..An是样本空间Ω的一个划分，如果 对任意事件B而言，有P(B)>0，那么： image.png 又叫原因概率公式，事件B已经发生的情况下查找原因 独立事件 A,B发生无关 image.png...随机变量 把前面说的事件A,B具体化，用变量和函数来表达前面说的该事件在样本空间的概率 例： 掷一颗骰子，令 X：出现的点数．...期望 也就是均值，是概率加权下的“平均值”，是每次可能 结果的概率乘以其结果的总和，反映的实随机变量平均取值大小。...X和Y的协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩 峰度 反应峰部的尖度 偏度 右偏还是左偏 三个基本定理 切比雪夫不等式 /切比雪夫定理 设随机变量X的期望为μ，方差为σ2，对于任意的正数...和极大似然估计的区别是，利用大数定律中的样本均值和总体平均值一样，求出参数 image.png 极大似然估计 注意分布函数已知，写出似然函数，求导，求出参数值 1
简介 在概率论中，卷积公式是用于计算两个独立随机变量之和的概率密度函数的重要工具。...实际例子 假设 X 和 Y 都是均匀分布在区间 [0,1] 上的随机变量，求它们和 =+Z=X+Y 的概率密度函数。...卷积公式在概率论中也有重要应用，特别是在计算多个随机变量之和的概率密度时。通过代入卷积公式，可以快速求出两个或多个随机变量代数运算后的概率密度。...图像识别新模型：通过量子卷积层的设计，单个量子门仅对相邻的量子比特施加运算，从而在处理海量数据时表现出优越的性能。 如何证明卷积公式对于独立随机变量之和的概率密度函数的重要性？...在概率论中，卷积用于计算两个独立随机变量之和的概率密度函数。
常见的离散型随机变量包括： 0-1分布：也称为两点分布或伯努利分布，表示一个事件发生的概率。 二项分布：表示在固定次数的独立实验中，成功次数的概率分布。...PDF的值可以是任意非负实数，但其在整个实数范围内的积分必须等于1。 如何计算连续型随机变量的概率密度函数？...总结来说，计算连续型随机变量的概率密度函数需要明确其形式，并通过积分和数值方法来验证其归一化条件和计算相关的统计量。 二维离散型随机变量的联合分布律是如何表示的？...中心极限定理是概率论中的一个核心定理，它揭示了当样本量足够大时，独立同分布随机变量序列的平均值或和的分布趋向于正态分布。...具体来说，中心极限定理表明，如果一个随机变量受到大量微小独立因素的影响，其分布会趋近于正态分布。 中心极限定理在以下情况下适用： 独立同分布：随机变量必须是独立且同分布的。
首先学习输入输出的联合概率分布，然后基于此模型，对给定的输入x，利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出y。 后验概率最大等价于0-1损失函数的期望风险最小化。...是典型的生成学习方法，由训练数据求出联合概率分布，再求出条件概率分布（后验概率）。 概率估计方法是：极大似然估计或者贝叶斯估计。...包括三个步骤：特征选择，决策树生成和决策树的修剪，常用算法：ID3，C4.5，CART 逻辑斯地回归和最大熵模型 多分类 本质就是给线性回归添加了对数函数 它的核心思想是，如果线性回归的结果输出是一个连续值...X服从均匀分布时候，熵最大 最大熵模型的学习等价于约束最优化问题。 对偶函数的极大化等价于最大熵模型的极大似然估计。...条件随机场 CRF 标注问题 判别模型 NLP conditional random field CRF是给定输入随机变量X条件下，输出随机变量Y的条件概率分布模型，其形式为参数化的对数线性模型。
考虑一个离散的随机变量 x，由上面两个例子可知，信息的量度应该依赖于概率分布 p(x)，因此我们想要寻找一个函数 I(x)，它是概率 p(x) 的单调函数，表达了信息的内容。怎么寻找呢？...当随机分布为均匀分布时，熵最大，且 0≤H(X)≤logn。稍后证明。将一维随机变量分布推广到多维随机变量分布，则其联合熵 (Joint entropy) 为： ?...现在考虑一个具有4种可能的状态 {a,b,c,d} 的随机变量，每个状态各自的概率为 (1/2,1/4,1/8,1/8)。这种情形下的熵为： ? 我们可以看到，非均匀分布比均匀分布的熵要小。...现在让我们考虑如何把变量状态的类别传递给接收者。与之前一样，我们可以使用一个2比特的数字来完成这件事情。...当随机分布为均匀分布时，熵最大；信息熵推广到多维领域，则可得到联合信息熵；条件熵表示的是在 X 给定条件下，Y 的条件概率分布的熵对 X的期望。 相对熵可以用来衡量两个概率分布之间的差异。
1 均匀分布 1) 离散随机变量的均匀分布：假设 X 有 k 个取值：x1, x2, ..., xk 则均匀分布的概率密度函数为： ?...2) 连续随机变量的均匀分布：假设 X 在 [a, b] 上均匀分布，则其概率密度函数为： ?...3 二项分布 假设试验只有两种结果：成功的概率为 θ，失败的概率为 1-θ. 则二项分布描述了：独立重复地进行 n 次试验中，成功 x 次的概率。 概率密度函数： ? 期望： ? 方差： ?...有两个原因支持这一选择： 建模的任务的真实分布通常都确实接近正态分布。中心极限定理表明，多个独立随机变量的和近似正态分布。 在具有相同方差的所有可能的概率分布中，正态分布的熵最大（即不确定性最大）。...可以看到，多项式分布与狄里克雷分布的概率密度函数非常相似，区别仅仅在于前面的归一化项： 多项式分布是针对离散型随机变量，通过求和获取概率。 狄里克雷分布时针对连续型随机变量，通过求积分来获取概率。
均匀分布和伯努利分布不同，随机变量的取值都是等概率的，因此概率密度就可以表达为区间长度分之一，如果我们取随机变量一半的可能值，那么其出现的概率就为 1/2。...假定随机变量 X 服从均匀分布，那么概率密度函数为： 均匀分布曲线图如下所示，其中概率密度曲线下面积为随机变量发生的概率： 我们可以看到均匀分布的概率分布图呈现为一个矩形，这也就是均匀分布又称为矩形分布的原因...在均匀分布中，a 和 b 都为参数，也即随机变量的取值范围。...服从均匀分布的随机变量 X 也有均值和方差，它的均值为 E(X) = (a+b)/2，方差为 V(X) = (b-a)^2/12 标准均匀分布的密度函数参数 a 取值为 0，b 取值为 1，因此标准均匀分布的概率密度可以表示为...随后我们讨论了最基本的概率计算方法与概念，比如条件概率和贝叶斯概率等等。文中还讨论了随机变量的独立性和条件独立性。此外，本文更是详细介绍了概率分布，包括离散型随机变量分布和连续型随机变量分布。
我们接下来将阐述概率论的各种观点。 频率 想象一下，我们有一枚硬币，想验证投掷后正反面朝上频率是否相同。我们如何解决这一问题？我们试着进行一些实验，如果硬币正面向上记录 1，如果反面向上记录 0。...均匀分布和伯努利分布不同，随机变量的取值都是等概率的，因此概率密度就可以表达为区间长度分之一，如果我们取随机变量一半的可能值，那么其出现的概率就为 1/2。...假定随机变量 X 服从均匀分布，那么概率密度函数为： 均匀分布曲线图如下所示，其中概率密度曲线下面积为随机变量发生的概率： 我们可以看到均匀分布的概率分布图呈现为一个矩形，这也就是均匀分布又称为矩形分布的原因...服从均匀分布的随机变量 X 也有均值和方差，它的均值为 E(X) = (a+b)/2，方差为 V(X) = (b-a)^2/12 标准均匀分布的密度函数参数 a 取值为 0，b 取值为 1，因此标准均匀分布的概率密度可以表示为...随后我们讨论了最基本的概率计算方法与概念，比如条件概率和贝叶斯概率等等。文中还讨论了随机变量的独立性和条件独立性。此外，本文更是详细介绍了概率分布，包括离散型随机变量分布和连续型随机变量分布。
课程传送门[1] 概率密度/概率分布函数 概率密度只是针对连续性变量而言，而分布函数是对所有随机变量取值的概率的讨论，包括连续性和离散型....已知连续型随机变量的密度函数，可以通过讨论及定积分的计算求出其分布函数；当已知连续型随机变量的分布函数时，对其求导就可得到密度函数。...概率密度曲线 y 轴意义在于给定相同长度下,样本落在此段几率大小.其函数图像与 x 轴包围的面积表示取该值的概率,即概率密度函数从 的积分 概率分布函数[2](引自百度百科) 在实际问题中，常常要研究一个随机变量...ξ 取值小于某一数值 x 的概率，这概率是 x 的函数，称这种函数为随机变量 ξ 的分布函数，简称分布函数，记作 F(x)，即 F(x)=P(ξ<x) (-∞<x<+∞) 由它并可以决定随机变量落入任何范围内的概率...常见的离散型随机变量分布模型有“0-1 分布”、二项式分布、泊松分布等；连续型随机变量分布模型有均匀分布、正态分布等。 概率分布函数图像 y 轴的意义是 X<x_{i} 切比雪夫不等式 ?
均匀分布和伯努利分布不同，随机变量的取值都是等概率的，因此概率密度就可以表达为区间长度分之一，如果我们取随机变量一半的可能值，那么其出现的概率就为 1/2。...假定随机变量 X 服从均匀分布，那么概率密度函数为： ? 均匀分布曲线图如下所示，其中概率密度曲线下面积为随机变量发生的概率： ?...我们可以看到均匀分布的概率分布图呈现为一个矩形，这也就是均匀分布又称为矩形分布的原因。在均匀分布中，a 和 b 都为参数，也即随机变量的取值范围。...服从均匀分布的随机变量 X 也有均值和方差，它的均值为 E(X) = (a+b)/2，方差为 V(X) = (b-a)^2/12 标准均匀分布的密度函数参数 a 取值为 0，b 取值为 1，因此标准均匀分布的概率密度可以表示为...随后我们讨论了最基本的概率计算方法与概念，比如条件概率和贝叶斯概率等等。文中还讨论了随机变量的独立性和条件独立性。此外，本文更是详细介绍了概率分布，包括离散型随机变量分布和连续型随机变量分布。
分别求出如下两个事件 A 和 B 的概率。 A :指定的 k 个格子中各有一个球； B :存在 k 个格子，其中各有一个球。...条件概率 研究随机事件之间的关系时，在已知某些事件发生的条件下考虑另一些事件发生的概率规律有无变化及如何变化，是十分重要的。 设和是两个事件， 且, 称为事件发生的条件下，事件发生的概率。...既然随机变量的取值有随机性， 那么我们就关心它取值的可能性大小，也就是取某个值的概率， 那么在数轴上我们如何确定这种概率的呢？ 又引入了随机变量分布函数的概念。...二项分布 说起二项分布， 我们得先说一种试验叫做伯努利试验, 重复表示的每一次试验 ? 概率不变， 独立指的是每次试验互不干扰。...均匀分布 若连续型随机变量具有概率密度 ? 则称在区间(a,b)上服从均匀分布， 记为概率密度和分布函数长这样： ?
本文记录常见的概率分布。...基础概念 probability mass function:PMF 概率质量函数（离散随机变量密度函数） 和为1 probability density function：PDF 概率密度函数（连续随机变量...） 积分为1 常见分布 均匀分布 离散随机变量的均匀分布 假设 X 有 k 个取值: x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k} , 则均匀分布的概率密度函数( probability...mass function:PMF )为: p\left(X=x_{i}\right)=\frac{1}{k}, \quad i=1,2, \cdots, k 连续随机变量的均匀分布 假设 X 在...二项分布 假设试验只有两种结果：成功的概率为 \phi , 失败的概率为 1-\phi_{\circ} 则二项分布描述了：独立重复地进行 n 次 试验中，成功 x 次的概率。
一、离散型概率分布 离散型随机变量是所有取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量。例如掷骰子试验，朝上的点数只能从1，2，3，4，5，6中取值。...二项式分布 （1）定义 如果试验E是一个伯努利试验，将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。二项分布是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布。...均匀分布 均匀分布是指连续型随机变量所有可能出现值的出现概率都相同。其概率密度函数为： ? 均匀分布的期望为： ? 方差为： ?...均匀分布在自然情况下比较少见，而人工栽种的有一定株行距的植物群落即是均匀分布。...双尾检验：拒绝域一分为二位于数据集的两侧。 （4）求出p值 定义：某个小于或等于拒绝域方向上的一个样本数值的概率。 为取得样本中的各种结果或取得拒绝域方向上的某些更为极端的结果的概率。
条件概率，联合概率和全概率公式： 边缘概率 独立性和条件独立性 期望、方差、协方差和相关系数 常用概率分布 贝叶斯及其应用 中心极限定理 极大似然估计 概率论中的独立同分布?...独立性和条件独立性 独立性：两个随机变量 x和y，如果它们的概率分布可以表示成两个因子的乘积形式,并且一个因子只包含x另一个因子只包含y,我们就称这两个随机变量是 相互独立的： 条件独立性：如果关于 x...和 y 的条件概率分布对于 z 的每一个值都可以写成乘积的形式,那么这两个随机变量 x 和 y 在给定随机变量 z 时是 条件独立的(conditionally independent): 我们可以采用一种简化形式来表示独立性和条件独立性...其概率函数为： （2）连续型随机变量分布： 均匀分布 在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。...均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b） 均匀分布的概率密度函数为： 高斯分布/正态分布 高斯分布又叫正态分布，其曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形
贝叶斯公式 整合了乘法公式和全概率公式： ? 4. 独立事件 如果两事件发生的概率等于这两个事件发生概率的乘积，则可以认为这俩事件独立，即： ?...3.连续型随机变量的分布 连续型随机变量 如果 ? 为连续型随机变量，则存在一个定义在 ? 上的非负函数 ? ，使得对于任意实数 ? ，总有： ? 均匀分布 若随机变量 ? 服从区间 ?...上的均匀分布 ? ，则其概率密度函数为： ? 指数分布 若随机变量 ? 服从参数为\lambda的指数分布，则其概率密度函数为： ? 正态分布 若随机变量 ? 服从参数为 ? 和 ?...是连续型的二维随机向量，则存在一个非负函数 ? 使得对于任意的 ? 均满足： ? 二维均匀分布 若二维连续型随机向量 ? 在区域 ? 内服从二维均匀分布（其中区域 ? 的面积值为 ?...伯努利大数定理从一定角度揭示了“频率稳定于概率”说法的实质。 切比雪夫大数定律 设随机变量 ? 相互独立，且具有相同的期望与方差，则对于任意的正数 ? ，有： ?
当边缘分布（即每个随机变量的分布）不同的随机变量，互相之间并不独立的时候，此时对于联合分布的建模会变得十分困难。 让我们从一个示例问题案例开始。假设我们测量两个非正态分布且相关的变量。...然而，这里我们遇到了一个问题：我们应该如何对概率分布进行建模？上面我们只指定了各个变量的分布，而与另一个变量无关（即边缘分布）。实际上，我们正在处理这两者的联合分布。...如何使用copula 分析数据 回想一下，您可以使用累积分布函数将任何分布转换为均匀分布。同样，您可以使用逆累积分布函数将均匀分布转换为任何分布。...例如要模拟来自高斯 copula 的相关多元数据，请执行以下三个步骤： 1.从相关矩阵模拟相关的多元正态数据。边缘分布都是标准正态分布。 2.使用标准正态累积分布函数将正态边缘转换为均匀分布。...这里我将 转换后的x 再做一次转化 简单的高斯Copula例子 我们构建一个简单的例子，来看如何利用概率积分变换来认识高斯copula。
常见的连续型随机变量的分布有：正态分布、均匀分布、指数分布、t-分布、F-分布、\xi^{2}-分布等。...[二项分布 Binomial Distribution] 如果每次试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p，则n次重复独立试验中发生k次的概率为：P(X=k)=C_{n}^{k} p^{k}(1...）（连续型） 在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。...{(b-a)^{2}}{12} 7）指数分布（Exponential Distribution）（连续型） 在概率论和统计学中，指数分布与其他分布的最大不同之处在于，随机变量X指的是不同独立事件发生的时间间隔值...lambda x}, x\ge 0 期望：E(X)=\frac{1}{\lambda} 方差：D(X)=\frac{1}{\lambda^{2}} 在我们日常的消费领域，通常的目的是求出在某个时间区间内
在本文中，我们将介绍一些常见的分布并通过Python 代码进行可视化以直观地显示它们。 均匀分布 最直接的分布是均匀分布。均匀分布是一种概率分布，其中所有结果的可能性均等。...a 和 b 之间连续均匀分布的概率密度函数 (PDF) 如下： 让我们看看如何在 Python 中对它们进行编码： import numpy as np import matplotlib.pyplot...99.7% 的数据落在平均值的三个标准差范围内。 对数正态分布 对数正态分布是对数呈正态分布的随机变量的连续概率分布。...有些人也可能将其描述为抛硬币概率。 参数为 n 和 p 的二项式分布是在 n 个独立实验序列中成功次数的离散概率分布，每个实验都问一个是 - 否问题，每个实验都有自己的布尔值结果：成功或失败。...；对于 k 个自由度，卡方分布是一些独立的标准正态随机变量的 k 的平方和。
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