如何求单位中两个四元数的相对旋转

两个四元数的相对旋转可以通过四元数的乘法来计算。假设有两个四元数Q1和Q2，它们表示的旋转分别为R1和R2。则两个四元数的相对旋转可以通过以下步骤求得：

将Q1和Q2归一化，使其长度为1。这可以通过将四元数除以其模长来实现。
计算Q2的共轭四元数Q2_conj。共轭四元数可以通过将Q2的虚部取负来得到。
计算相对旋转的四元数Q_relative = Q2_conj * Q1。这里的乘法是四元数的乘法运算。
将Q_relative归一化，得到单位四元数。
从单位四元数中提取旋转信息。可以通过将单位四元数转换为旋转矩阵或欧拉角来表示相对旋转。

相对旋转的应用场景包括计算机图形学、虚拟现实、增强现实等领域。在计算机图形学中，相对旋转可以用于模型的变换和动画。在虚拟现实和增强现实中，相对旋转可以用于物体的定位和姿态估计。

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SLAM知识点整理

在SLAM中，已知有2点，第一点机器人如何自我控制，如何运动。拿无人机举例，无人机向前飞、向后飞、左转、右转、向上飞、向下飞等等。第二点是相应的观测点。...三维空间的单位向量 ,某个旋转是绕单位向量n进行了角度为θ的旋转，该旋转的四元数形式为：反之如果知道q，也可以算出θ和n 之前我们知道一个三维点p旋转到p'，只需要乘以一个旋转矩阵R，则有...不管是四元数、旋转矩阵还是欧拉角它都可以描述同一旋转，实际应用中应当选择最为方便的方式，并不是说必须得用哪一种方式，比如说四元数或者旋转矩阵。...这个二元运算，我们称之为李括号，相对于群中的二元运算，李代数中的二元运算表示了两个元素的差异。如果它们满足以下几条性质，称为一个李代数，记作。...这个求导也是刚才的两种方法来进行：对R对应的李代数加上小量，求相对于小量的变化率(导数模型)；对R左乘或右乘一个小量，求相对于小量的李代数的变化率(扰动模型).

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ALOAM:激光雷达的运动畸变补偿代码解析

如何进行运动补偿?...2 如果有imu,可以方便的求出每个点相对起始点的旋转 3 如果没有其它传感器,可以使用匀速模型假设,使用上一帧间里程计的结果,作为当前两帧之间的运动,同时假设当前帧也是匀速运动,也可以估计出每个点相对起始时刻的位姿...，以此来求出输入点坐标系到起始时刻点坐标系的位姿变换,通过上面求的时间占比s。...这里把位姿变换分解成了旋转 + 平移的方式，由于四元数是一个超复数,不是简单的乘法,求它的占比用的 Eigen的slerp函数(球面线性插值)。线性插值和球面线性插值的对比,如上图。...两个单位四元数之间进行插值，如左图的线性插值，得到的四元数一定不是单位四元数，我们期望对于旋转的插值应该是不改变长度的，所以显然右图球面（Slerp）插值更为合理。

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坐标转换与姿态描述

对于导航飞控的算法，我们需要对四元数有什么了解，其实很简单，我们要知道它的基本运算规律，要知道它以什么样的方式表征姿态，要知道它跟其他两个表征姿态的欧拉角和旋转矩阵方式如何互相转换。...除此之外，还有后续如何使用四元数进行建模和控制律设计，如何在导航算法中得到四元数的状态。...其中u是旋转轴的单位向量，q是一个单位四元数。 ? 那上述这个四元数有什么用呢，它对任何向量施加以下算子运算后可以得到该向量绕u轴旋转σ角度后的向量： ?...但从上式中是无法确定正负号的，所以又有： ? 这样只要得到q0到q4中的任意一个就能根据上面的关系求出剩余3个分量的值，假设我们先求q0的值，则有：则四元素： ?...从上式中可以看到，求得的四元数有两个，但他们表示的是同一种旋转关系，至于先求q0到q4中的哪个值，在实际使用时应该全部一起求，看哪个值大，就选取哪个，以防止某一项在出现0时无法计算的情况。

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7机器人位姿的数学描述与坐标变

1.机器人位姿的数学描述与坐标变换 1.1位姿描述 {B}相对于{A}的姿态描述用3x3矩阵表示为：式中为三个单位正交主矢量，分别表示刚体坐标系{B}的三个坐标轴XBYBZB在参考系{A}中的方位，...姿态矩阵具有如下特点： 1>共有9个元素，但只有3个是独立的，有6个约束条件： 2>是单位正交阵，具有如下特点： 1.2 坐标系旋转(原点相同) 空间中任意点P在不同坐标系中的描述是不同的。...同一点p在两个坐标系{A}和{B}中的描述PA和PB具有如下变换关系: 其中表示坐标系{B}相对于{A}的姿态，这里称其为旋转变换矩阵，简称旋转矩阵。...1.4.2绕定坐标系的多个坐标轴旋转的旋转矩阵坐标系{A}绕其Z轴旋转角，得到新坐标系{m}，坐标系{m}再绕坐标系{A}的Z轴旋转角，得到新坐标系{B}，求旋转矩阵 ....结论：绕着固定坐标系{A}的两个坐标轴X、Z转动的旋转矩阵等于绕Z轴和绕X轴转动的两个旋转矩阵的乘积。

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8_姿态的其他描述及一般坐标系映射

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SLAM初探（二）

因此，在图像拼接或者三维重建中，就需要使用外参来求几幅图像之间的相对运动，从而将其注册到同一个坐标系下面来内参：下面给出了内参矩阵，需要注意的是，真实的镜头还会有径向和切向畸变，而这些畸变是属于相机的内参的...旋转矩阵和平移矩阵共同描述了如何把点从世界坐标系转换到摄像机坐标系旋转矩阵：描述了世界坐标系的坐标轴相对于摄像机坐标轴的方向平移矩阵：描述了在摄像机坐标系下，空间原点的位置标定中的世界坐标系由于摄像机可安放在环境中的任意位置...如图4.1所示，在图像上定义直角坐标系u-v，每一象素的坐标(u,v)分别是该象素在数组中的列数和行数。故(u,v)是以象素为单位的图像坐标系坐标。 ?...成像平面坐标系(Retinal coordinate system) 由于图像坐标系只表示象素位于数字图像的列数和行数，并没有用物理单位表示出该象素在图像中的物理位置，因而需要再建立以物理单位(例如厘米...由此，空间中一点P在世界坐标系和摄像机坐标系下的齐次坐标分别为和且存在如下关系：其中R是3×3正交单位矩阵，t是3维平移向量，，M1是两个坐标系之间的联系矩阵。摄像机坐标系: ?

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3D图形学线代基础

主要原因在于 2D 坐标系相对于 3D 坐标系更简单更容易理解（降维打击），虽然 3D 比 2D 多一个维度，但基本数学规律却是类似的；比如求三维向量 Vector3 的长度，同样也是计算每个维度数值的平方和然后开根号...因此向量点乘有一个非常常用的应用，即求两个向量的夹角。 ? 叉乘 ?...矩阵乘以矩阵，两个矩阵相乘需要满足一定的条件；举例来说矩阵 M 乘以矩阵 N，需要满足矩阵 M 的列数等于矩阵 N 的行数；如下： ?...行列式矩阵的行列式也是就是矩阵的“大小”，不过并不是所有矩阵都有大小，只有行数和列数相同的方阵才有大小；向量的大小表示向量的长度，方阵的大小则表示坐标系中基向量（坐标轴单位向量）经过该方阵变换后的新向量组成的平行四边形的有符号面积...求任意高维度方阵的行列式最终都可以递归转化为求二阶方阵行列式问题。转置矩阵假设存在两个矩阵 M 和 T： ?

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【笔记】《计算机图形学》(5)——线性代数

，表现出来就是行列式中的向量如果顺序相反则得到的行列式的值也会是相反数，也即是|ab| = −|ba| 向量模式的行列式可以数乘|(ka)b| = |a(kb)| = k|ab|；可以剪切|(a + kb...矩阵和对应的逆矩阵相乘结果是单位矩阵，相乘的矩阵求逆得到的结果内外都会相反 ? 矩阵的转置会使得矩阵的行列反转 ? 类似矩阵求逆，矩阵相乘的转置也会转置且顺序反转 ?...首先由矩阵中每个元素的对应代数余子式组成的新矩阵的转置矩阵称为原矩阵的伴随矩阵，记为A*，而这个伴随矩阵数乘原矩阵行列式的倒数得到的矩阵就是原矩阵的逆矩阵，矩阵和它的逆矩阵相乘会得到单位矩阵I。...前面在4.4的时候说到过求解线性方程组的一大程序化做法就是使用克莱姆法则，通过两个行列式的比值我们可以求解出线性方程组中对应变量的值，同样我们需要注意先检查矩阵是否奇异，行列式为0的时候也就是方程组线性相关的时候将会有无穷多组解...下面就是如何进行特征值分解和奇异值分解：特征值分解首先需要计算特征值和特征向量。

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《算法竞赛进阶指南》0x26 广度变形

双端队列BFS 在一般的广度优先搜索中，每次沿分支扩展“一步”，逐层搜索，已求解起始状态到每个状态的最小步数这等价于在一个边权为 1 的图中执行广度优先遍历，求出每个点相对于起点的最短距离广度优先遍历使用的辅助队列满足...：“队列中的状态的层数满足两端性和单调性” 因此每个状态在第一次被访问并入队时，所计算出的步数即为所求如果边权不是全 1，那该如何处理呢？...当两边各自有一个状态在记录数组中重复时，说明两个搜索相遇了，可以合并得出起点到终点的最小步数习题电路维修题目描述达达是来自异世界的魔女，她在漫无目的地四处漂流的时候，遇到了善良的少女翰翰，从而被收留在地球上...每个格点都是电线的接点，每个格子都包含一个电子元件。电子元件的主要部分是一个可旋转的、连接一条对角线上的两个接点的短电缆。在旋转之后，它就可以连接另一条对角线的两个接点。...之后 R 行，每行 C 个字符，字符是 / 和 \ 中的一个，表示标准件的方向。输出格式对于每组测试数据，在单独的一行输出一个正整数，表示所需的最小旋转次数。

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三维空间的刚体运动

.） 3）共轭（跟普通复数一样，虚部取反） 4）模长 5）逆 6）数乘和点乘 3、用四元数表示旋转 5）练习 6) 台湾大学《机器人学》笔记一个刚体在三维空间中的运动如何描述？...坐标系1的单位正交基：[e1,e2,e3] 点在坐标系1中的坐标：[a1,a2,a3] 坐标系2的单位正交基：[e1’,e2’,e3’] 点在坐标系2中的坐标：[a1’,a2’,a3’] 则转换关系如下...s为四元数实部 ,v 为虚部, 如果虚部为0,表示实四元数;反之,实部为0表示虚四元数. 乘以i表示旋转180°，两个i相乘表示旋转360° 2、四元数的运算先准备两个四元数： ?...6）数乘和点乘 ? ? 3、用四元数表示旋转 ? 5）练习机器人1号、2号分别位于世界坐标系中。...设点p在机器人1号的坐标系下的坐标为p=[0.5,0,0.2]，求它在机器人2号的坐标系下的坐标。

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基于偏差矩阵的3D SLAM位姿图优化算法

2.2 ORDM算法思想及流程E_2为求解CN模型，本文将位姿图分为两个子图、，与相连的位姿点及其相对位姿测量边构成子图，不与相连的位姿点及其相对位姿测量边构成子图...matrix）算法将位姿图分成两个子图，依照式（14）分别建立相对旋转测量方程，最终将CN模型化为矩阵形式，采用线性最小二乘求解参数矩阵，并通过式（13）对初始旋转方向进行优化。...此外，当初始旋转方向较好时，式（24）计算出旋转偏差接近于单位矩阵；但当初值较差时，计算的偏差较大，此时更能突出以偏差矩阵为参的意义和优势。算法1为ORDM算法的具体步骤。...表1是数据集的具体参数，表示相对旋转测量的噪声（单位：rad），Mean、Std分别为其均值和标准差，为位姿图边数，为位姿图节点个数。...ORDM算法中需要矩阵求逆，因此在接下来的工作中，将探讨如何快速矩阵求逆，提高初始化运行速度。其次，希望可以将CN算法运用到g2o框架之中，运用到实际场景。1.

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欧拉角_欧拉角图

首先是因为欧拉角有万向节死锁的问题。 3D游戏或者3D电影中，比如黑客帝国中酷炫的旋转是怎么实现的？旋转的算法有很多，这里主要介绍其中一种：欧拉角。...1.2 具体实现步骤维基百科中，有这么一副动图，清楚的表明了如何通过欧拉角来完成旋转：具体来拆解下旋转步骤，先看图：图中有两组坐标： xyz 为全局坐标，保持不动 XYZ 为局部坐标，随着物体一起运动...：万向节死锁的根源在于欧拉角的定义方式万向节死锁的结果，不是说不能旋转了，而是会导致旋转不自然要规避万向节死锁，需要选择合适的旋转顺序（有12种旋转顺序） 4 总结在编程中很难规避死锁问题，所以现在很多时候都使用四元数实现旋转...度的历史可以追溯到古代巴比伦的历史，而弧度是罗杰·科特斯（Roger Cotes）于1714年提出的相对现代的数学概念。度是最常用的角度测量基本单位。...•Radian支持更轻松地解释数学中的概念；因此，允许在物理学和其他纯粹科学中应用（例如考虑切向速度的定义）。 •度数和弧度均为无量纲单位。

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机器视觉-相机内参数和外参数

内参中包含两个参数可以描述这两个方向的缩放比例，不仅可以将用像素数量来衡量的长度转换成三维空间中的用其它单位（比如米）来衡量的长度，也可以表示在x和y方向的尺度变换的不一致性；理想情况下，镜头会将一个三维空间中的直线也映射成直线...因此，在图像拼接或者三维重建中，就需要使用外参来求几幅图像之间的相对运动，从而将其注册到同一个坐标系下面来内参：下面给出了内参矩阵，需要注意的是，真实的镜头还会有径向和切向畸变，而这些畸变是属于相机的内参的...摄像机内参矩阵：其中，fx，fy为焦距，一般情况下，二者相等，x0、y0为主点坐标（相对于成像平面），s为坐标轴倾斜参数，理想情况下为0 摄像机外参矩阵：包括旋转矩阵和平移矩阵旋转矩阵和平移矩阵共同描述了如何把点从世界坐标系转换到摄像机坐标系...(一家之言，求更详细的解释) Q3：cvFindStereoCorrespondenceBM的输出结果好像不是以像素点为单位的视差？...因此，Q矩阵中的值与两个instrinsic矩阵的值不一样就可以理解了。

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数据结构·面试·数组高频题·中位数问题第K大问题等

思路提要求两个有序数组的中位数奇数个数的中位数只有1个，偶数个数的中位数可能有两个。在有些题目中，把[2 3 5 7] 的中位数认为是4。...【3】求两个等长、有序数组的中位数（二分法）数组长度为len，数据个数2*len，中位数为第len、len+1大的数。暴力法：排好序后找。二分法：忘了，直接查答案吧。...详细讲解.求两个不等长、有序数组a和b的中位数的最优解（排除法）（leetcode）【3】旋转数组求最小值（二分法）【3】旋转数组求查找某个值是否存在（先用二分法logn找到最小值的index...，那么根据目标数和角落数的相对大小一定可以确定其不在两个序列中的一个序列，从而排除这个序列。...无序数组求最大值、第二大值、第三大值直接建堆 O(lgn),堆顶就是最大值【3*】求无序数组中第 k 大的数或中位数（分数组长度奇数和偶数）（拓展：最大的 k 个数）用数组前k个数建立大小为

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Path-Space Differentiable Rendering

的论文，探讨了如何将已有的光线传输算法引入到可微分渲染中。...如上图，我们定义一个evolving surface ,其单位法线为，在一个标量空间场中，对给定，除了不连续区域，其方法相对参数都是连续，定义一个extended boundary ，包括边界...我们有了速度的概念，就可以通过流体力学中的transport relation来对光路积分求微分: 这里，是total curvature（principal curvature的总和），和是对应的...这个是采用bidirectional算法的结果，相对两个场景中面积光的水平移动。以上两个例子证明了算法的有效性。...这个例子是树枝这个复杂场景下绕竖直轴旋转的例子，但上图是旋转0.2弧度，下图是旋转0.6弧度的结果，这里，本论文的算法速度最快，而Reparam则在第二个例子中没有收敛。

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从零开始一起学习SLAM | 用四元数插值来对齐IMU和图像帧

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