =… =m*n+2^m*f(n/2^m) 再配合【式子A】： f(1)=1 即，n/2^m=1时, f(n/2^m)=1, 此时m=lg(n), 这一步，
因此： T(n)=2T(n2)+cn=2(2T(n4)+cn2)+cn=22T(n4)+2cn=23T(n8)+3cn=…=2kT(n2k)+kcn=nO(1)+cnlog2n=O(nlog2n)...,(假设n=2k,则k=log2n)T(n)=2T(n2)+cn=2(2T(n4)+cn2)+cn=22T(n4)+2cn=23T(n8)+3cn=…=2kT(n2k)+kcn=nO(1)+cnlog2n...不过递归树模型更直观，同时递归树也克服了二阶及更高阶递推方程不方便迭代展开的痛点。...如在递归式：T(n)=2T(n/2)+nlgnT(n)=2T(n/2)+nlgn中，因为 nlogba=nn)=nlgnnlogba=nn)=nlgn，但是f(n)f(n)并不大于n一个多项式因子...这里我们解决的递归问题是形如：T(n)=c1T(n-1)+c2T(n-2)+c3T(n-3)+…+ckT(n-k)+f(n)。
这里引出了一个如何求解子问题的问题，显然是采用递归调用栈的方式。因此，递归式与分治法是紧密相连的，使用递归式可以很自然地刻画分治法的运行时间。...所以，如果你要问我分治与递归的关系，我会这样回答：分治依托于递归，分治是一种思想，而递归是一种手段，递归式可以刻画分治算法的时间复杂度。所以就引入本章的重点：如何解递归式？...递归树法： 1）、对递归式T(n) = 3T(n/2) +ｎ，利用递归树确定一个好的渐近上界，用代入法进行验证。 ?...2）、对递归式T(n) = T(n/2) + n2，利用递归树确定一个好的渐近上界，用代入法进行验证。 ? 主方法： 1）、对于下列递归式，使用主方法求出渐近紧确界。 ...a、T(n) = 2T(n/4) + 1 b、T(n) = 2T(n/4) + n1/2 c、T(n) = 2T(n/4) + n d、T(n) = 2T(n/4) + n2 ?
算法设计关于递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)之通用解法 在算法设计中经常需要通过递归方程估计算法的时间复杂度T(n)，本文针对形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程进行讨论，以期望找出通用的递归方程的求解方式...注意到条件1和3中的e总是大于0的，所以在条件1和2、条件2和3之间存在所谓的“间隙”，使得某些f(n)在该情况下不能使用该定理。...因此，我们需要找到在Master定理不能使用的情况下如何解递归方程的比较通用的办法——递归树。 经过分析，递归树解法包含了Master定理，但是Master定理可以方便的判断出递归方程的解。...根据递归树计算方式，有： T(n)= aT(n/b)+nk 。 T(n/b)= aT(n/b2)+(n/b)k 。 T((n/b2)= aT(n/b3)+( n/b2)k 。...T(n)= 2T(n/2)+nlgn 。 T(n/b)= 2T(n/22)+(n/2)lg(n/2)。 T((n/b2)= 2T(n/23)+ (n/22)lg(n/22)。
3 次 随着 n 的增大，重复次数非常可观，如何优化呢？...(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n 此时 x=1=c ，时间复杂度 \Theta(n\log{n}) 例9....} return n + sum(n - 1); } T(n) = T(n-1) + c ， T(1) = c 下面为展开过程 T(n) = T(n-2) + c + c T(n) = T(n-...n) = T(n-1) + n ， T(1) = c 下面为展开过程 T(n) = T(n-2) + (n-1) + n T(n) = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n … T(n)...= c T(n) = T(n-1) + c + n 下面为展开过程 T(n) = T(n-2) + c + (n-1) + c + n T(n) = T(n-3) + c + (n-2) + c + (
递归函数：头num=左num+右num+0或1。 相等判断函数：左结构=右结构，O(N)。 树越不平衡，复杂度越低，因此算复杂度的时候，只需要考虑平衡树。...master公式：T(N)=2T(N/2)+O(N)。2T(N/2)是递归。O(N)是相等判断函数。 根据master公式，时间复杂度是O(N*logN)。 方法二：方法一的相等判断函数用哈希函数。...递归函数：头num=左num+右num+0或1。头哈希=【左哈希+头值+右哈希】的哈希值。这个递归有两个返回值。 相等判断函数：左结构=右结构，用哈希值判断，O(1)。...master公式：T(N)=2T(N/2)+O(1)。2T(N/2)是递归。O(1)是相等判断函数。 根据master公式，时间复杂度是O(N)。 代码用golang编写。...head.Left.Right = &Node{Val: 4} head.Right.Left = &Node{Val: 3} head.Right.Right = &Node
3)（三重for循环） 算法二：算法一的改进 int maxSubsequenceSum(const int a[], int n) { int i, j; int thisSum, maxSum...时间复杂度分析: 假设T(n)为求解大小为n的最大子序列和问题所花费的时间。...当n = 1是，T(1) = O(1)；当n > 1时，两次递归花费的总时间为2T(n/2),两个并列的for循环花费的时间是O(len(left)+len(right)) = O(n)，一共为2T(n...综上可列如下方程组： T(1) = 1 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 事实上，上述方程组常常通用于分治算法，由方程组可算出T(n) = O(nlogn)。...）如果大于0，不管当i > t的元素大小如何，加上thisSum总会使之后的和变大，而如果thisSum小于0，肯定会使之后的和变小 ，既然还会变小，那干脆就重新来过（thisSum = 0），有些另起炉灶的意味
3)（三重for循环） ---- 算法二：算法一的改进 int maxSubsequenceSum(const int a[], int n) { int i, j; int thisSum...时间复杂度分析: 假设T(n)为求解大小为n的最大子序列和问题所花费的时间。...当n = 1是，T(1) = O(1)；当n > 1时，两次递归花费的总时间为2T(n/2),两个并列的for循环花费的时间是O(len(left)+len(right)) = O(n)，一共为2T(n...综上可列如下方程组： T(1) = 1 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 事实上，上述方程组常常通用于分治算法，由方程组可算出T(n) = O(nlogn)。...）如果大于0，不管当i > t的元素大小如何，加上thisSum总会使之后的和变大，而如果thisSum小于0，肯定会使之后的和变小，既然还会变小，那干脆就重新来过（thisSum = 0），有些另起炉灶的意味
解决子问题 合并问题解 递归式求解 递归树法 用树的形式表示抽象递归 T(n)=\begin{cases} 2T(\frac{n}{2})+O(n), &if&n>1\\ O(1),&if&n=...例： T(n)=5T(\frac{n}{2})+n^3 k=3 a=5,b=2,\log_ba=\log_25 k>\log_ba T(n)=\Theta(n^3) 最大子数组 基于枚举策略...} S_3 ：跨中点的最大子数组 数组 X 的最大子数组之和 S_{max}=max\{S_1,S_2,S_3\} 问题在于，如何高效地求解 S_3 记 mid=\frac n2 S_3 可以分为左右两部分...求解 S_3 的算法运行时间： O(n^2) 分而治之框架的运行时间： T(n)=2T(\frac n2)+O(n^2) 直接求解的分而治之较蛮力枚举并未提高算法运行时间。...： T(n)=2T(\frac n2)+O(n\log n) 算法优化 合并问题解的同时对数组进行排序 归并过程中可同时计算逆序对数目 策略三：归并求解 从左到右扫描有序子数组： A[i]\in
（3）跨越中间点，low 如何找到跨越中点的最大子数组，很简单，我们只要以 mid 为起点，向左遍历找出左边最大子数组。然后以 mid+1为起点，向右遍历找出左边最大子数组。两个子数组拼接在一起，就是跨越中点的最大子数组。...很明显，求解跨越中点的最大子数组的时间复杂度是 O(n)。 我们用 T(n) 表示时间复杂度，那么左右区间的时间复杂度为 2T(n/2)。 所以总的时间复杂度为 T(n)=2T(n/2)+O(n)。...此递归式与归并排序的递归式一样，求解递归式的时间复杂度可以采用《算法导论中》中文第三版的4.5节中提出的方法，可快速求解上面递归式的时间复杂度 T(n)=O(nlogn)。...空间复杂度： 递归会使用 O(logn) 的栈空间。
分析：首先解出 f(x) 的表达式，但是直接积分是求不出来的，可以采用累次积分，后面根据函数展开成幂级数，对比对应项即可求解。...解析：先交换积分次序，得 \displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{u^2\sin 2t}{(1+u^2\sin^2t)...1+x^2\sin^2t)}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{d(1+x^2\sin^2t)}{(1+x^2\sin ^2 t)}\\ &=-\dfrac{1}{1-x...^2\sin^2t}\bigg|_{t=0}^{t=\frac{\pi}{2}}=-\dfrac{1}{1+x^2}+1\end{align*} 再利用定积分性质有 \begin{align*}\displaystyle..._{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\cdot t^{2n}dx+x\\&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot \dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}
我们可以通过递归的方式考虑这个问题： 对于高度为 1 的树（即只有根节点的树），最多可以包含 2t-1 个关键字（如果根节点不是叶子节点的话）。...因此，我们可以写出如下的递归公式来计算最多关键字数： MaxKeys(h, t) = if h == 1 then if t == 1 then 1 else 2t -...1 end if else (2t - 1) + t * MaxKeys(h - 1, t) end if 这个递归公式考虑了根节点包含的关键字数（2t-1...因此，可以通过以下递归关系来表示： 1.( N = 1 + (t-1) + t*(N_{h-1} + (t-1) + t*(N_{h-2} + ... + (t-1) + t*N_0) ) 2.其中 (...因此，一棵高度为 ( h ) 的 B 树可以存储的最多关键字数量 ( N ) 可以表示为： [ N = 1 + (2t - 1)(h - 1) ] 这里的 ( h - 1 ) 是因为根节点不计入高度。
如何做“复杂度分析“？ 3. 从排序算法说起 4. 递归算法分析 5. 如何选择最好的算法？ 其中，1、2部分会对复杂度分析做简单介绍（熟悉复杂度分析基本概念的同学可以跳直部分3）。...在我们画出合并排序算法的递归树之前，让我们首先看一下它的递归关系。 T（N）= 2T（N / 2）+ O（N） ? 用T(N)表示对由N元素组成的数组进行排序所完成的工作量（或所花费的时间）。...我们可以写出递归关系如下： T（N） = 2T（N / 2）+ O（N） T（N / 2）= 2T（N / 4）+ O（N / 2） T（N / 4）= 2T（N / 8）+ O（N / 4） .......T(N) = 2T(N / 2) + O(N) 这算式表示树结构中的第一层的工作量为O(N)， 其余的工作量2T(N / 2)在下一层完成。...例如T（n）= 2T（n / 2）+ O（n） ? 等等，这不就是归并排序嘛！ 对!这就是归并排序算法的复杂度。如果我们在主定理方法中采用归并排序的递归关系，我们得到： ?
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